மெய் எண் அமைப்பு
மெய் எண் அமைப்பு என்பது கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். நீளம், நிறை, வெப்பநிலை, வேகம், நேரம் என நாம் அன்றாட வாழ்வில் சந்திக்கும் ஏறக்குறைய அனைத்து அளவுகளையும் வெளிப்படுத்த இது பயன்படுகிறது. இயற்கணிதம், வடிவியல், நுண்கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் போன்ற கணிதத்தின் பல்வேறு பிரிவுகளுக்கு மெய் எண்கள் அடித்தளமாக விளங்குகின்றன. மேலும், அவை அறிவியல் மற்றும் பொறியியலின் முதன்மை மொழியாகவும் திகழ்கின்றன. மெய் எண் அமைப்பைப் புரிந்துகொள்வது என்பது, எண்கள் எவ்வாறு வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, அவை ஒன்றுக்கொன்று எவ்வாறு தொடர்புபடுகின்றன, மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் கணக்கீடுகளையும் மாதிரிகளையும் சீராகச் செய்ய நமக்கு எவ்வாறு உதவுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்வதாகும்.
மெய் எண்களைப் புரிந்துகொள்ளுதல்
மெய் எண்கள் என்பவை எண் கோட்டில் இடக்கூடிய அனைத்து எண்களின் தொகுப்பாகும். இதில் விகிதமுறு எண்கள் மற்றும் விகிதமுறா எண்கள் ஆகிய இரண்டும் அடங்கும். உள்ளுணர்வின்படி, ஒரு தொடர்ச்சியான அளவின் "மதிப்பாக" வெளிப்படுத்தக்கூடிய அனைத்து எண்களும் மெய் எண்களில் அடங்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மேசையின் நீளம் 1 மீட்டர், 1,5 மீட்டர், அல்லது 1,414213 மீட்டராகக் கூட இருக்கலாம்.
மெய் எண்களின் கணம் பொதுவாக ℝ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு மெய் எண்ணும், அது எதிர்மறையாகவோ, பூஜ்ஜியமாகவோ அல்லது நேர்மறையாகவோ இருந்தாலும், எண் கோட்டில் ஒரு தனித்துவமான இடத்தைக் கொண்டுள்ளது.
மெய் எண் அமைப்பில் எண்களின் வகைப்பாடு
மெய் எண் அமைப்பு தனித்து இயங்குவதில்லை. அது ஒரு எளிமையான எண் அமைப்பின் நீட்டிப்பாகும். அதைப் புரிந்துகொள்ள, அதனை உருவாக்கும் எண்களின் வகைப்பாட்டை நாம் பார்க்க வேண்டும்.
1. இயல் எண்கள்
இயல் எண்கள் பொதுவாக ℕ எனக் குறிக்கப்படுகின்றன. இந்த எண்கள் பொருட்களை எண்ணுவதற்குப் பயன்படுகின்றன, மேலும் பொதுவாக பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்கியுள்ளன:
1, 2, 3, 4, 5, …
சில வரையறைகளின்படி, பூஜ்ஜியமும் இயல் எண்களில் அடங்கும், ஆனால் கல்வி நடைமுறையில், முழு எண்களுக்கும் இயல் எண்களுக்கும் இடையே பெரும்பாலும் ஒரு வேறுபாடு காட்டப்படுகிறது.
2. முழு எண்கள்
முழு எண்களில் இயல் எண்கள் மற்றும் பூஜ்ஜியம் ஆகியவை அடங்கும்:
0, 1, 2, 3, 4, …
எண்ணும் சூழலில் 'ஒன்றுமில்லை' (பூஜ்ஜியம்) என்பதை வெளிப்படுத்த வேண்டியிருக்கும் போது முழு எண்கள் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
3. முழு எண்கள்
முழுக்கள் ℤ குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை முழு எண்களையும் அவற்றின் எதிர்மறை எண்களையும் உள்ளடக்கியுள்ளன:
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
உறைநிலைக்குக் கீழுள்ள வெப்பநிலை, கடன் அல்லது கடல் மட்டத்திற்குக் கீழுள்ள உயரங்கள் போன்ற, 'பூஜ்ஜியத்திற்குக் கீழுள்ள' திசைகள் அல்லது மதிப்புகளை உள்ளடக்கிய சூழ்நிலைகளை வெளிப்படுத்துவதற்கு முழு எண்கள் முக்கியமானவை.
4. விகித எண்கள்
விகித எண்கள் ℚ எனக் குறிக்கப்படுகின்றன. இந்த எண் பின்ன வடிவில் எழுதக்கூடிய ஓர் எண் ஆகும்:
\[
\frac{p}{q}
\]
\(p\) மற்றும் \(q\) ஆகியவை முழு எண்கள், மற்றும் \(q \neq 0\).
விகித எண்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
– \(\frac{1}{2} = 0,5\)
– \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
– 2 ஐ \(\frac{2}{1}\) என எழுதலாம்
விகித எண்களின் ஒரு முக்கியப் பண்பு என்னவென்றால், அவற்றின் தசம வடிவம் முடிவடையும் அல்லது மீண்டும் மீண்டும் வரும். எடுத்துக்காட்டாக:
– 0,25 நிறுத்தங்கள்
– 0,333… மீண்டும் நிகழ்கிறது
5. விகிதமுறா எண்கள்
விகிதமுறா எண்கள் என்பவை, \(p\) மற்றும் \(q\) ஆகியவை முழு எண்களாக இருக்கும்போது, \(\frac{p}{q}\) என்ற வடிவத்தில் வெளிப்படுத்த முடியாத மெய் எண்கள் ஆகும். தசம வடிவம் நிற்காது மற்றும் மீண்டும் மீண்டும் வராது.
விகிதமுறா எண்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
– \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
– \(\pi = 3,14159265…\)
– \(e = 2,7182818…\)
விகிதமுறா எண்கள் வடிவவியலிலும் (எ.கா., மூலைவிட்டத்தின் வர்க்கமூலம்) கணிதப் பகுப்பாய்விலும் அடிக்கடி காணப்படுகின்றன.
6. மெய் எண்கள்
மெய் எண்கள் என்பவை விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்களின் கலவையாகும்:
\[
\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\text{விகிதமுறா எண்})
\]
வேறுவிதமாகக் கூறினால், எண் கோட்டில் குறிப்பிடக்கூடிய அனைத்து எண்களும் மெய் எண்களாகும்.
எண் கோடு மற்றும் அடர்த்தி கருத்து
மெய் எண்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கான சிறந்த வழிகளில் ஒன்று எண் கோடு ஆகும். இந்தக் கோட்டில், ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு மெய் எண்ணைக் குறிக்கிறது. சுவாரஸ்யமாக, எந்த இரண்டு மெய் எண்களுக்கும் இடையில் எப்போதும் மற்றொரு மெய் எண் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, 1 மற்றும் 2-க்கு இடையில் 1,5; 1,5 மற்றும் 2-க்கு இடையில் 1,75; இதுபோல முடிவில்லாமல் தொடர்கிறது.
இந்தப் பண்பு அடர்த்தி என்று அழைக்கப்படுகிறது. விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்கள் இரண்டுமே எண் கோட்டில் சம அடர்த்தி கொண்டவை: அதாவது, எந்த இரண்டு மெய் எண்களுக்கும் இடையில், எண்ணற்ற விகிதமுறு எண்களும் எண்ணற்ற விகிதமுறா எண்களும் உள்ளன.
மெய் எண்களின் அடிப்படை செயல்பாடுகள்
மெய் எண்கள் பின்வரும் அடிப்படை கணிதச் செயல்பாடுகளை ஆதரிக்கின்றன:
1. கூட்டல்: \(a + b\)
2. கழித்தல்: \(a – b\)
3. பெருக்கல்: \(a \times b\)
4. வகுத்தல்: \(a \div b\), \(b \neq 0\) என்ற நிபந்தனையுடன்.
இந்தச் செயல்பாடுகள் பின்வரும் முக்கியமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன:
– பரிமாற்றுப் பண்பு: \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
– சேர்ப்புப் பண்பு : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
– பங்கீட்டுப் பண்பு: \(a(b + c) = ab + ac\)
– முற்றொருமை உண்டு: கூட்டலுக்கு 0, பெருக்கலுக்கு 1.
– இதற்கு நேர்மாறு உள்ளது: கூட்டலுக்கு \(-a\), பெருக்கலுக்கு \(\frac{1}{a}\) (\(a \neq 0\) எனில்)
இந்தப் பண்புகள் மெய் எண்களைக் கணக்கீட்டு முறையாக மிகவும் நிலையானதாக ஆக்குகின்றன.
வரிசை மற்றும் முழுமையான மதிப்பு
மெய் எண்களுக்கும் ஒரு வரிசைத் தொடர்பு உண்டு. பின்வரும் குறியீட்டைக் கொண்டு இரண்டு மெய் எண்களை நாம் ஒப்பிடலாம்:
– \(<\) சிறியது - \(>\) பெரியது
– \(\le\) என்பது குறைவாக அல்லது சமமாக உள்ளது
– \(\ge\) என்பது விடப் பெரியது அல்லது சமமானது
மேலும், ஒரு எண்ணுக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கும் இடையிலான தூரத்தைக் கூறும் தனிமதிப்பு என்ற கருத்தும் உள்ளது:
\[
|a| =
\தொடங்கு{வழக்குகள்}
a, & a ≥ 0 எனில் \\
-a, & \text{if } a < 0 \end{cases} \] எடுத்துக்காட்டாக, \(|-5| = 5\) மற்றும் \(|3| = 3\).
