தொடர் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான விரைவான வழி

தொடர் கணக்குகளைத் தீர்ப்பதற்கான விரைவான வழி

பள்ளி நுழைவுத் தேர்வுகள், வேலைத் தேர்வுப் போட்டிகள் மற்றும் அடிப்படைத் திறனறித் தேர்வுகளில் கூட, தொடர் கேள்விகள் (எண் தொடர்கள்) ஒரு பொதுவான வகைக் கேள்வியாகும். இதன் அடிப்படை எளிமையானது: ஒரு எண் தொடரில் உள்ள ஒரு வடிவத்தைக் கண்டறிந்து, பின்னர் அடுத்த எண்ணை (அல்லது விடுபட்ட எண்ணை) நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். அவை சிக்கலானதாகத் தோன்றினாலும், உங்களிடம் தெளிவான படிநிலைகளின் "வரைபடம்" இருந்தால், தொடர் கணக்குகளை உண்மையில் விரைவாகத் தீர்க்க முடியும். இந்தக் கட்டுரை, நடைமுறை உத்திகளைப் பயன்படுத்தி தொடர் கணக்குகளை விரைவாகத் தீர்ப்பது எப்படி, மிகவும் பொதுவான வடிவங்களின் வகைகள் மற்றும் தவறான வடிவங்களைத் தவிர்ப்பதற்கான குறிப்புகள் பற்றி விவாதிக்கிறது.

1. தொடர் கணக்கின் நோக்கத்தைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.

அடிப்படையில், தொடர் கேள்விகள் எண்களுக்கு இடையேயான தொடர்புகளை அடையாளம் காணும் உங்கள் திறனைச் சோதிக்கின்றன. இந்தத் தொடர்புகளில் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், செயல்பாடுகளின் சேர்க்கைகள், மற்றும் நிலை அடிப்படையிலான வடிவங்கள் அல்லது குழுக்கள் கூட அடங்கும்.

பொதுவாக கேள்விகள் பின்வரும் வடிவத்தில் இருக்கும்:
– அடுத்த எண்ணைக் கண்டறியவும்: 2, 4, 8, 16, …
– விடுபட்ட எண்களைக் கண்டறியவும்: 3, 6, __, 24, 48
கொடுக்கப்பட்டுள்ள விருப்பங்களிலிருந்து மிகவும் பொருத்தமான விடையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

சுருக்கமான குறிப்பு இதுதான்: கண்மூடித்தனமாக யூகிக்காதீர்கள். பின்வரும் முறையான வழிமுறைகளைப் பின்பற்றுங்கள்.

2. தொடரைத் தீர்ப்பதற்கான விரைவான வழிமுறைகள் (பொதுவான முறை)

தேர்வுகளில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் பயனுள்ள சிந்தனை முறைகளின் வரிசை பின்வருமாறு:

1) எண்களுக்கு இடையேயான வித்தியாசத்தைச் சரிபார்க்கவும்
தொடர்ச்சியான வித்தியாசங்களைக் கணக்கிடுங்கள்: a2–a1, a3–a2, மற்றும் பல. பல எளிய தொடர்கள் மாறாத வித்தியாசங்களையோ (கூட்டுத்தொடர்கள்) அல்லது ஒரு வடிவத்தை உருவாக்கும் வித்தியாசங்களையோ பயன்படுத்துகின்றன.

2) விகிதத்தை (வகுத்தலை) சரிபார்க்கவும்
வித்தியாசங்கள் நேர்த்தியாக இல்லையென்றால், a2/a1, a3/a2 என வகுத்துப் பாருங்கள். இது பெருக்குத் தொடர்கள் அல்லது பெருக்கல் முறைகளைக் கண்டறிய உதவுகிறது.

3) கலப்பு முறையை (இரண்டு படிகள்/மாறி மாறி) சரிபார்க்கவும்.
தொடர்கள் பெரும்பாலும் கூட்டல், பெருக்கல், கூட்டல், பெருக்கல் என்ற ஒரு மாற்று அமைப்பைப் பயன்படுத்துகின்றன. அல்லது இரண்டு தொடர்கள் மாறி மாறி வரும் (ஒற்றை எண்கள் ஒரு அமைப்பையும், இரட்டை எண்கள் மற்றொரு அமைப்பையும் உருவாக்கும்).

4) இரண்டாம் நிலை வடிவத்தைச் சரிபார்க்கவும் (வேறுபாடு வேறுபாடு).
வித்தியாசம் சீராக மாறினால், வித்தியாசங்களின் வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடுங்கள். இது பெரும்பாலும் இருபடித் தொடர்களிலோ அல்லது படிநிலை அதிகரிக்கும் வடிவங்களிலோ நிகழ்கிறது.

5) சிறப்பு வடிவங்களைச் சரிபார்க்கவும்: வர்க்கம், முப்படி, பகா எண், ஃபிபோனச்சி, காரணியம்
பல சோதனைகள் தனித்துவமான வடிவங்களைக் காட்டுகின்றன. எண்கள் உங்களுக்குப் பரிச்சயமாகத் தெரிந்தால் (1, 4, 9, 16…), அது பெரும்பாலும் ஒரு வர்க்கமாக இருக்கும்.

6) இலக்க அடிப்படையிலான வடிவங்களைச் சரிபார்க்கவும்
சில நேரங்களில் அமைப்பு மதிப்பில் இருப்பதில்லை, மாறாக இலக்கத்தில் இருக்கும்: இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை, தலைகீழாக்கம், இலக்கங்களின் கூட்டல் அல்லது 9/11-இன் மடங்கு.

இந்த வரிசைமுறையால் உங்கள் நேரம் வீணாகாது. அது இயல்பாக வரும் வரை நீங்கள் பயிற்சி செய்தால் மட்டும் போதும்.

3. மிகவும் அடிக்கடி நிகழும் தொடர் வடிவங்கள் மற்றும் அதைச் செய்வதற்கான விரைவான வழி

A. கூட்டுத் தொடர் (மாறிலி வேறுபாடு)
உதாரணம்: 5, 9, 13, 17, …
வித்தியாசம்: +4, +4, +4.
ஆகவே அடுத்த எண்: 21.

ஒரு எளிய வழி: தொடர்ச்சியாக இரண்டு முறை ஒரே வித்தியாசத்தைக் கண்டறிந்தவுடன், அதே முறையைத் தொடருங்கள்.

B. பெருக்குத் தொடர் (மாறாத விகிதம்)
உதாரணம்: 3, 6, 12, 24, …
விகிதம்: ×2, ×2, ×2.
அடுத்து: 48.

விரைவான குறிப்பு: எண்கள் வேகமாக அதிகரித்தாலோ அல்லது குறைந்தாலோ, அது பெருக்கல்/வகுத்தலாக இருக்கலாம் எனச் சந்தேகிக்கவும்.

C. தரப்படுத்தப்பட்ட வேறுபாட்டுத் தொடர் (சீரான ஏறும் வேறுபாடு)
உதாரணம்: 2, 5, 9, 14, 20, …
வித்தியாசம்: +3, +4, +5, +6.
அடுத்த வித்தியாசம் +7 → 27.

விரைவான குறிப்பு: வித்தியாசம் “ஒவ்வொன்றாக அதிகரித்தால்”, அது ஒரு படிநிலை வடிவத்தின் அறிகுறியாகும்.

D. இருபடி மற்றும் முப்படி தொடர்கள்
– சதுரங்கள்: 1, 4, 9, 16, 25, … (n²)
– கனம்: 1, 8, 27, 64, … (n³)

ஒரு எளிய வழி: 1 முதல் 15 வரையிலான சதுரங்களையும், 1 முதல் 10 வரையிலான கனசதுரங்களையும் மனப்பாடம் செய்யுங்கள். இது எண்களைக் கண்டறியும் வேகத்தை நொடிகளில் அதிகரிக்கும்.

இ. ஃபிபோனச்சி தொடர் மற்றும் அதன் மாறுபாடுகள்
கிளாசிக் ஃபிபோனச்சி: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
ஒவ்வொரு எண்ணும் அதற்கு முந்தைய இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம்.

அடிக்கடி நிகழும் மாறுபாடுகள்:
2, 3, 5, 8, 13, 21, … (2 மற்றும் 3-இல் இருந்து தொடங்குகிறது).

ஒரு எளிய வழி: a(n) = a(n-1) + a(n-2) என்பதைச் சரிபார்க்கவும். அது 2–3 படிகளில் பொருந்தினால், அதுவே பொதுவாக விடையாக இருக்கும்.

F. பகா எண் தொடர்
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
ஒரு எளிய வழி: 50 வரையிலான பகா எண்களை மனப்பாடம் செய்யுங்கள். பல கணக்குகள் அந்த வரம்பிலேயே நின்றுவிடுகின்றன.

G. காரணியத் தொடர்
1, 2, 6, 24, 120, … (1!, 2!, 3!, 4!, 5!)
ஒரு எளிய வழி: பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகை சரியாக வருகிறதா என்று பாருங்கள்: ×2, ×3, ×4, ×5.

H. மாறி மாறி வரும் முறை (இரண்டு செயல்பாடுகள்)
உதாரணம்: 2, 6, 7, 21, 22, 66, …
வரிசைமுறை: ×3, +1, ×3, +1, ×3 …
அடுத்து: 67.

ஒரு எளிய வழி: குறிப்பிட்ட முறை எதுவும் இல்லை என்றால், 'பெருக்கல் மற்றும் கூட்டல்' செயல்பாடுகளை மாறி மாறிப் பிரித்துச் செய்ய முயற்சிக்கவும்.

I. இரண்டு மாறி மாறி வரும் தொடர்கள் (ஒற்றை மற்றும் இரட்டை எண்கள் வெவ்வேறு வடிவங்களைக் கொண்டுள்ளன)
உதாரணம்: 1, 4, 2, 8, 3, 12, 4, …
ஒற்றைப்படை நிலை எண்கள்: 1, 2, 3, 4 (அதிகரிப்பு +1)
இரட்டைப்படை நிலை எண்கள்: 4, 8, 12 (அதிகரிப்பு +4)
அடுத்தது (இரட்டை நிலை): 16.

எளிய வழிமுறை: (1வது, 3வது, 5வது,…) மற்றும் (2வது, 4வது, 6வது,…) என இரண்டு வரிசைகளாகப் பிரிக்கவும்.

ஜே. இலக்க அடிப்படையிலான வடிவங்கள்
உதாரணம்: 10, 11, 13, 17, 25, …
சில நேரங்களில் இந்த அமைப்பு, இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாகவோ அல்லது “அடுத்த எண் = முந்தைய எண் + அதன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை” என்றோ இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டாக, விதி: a(n+1) = a(n) + (a(n)-இன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை).

ஒரு எளிய குறிப்பு: எண்கள் வித்தியாசமாகத் தெரிந்தாலோ அல்லது வித்தியாசம்/விகிதத்தில் பொருந்தாமல் இருந்தாலோ, இலக்கங்களைச் சரிபார்க்கவும்.

4. தவறான வடிவப் பொறிகளைத் தவிர்ப்பதற்கான நுட்பங்கள்

தேர்வுகளில், தேர்வர்கள் பெரும்பாலும் பல வடிவங்களுக்குப் பொருந்துவது போல் தோன்றும் வரிசைகளை வழங்குகிறார்கள். இதைத் தவிர்ப்பது எப்படி:

1) குறைந்தபட்சம் 3 நிலைமாற்றங்களில் இந்த வடிவத்தைச் சோதித்துப் பாருங்கள்.
ஒரே ஒரு பொருத்தத்துடன் திருப்தி அடையாதீர்கள். பல எண் ஜோடிகளைப் பொருத்துவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.

2) மிகவும் எளிமையான மற்றும் சீரான வடிவத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
இரண்டு சாத்தியக்கூறுகள் இருந்தால், பொதுவாக அதிக சிக்கலற்றதும் எல்லா எண்களுக்கும் பொருந்தக்கூடியதுமான வடிவமே தேர்ந்தெடுக்கப்படும்.

3) விடைத் தேர்வுகளில் கவனம் செலுத்துங்கள்
பல தேர்வு வினாக்களில், சில சமயங்களில் நீங்கள் ஒரு வடிவத்தைச் சோதித்துப் பார்த்து, அதன் முடிவு கொடுக்கப்பட்டுள்ள தெரிவுகளில் வருகிறதா என்று பார்க்கலாம். அவ்வாறு வரவில்லை என்றால், அந்த வடிவம் தவறானது.

5. சிறு பயிற்சி எடுத்துக்காட்டுகள் (விரைவான வழி)

1) 7, 14, 28, 56, …
விகிதத்தைச் சரிபார்க்கவும்: ×2 பிறகு → அடுத்து 112.

2) 3, 8, 15, 24, 35, …
வித்தியாசம்: +5, +7, +9, +11 (2 அதிகம்) → அடுத்து +13 = 48.

3) 1, 3, 6, 10, 15, …
வித்தியாசம்: +2, +3, +4, +5 → அடுத்து +6 = 21 (இது ஒரு முக்கோணத் தொடர்).

6. வேகமாக கற்பதற்கான குறிப்புகள்

– கட்டாயம் மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய வடிவங்களின் பட்டியலைத் தயாரிக்கவும்: வர்க்கம், முப்படி, பகா எண், காரணியம், ஃபிபோனச்சி.
– தினமும் 10–20 கேள்விகளைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்: அடிக்கடி செய்யாமல், ஏராளமாகச் செய்வதை விடத் தவறாமல் செய்வது சிறந்தது.
– நிறுத்தக்கடிகாரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்: அடிப்படை நிலைக்கு ஒவ்வொரு கேள்விக்கும் 20–40 வினாடிகள் ஒதுக்க இலக்கு வையுங்கள்.
– நீங்கள் அடிக்கடி தவறாகக் கணிக்கும் முறைகளைக் குறித்துக்கொள்ளுங்கள்: அது உங்கள் முன்னேற்றத்தை விரைவுபடுத்தும் ஒரு “தவறுகளின் களஞ்சியமாக” மாறும்.

மூடுகிறது

தொடர் கணக்குகளை விரைவாகத் தீர்ப்பது என்பது திறமையைப் பொறுத்ததல்ல, மாறாக அது உத்தியையும் பழக்கத்தையும் சார்ந்தது. மிகவும் பொதுவான படிகளிலிருந்து (வேறுபாடு மற்றும் விகிதம்) தொடங்கி, மாறி மாறி வரும் அல்லது ஒன்றோடொன்று கலந்திருக்கும் வடிவங்களுக்குச் செல்லுங்கள். பின்னர், வர்க்கங்கள், பகா எண்கள், ஃபிபோனச்சி எண்கள் அல்லது காரணியங்கள் போன்ற குறிப்பிட்ட வடிவங்களைச் சரிபார்க்கவும். நீங்கள் எவ்வளவு அதிகமாகப் பயிற்சி செய்கிறீர்களோ, அவ்வளவு அதிகமாகச் சில நொடிகளில் வடிவங்களைக் கண்டறியப் பழகிவிடுவீர்கள். நீங்கள் சீராகப் பயிற்சி செய்தால், ஆரம்பத்தில் குழப்பமாகத் தோன்றிய தொடர் கணக்குகள் மிகவும் எளிதாகவும் விரைவாகவும் தீர்க்கக்கூடியதாக மாறிவிடும்.

நீங்கள் விரும்பினால், உங்களிடம் உள்ள தொடர் கணக்குகளின் 5-10 எடுத்துக்காட்டுகளை எனக்கு அனுப்புங்கள், நான் மிக வேகமான முறையைப் பயன்படுத்தி அவற்றை ஒவ்வொன்றாக விவாதிக்க உங்களுக்கு உதவுவேன்.