சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது எப்படி

சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது எப்படி

சாய்சதுரம் என்பது நாம் கணிதப் பாடங்களில், குறிப்பாக வடிவவியலில், அடிக்கடி காணும் ஒரு தள வடிவமாகும். இது ஒரு வைரம் அல்லது வைர வடிவ செவ்வகம் போன்ற ஒரு தனித்துவமான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதன் நான்கு பக்கங்களும் சம நீளம் கொண்டவை. இது எளிமையாகத் தோன்றினாலும், நம்மிடம் உள்ள தகவல்களைப் பொறுத்து — அதாவது மூலைவிட்டங்கள், பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் உயரம், அல்லது கோணங்கள் — ஒரு சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட பல வழிகள் உள்ளன. இந்தக் கட்டுரை, ஒரு சாய்சதுரத்தின் வரையறை மற்றும் பண்புகள் முதல் எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகள் மற்றும் தவறுகளைத் தவிர்ப்பதற்கான குறிப்புகள் வரை, அதன் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைத் தெளிவாக விளக்கும்.

சாய்சதுரத்தைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

சாய்சதுரம் என்பது நான்கு பக்கங்களும் சம நீளம் கொண்ட ஒரு நாற்கரம் ஆகும். சதுரத்தைப் போலல்லாமல், சாய்சதுரத்தின் கோணங்கள் 90 டிகிரியாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இதனால்தான், சம பக்கங்களைக் கொண்டிருந்தாலும் அது 'சமச்சீரற்றதாக'த் தோன்றக்கூடும்.

சாய்சதுரத்தின் எதிர் பக்கங்கள் இணையாக இருப்பதால், அது இணைகரக் குடும்பத்தைச் சேர்ந்தது. இருப்பினும், அதனைத் தனித்துவமாக்கும் ஒரு கூடுதல் பண்பும் அதற்கு உண்டு: அதன் எல்லாப் பக்கங்களும் நீளத்தில் சமமாக இருக்கும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சாய்சதுரத்தின் முக்கிய பண்புகள்

சூத்திரத்திற்குள் செல்வதற்கு முன், கணக்கீடுகளில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் சாய்சதுரங்களின் சில பண்புகளைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம்:

1. நான்கு பக்கங்களும் ஒரே நீளம் கொண்டவை.
2. எதிர் பக்கங்கள் இணையாக உள்ளன.
3. எதிர் கோணங்கள் சமம்.
4. மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்கோணத்தில் (90 பாகை) வெட்டிக்கொள்கின்றன.
5. மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடுகின்றன மற்றும் சம நீளம் கொண்டவையாக உள்ளன.

மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகவும், ஒன்றை ஒன்று இருசமக்கூறிடுவதாகவும் இருக்கும் பண்பே, சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கான மிகவும் பொதுவான சூத்திரத்தின் அடிப்படையாகும்.

சாய்சதுரப் பரப்பளவு சூத்திரம் (அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுவது)

ஒரு சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கு, அதன் இரண்டு மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களைப் பயன்படுத்துவதே மிகவும் பிரபலமான முறையாகும்.

1) பரப்பளவு = ½ × d₁ × d₂

தகவல்:
– d₁ = முதல் மூலைவிட்டம்
– d₂ = இரண்டாவது மூலைவிட்டம்

சூத்திரம் ஏன் அப்படி இருக்கிறது? ஏனென்றால், ஒரு சாய்சதுரத்தின் இரண்டு மூலைவிட்டங்கள் தளத்தை நான்கு சர்வசமமான செங்கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கின்றன. அவற்றை இணைக்கும்போது, ​​சாய்சதுரத்தின் மொத்தப் பரப்பானது, அந்த இரண்டு மூலைவிட்டங்களின் பெருக்கற்பலனில் பாதிக்குச் சமமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1
ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் d₁ = 12 செ.மீ மற்றும் d₂ = 8 செ.மீ என அறியப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவைக் கணக்கிடுக!

தீர்வு:
– L = ½ × d₁ × d₂
– L = ½ × 12 × 8
– L = ½ × 96
– L = 48 செ.மீ²

ஆகவே, சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு 48 செ.மீ² ஆகும்.

பக்கங்கள் மற்றும் உயரத்தைப் பயன்படுத்தி பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது எப்படி

சில நேரங்களில், கணக்கில் மூலைவிட்டம் கொடுக்கப்படாமல், பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் உயரம் (அல்லது இரண்டு இணைப் பக்கங்களுக்கு இடையேயான தூரம்) கொடுக்கப்பட்டிருக்கும். சாய்சதுரம் என்பது இணைகரத்தின் ஒரு சிறப்பு வடிவம் என்பதால், அதன் பரப்பளவையும் ஒரு இணைகரத்தைப் போலவே கணக்கிடலாம்:

2) பரப்பளவு = அடிப்பக்கம் × உயரம்

ஒரு சாய்சதுரத்தில், அதன் 'அடிப்பக்கம்' எந்தப் பக்கமாகவும் இருக்கலாம் (ஏனெனில் எல்லாப் பக்கங்களும் நீளத்தில் சமம்). இருப்பினும், முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், அதன் உயரம் என்பது அடிப்பக்கத்திலிருந்து எதிர்ப்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு ஆகும்.

தகவல்:
– அடிப்பக்கம் (a) = சாய்சதுரத்தின் பக்க நீளம்
– உயரம் (t) = இரு இணைப் பக்கங்களுக்கு இடையேயான செங்குத்துத் தூரம்

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2
ஒரு சாய்சதுரத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நீளம் 10 செ.மீ மற்றும் அதன் உயரம் 6 செ.மீ ஆகும். அதன் பரப்பளவு என்ன?

தீர்வு:
– L = அடிப்பக்கம் × உயரம்
– L = 10 × 6
– L = 60 செ.மீ²

ஆகவே, பரப்பளவு 60 செ.மீ² ஆகும்.

பக்கங்கள் மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் தெரிந்தால் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது எப்படி

ஒரு மூலைவிட்டம் மற்றும் ஒரு பக்கம், அல்லது முதலில் மூலைவிட்டத்தைக் கண்டுபிடிக்க நம்மைத் தூண்டும் பிற தகவல்களை வழங்கும் கணக்குகளும் உள்ளன. ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகவும் இருசமக்கூறிடுவதாலும், நாம் பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

மிசல்னியா:
– மூலைவிட்டங்கள் d₁ மற்றும் d₂ ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொண்டு இருசமக்கூறிடுவதால், மூலைவிட்டத்தின் ஒவ்வொரு பாதியும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கமாக அமைகிறது.
சாய்சதுரத்தின் பக்கம் கர்ணமாகிறது.

அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் உறவுகள்:
\[
s^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
தகவல்:
– s = சாய்சதுரத்தின் பக்கம்

s மற்றும் d₁ நமக்குத் தெரிந்தால், d₂-ஐக் கண்டறிந்து, பின்னர் ½ × d₁ × d₂ என்ற பரப்பளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3
ஒரு சாய்சதுரத்தின் ஒரு பக்கம் 13 செ.மீ மற்றும் மூலைவிட்டம் d₁ = 10 செ.மீ ஆகும். அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்!

படி 1: d₂-ஐக் கண்டறியவும்
பயன்பாடு:
\[
s^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
பதிலீடு:
\[
13^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
\[
169 = 5^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
\[
169 = 25 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
\[
144 = \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
\[
\frac{d_2}{2} = 12 \Rightarrow d_2 = 24
\]

படி 2: பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்
– L = ½ × d₁ × d₂
– L = ½ × 10 × 24
– L = 120 செ.மீ²

ஆகவே, சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு 120 செ.மீ² ஆகும்.

கோணங்களைப் பயன்படுத்தி பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது எப்படி

சில சமயங்களில், கணக்கில் பக்கங்களும் கோணங்களும் (எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு பக்கங்களுக்கு இடையிலான கோணம்) கொடுக்கப்பட்டிருக்கும். ஒரு சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவை முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்தியும் கணக்கிடலாம்:

4) பரப்பளவு = s² × sin(θ)

தகவல்:
– s = சாய்சதுரத்தின் பக்க நீளம்
– θ = இரு அடுத்தடுத்த பக்கங்களுக்கு இடையிலான கோணம்
– sin(θ) என்பது கோணத்தின் சைன் மதிப்பு ஆகும்.

சுருக்கமான உதாரணம்
s = 8 செ.மீ மற்றும் θ = 30° எனில்:
– L = 8² × sin(30°)
– L = 64 × ½
– L = 32 செ.மீ²

தவறான கணக்கீடுகளைத் தவிர்ப்பதற்கான குறிப்புகள்

1. அலகுகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். d₁ சென்டிமீட்டரிலும், d₂ மீட்டரிலும் இருந்தால், சீரான தன்மையைப் பேணுவதற்காக முதலில் அவற்றை மாற்றவும்.
2. மூலைவிட்ட சூத்திரத்தில் ½ காரணியை மறந்துவிடாதீர்கள். நாம் இரண்டால் வகுக்க மறந்துவிடுவதால் பல தவறுகள் ஏற்படுகின்றன.
3. உயரம் என்பது ஒரு பக்கம் அல்ல. உயரம் என்பது ஒரு செங்குத்துத் தூரம், மூலைவிட்டக் கோடு அல்ல.
4. பாதி மூலைவிட்டங்களுடன் பித்தாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குவது d₁/2 மற்றும் d₂/2 தான், முழு மூலைவிட்டங்கள் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
5. விடையின் பொருத்தத்தைச் சரிபார்க்கவும். மூலைவிட்டங்கள் 12 மற்றும் 8 எனில், நீங்கள் ½-ஐ மறந்துவிட்டதால் ​​96-இன் பரப்பளவு மிகப் பெரியது.

முடிவுரை

தெரிந்த தரவுகளைப் பொறுத்து, ஒரு சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவைப் பல வழிகளில் கணக்கிடலாம். மிகவும் பொதுவான முறை, L = ½ × d₁ × d₂ என்ற சூத்திரத்துடன் இரண்டு மூலைவிட்டங்களைப் பயன்படுத்துவதாகும். பக்கமும் உயரமும் மட்டுமே தெரிந்தால், ஒரு இணைகரத்தில் உள்ளதைப் போல L = அடிப்பக்கம் × உயரம் என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். மேலும் சிக்கலான கணக்குகளில், நாம் முதலில் பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மூலைவிட்டங்களைக் கண்டறியலாம் அல்லது L = s² × sin(θ) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியலின் மூலம் நேரடியாகக் கணக்கிடலாம். ஒரு சாய்சதுரத்தின் பண்புகளைப் புரிந்துகொண்டு சரியான சூத்திரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது எளிதாகும் மற்றும் பிழைகளும் குறைக்கப்படும்.

நீங்கள் விரும்பினால், பள்ளிக் குறிப்புகளுக்காக இதன் சுருக்கமான பதிப்பையோ, அல்லது பயிற்சிக் கேள்விகள் மற்றும் அவற்றின் விளக்கங்களின் தொகுப்பையோ என்னால் உருவாக்கிக் கொடுக்க முடியும்.