வரிசைமாற்றம் மற்றும் சேர்மான விதிகள்

வரிசைமாற்றம் மற்றும் சேர்மான விதிகள்

கணிதத்தில், குறிப்பாக நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளியியல் துறைகளில், ஒரு நிகழ்வு "எத்தனை வழிகளில்" நிகழலாம் என்ற கேள்வியை நாம் அடிக்கடி எதிர்கொள்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக: கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான நபர்களுக்கு எத்தனை சாத்தியமான இருக்கை அமைப்புகள் உள்ளன? ஒரு மாணவர் குழுவிலிருந்து அணி உறுப்பினர்களை எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்? இதுபோன்ற கேள்விகளுக்கு, எண்ணுதல் விதிகளில் உள்ள இரண்டு முக்கியக் கருத்துக்களான வரிசைமாற்றம் மற்றும் சேர்மான விதிகளைப் பயன்படுத்தி பதிலளிக்கப்படுகிறது. இவை இரண்டுமே "வழிகளின் எண்ணிக்கையைக்" கையாண்டாலும், வரிசை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறதா இல்லையா என்பதில்தான் முக்கியமான வேறுபாடு உள்ளது.

1. கணக்கெடுப்பு விதிகளின் அடிப்படைக் கருத்து

வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் சேர்மானங்களைப் பற்றி விரிவாகப் பார்ப்பதற்கு முன், நாம் புரிந்துகொள்ள வேண்டிய ஒரு அடிப்படைக் கருத்து உள்ளது: எண்ணுதல் என்பது, கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் தொகுப்பிலிருந்து சாத்தியமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடும் செயல்முறையாகும். சிறிய நேர்வுகளுக்கு எண்ணுதலைக் கைமுறையாகச் செய்யலாம், ஆனால் பெரிய நேர்வுகளுக்கு, நமக்கு ஒரு திறமையான சூத்திரம் தேவைப்படுகிறது.

கணக்கீட்டில் உள்ள இரண்டு அடிப்படைக் கொள்கைகள்:

1. பெருக்கல் விதி
ஒரு செயல்முறை பல நிலைகளைக் கொண்டிருந்தால், மேலும் ஒவ்வொரு நிலையிலும் பல தேர்வுகள் இருந்தால், மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை என்பது ஒவ்வொரு நிலையிலும் உள்ள தேர்வுகளின் எண்ணிக்கையின் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமமாகும்.

2. கூட்டுத்தொகை விதி
ஒரு தேர்வை, ஒன்றுக்கொன்று பிரத்தியேகமான (ஒன்றோடொன்று பொருந்தாத) பல வழிகளில் செய்ய முடியுமானால், வழிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை என்பது அந்த வழிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

வரிசைமாற்றங்களும் சேர்மானங்களும் இந்தக் கொள்கையின் மேலும் சில பயன்பாடுகளாகும், குறிப்பாகப் பொருள்கள் வரிசைப்படுத்தப்படவோ அல்லது தேர்ந்தெடுக்கப்படவோ தொடங்கும் போது இது பொருந்தும்.

2. வரிசைமாற்றம்: வரிசைக்குக் கவனம் செலுத்தி அமைத்தல்

வரிசைமாற்றம் என்பது, வரிசைக்கு முக்கியத்துவம் உள்ள வகையில் பொருட்களை அமைக்கும் அல்லது தேர்ந்தெடுக்கும் ஒரு முறையாகும். இதன் பொருள், AB என்ற அமைப்பு BA என்ற அமைப்பிலிருந்து வேறுபட்டது என்பதாகும்.

அ. n வெவ்வேறு பொருட்களின் வரிசை மாற்றங்கள் (அனைத்தும் வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன)

n வெவ்வேறு பொருள்கள் ஒரு வரிசையில் அடுக்கப்பட வேண்டும் எனில், அவ்வரிசைகளின் எண்ணிக்கை:

\[
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1
\]

“!” என்ற குறியீடு காரணியம் என அழைக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு:
நான்கு வெவ்வேறு புத்தகங்கள் உள்ளன. அவற்றை ஒரு அலமாரியில் எத்தனை வழிகளில் அடுக்கலாம்?
\[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
\]
ஆகவே 24 ஏற்பாடுகள் உள்ளன.

b. பகுதி வரிசைமாற்றம்: n-இலிருந்து r-ஐத் தேர்ந்தெடுத்தல் (வரிசை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது)

n வெவ்வேறு பொருட்களிலிருந்து நாம் r பொருட்களை (அனைத்தையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை) வரிசைப்படுத்தத் தேர்ந்தெடுத்தால், வரிசைமாற்ற சூத்திரம்:

\[
P(n,r) = \frac{n!}{(nr)!}
\]

குறிப்பு:
ஆறு மாணவர்களில், தலைவர், துணைத் தலைவர் மற்றும் செயலாளராக தலா மூன்று மாணவர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவார்கள். இதை எத்தனை வழிகளில் செய்யலாம்?
தலைவர், துணைச் செயலாளர் ஆகியவை வெவ்வேறு பதவிகள் என்பதால், அவற்றின் வரிசை முக்கியமானது.
\[
P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120
\]
120 வழிகள் உள்ளன.

c. ஒரே பொருளைக் கொண்ட வரிசை மாற்றங்கள் (மீண்டும் வருதல்/ஒரே மாதிரியானவை)

சில சமயங்களில், அனைத்தும் தனித்துவமானதாக இல்லாத பொருள்கள் இருக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, "NIGHT" என்ற வார்த்தையில் இரண்டு M-களும் இரண்டு A-களும் உள்ளன (அல்லது "NIGHT" என்பதற்கு: 2 M-கள் உள்ளன, 2 A-கள் உள்ளனவா? உண்மையில், "NIGHT" = NIGHT: M=2, A=2, L=1). வெவ்வேறு வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

\[
\frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \dots}
\]

இதில் \(n\) என்பது மொத்தப் பொருட்களின் எண்ணிக்கை, மற்றும் \(n_1, n_2\) என்பது ஒரே மாதிரியான பொருட்களின் எண்ணிக்கை ஆகும்.

குறிப்பு:
“NIGHT” என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களை எத்தனை விதங்களில் அமைக்கலாம்?
எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை (n=5), M-இல் 2, A-இல் 2, L-இல் 1.
\[
\frac{5!}{2!\,2!} = \frac{120}{4} = 30
\]
ஆகவே, 30 விதமான அமைப்புகள் உள்ளன.

3. சேர்க்கை: வரிசையைப் பொருட்படுத்தாமல் தேர்வு செய்தல்

சேர்மானம் என்பது, பொருட்களின் வரிசை முக்கியமில்லாத ஒரு தேர்வு முறையாகும். A மற்றும் B-ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதும், B மற்றும் A-ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதும் ஒன்றுதான்.

சேர்மான சூத்திரம் n பொருட்களிலிருந்து r-ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறது:

\[
C(n,r) = \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(nr)!}
\]

அ. எளிய சேர்மானத்திற்கான எடுத்துக்காட்டு

குறிப்பு:
10 மாணவர்களில் இருந்து, 3 மாணவர்கள் (குறிப்பிட்ட பதவிகள் இன்றி) போட்டி அணியின் உறுப்பினர்களாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவார்கள். எத்தனை வழிகளில்?
தரவரிசைகள் இல்லாததால், வரிசை முக்கியமில்லை.
\[
C(10,3)=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}=120
\]
120 வழிகள் உள்ளன.

b. வரிசைமாற்றங்களுக்கும் சேர்மானங்களுக்கும் இடையிலான தொடர்பு

வரிசைமாற்றங்களும் சேர்மானங்களும் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையவை என்பதைக் கவனிக்கவும். r நபர்களைத் தேர்ந்தெடுத்து அவர்களை வரிசைப்படுத்த, நாம் பின்வருவனவற்றைச் செய்யலாம்:

– முதலில் r நபர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்: \(C(n,r)\)
– அந்த நபரை r என ஏற்பாடு செய்: \(r!\)

அதனால்:
\[
P(n,r) = C(n,r)\times r!
\]

இது வரிசையை வேறுபடுத்திக் காட்டுவதால், வரிசைமாற்றம் "பெரியது" என்பதைக் காட்டுகிறது.

4. தீர்மானிப்பது எப்படி: வரிசைமாற்றம் அல்லது சேர்மானத்தைப் பயன்படுத்துவதா?

ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு, அந்த உத்தரவு கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டுள்ளதா என்பதை அறிந்துகொள்வதே மிக முக்கியமான படியாகும்.

பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் வரிசைமாற்றங்களைப் பயன்படுத்தவும்:
– ஒரு பதவி அல்லது பட்டம் உள்ளது (தலைவர், துணைத் தலைவர், 1-2-3 ஆம் இடம்),
– அங்கே இருக்கை வசதி உள்ளது,
– ஒரு குறியீடு அல்லது வரிசைமுறை உள்ளது.

பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் கலவையைப் பயன்படுத்தவும்:
– குழு உறுப்பினர்களை மட்டும் தேர்ந்தெடுக்கவும்,
வரிசைமுறை முடிவுகளை வேறுபடுத்துவதில்லை.
யார் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறார் என்பதே முக்கியம், அவர்களின் பதவி அல்ல.

விரைவான உதாரணம்:
– குழுவில் இடம்பெற 12 பேரில் இருந்து 5 பேரைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்: கலவை
– 12 பங்கேற்பாளர்களிலிருந்து முதல், இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் இட வெற்றியாளர்களைத் தீர்மானித்தல்: வரிசைமாற்றம்

5. அன்றாட வாழ்வில் பயன்பாடுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

வரிசைமாற்றங்களும் சேர்மானங்களும் கணிதப் புத்தகங்களில் மட்டுமல்ல, நிஜச் சூழ்நிலைகளிலும் காணப்படுகின்றன:

1. கடவுச்சொல் பாதுகாப்பு (கடவுச்சொல்/PIN)
மீண்டும் மீண்டும் வர அனுமதிக்கப்பட்ட, சாத்தியமான 4-இலக்க PIN எண்களின் (0–9) எண்ணிக்கை \(10^4\) ஆகும். இது பெருக்கல் விதி மற்றும் மீண்டும் மீண்டும் வரும் வரிசைமாற்றங்கள் என்ற கருத்துடன் தொடர்புடையது.

2. அட்டவணைகள் அல்லது இருக்கை ஏற்பாடுகளைச் செய்தல்
வெவ்வேறு நிலைகள் காரணமாக ஏற்படும் வரிசைமாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, முறையான நிகழ்வுகளில் இருக்கை நிலைகளைத் தீர்மானித்தல்.

3. குழு அல்லது கமிட்டியைத் தேர்ந்தெடுத்தல்
ஒரு குழுவிலிருந்து பலரைத் தேர்ந்தெடுப்பது ஒரு சேர்மானம் ஆகும், ஏனெனில் வரிசை முக்கியமல்ல.

4. சீட்டு விளையாட்டுகள்
போக்கர் அல்லது பிற விளையாட்டுகளில் ஒரு குறிப்பிட்ட கையின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட, சேர்க்கைகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

6. தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

வரிசைமாற்றம் மற்றும் சேர்மானக் கணக்குகளைத் தீர்க்கும்போது அடிக்கடி நிகழும் சில தவறுகள்:

வரிசைமுறை முக்கியமானதாக இருந்தபோதிலும் அதை முக்கியமற்றதாகக் கருதுவது, எடுத்துக்காட்டாக, தலைவர் மற்றும் துணைத் தலைவரைத் தேர்ந்தெடுப்பது (அது வரிசை மாற்றமாக இருக்க வேண்டும்).
ஒரே மாதிரியான பொருள்களைப் பிரிக்க மறந்துவிடுவது, உதாரணமாக, மீண்டும் மீண்டும் வரும் எழுத்துக்களைக் கொண்ட சொற்களை உருவாக்குவது.
– காரணியங்களை தவறாகக் கணக்கிடுதல், குறிப்பாக \(\frac{n!}{(nr)!}\) என்ற வடிவத்தை எளிதாக்கும்போது.

இதைத் தடுப்பதற்கான ஒரு வழி, கேள்விக்கான விளக்கத்தை எளிய வாக்கியங்களில் எழுதுவதாகும்: “நான் தேர்வு செய்ய வேண்டுமா அல்லது ஏற்பாடு செய்ய வேண்டுமா?” மற்றும் “நிலைப்பாடானது விளைவில் மாற்றத்தை ஏற்படுத்துமா?”

மூடுகிறது

பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் சாத்தியக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதற்கு, வரிசைமாற்றம் மற்றும் சேர்மானத்தின் விதிகள் இன்றியமையாத கருவிகளாகும். வரிசை அல்லது நிலை முக்கியமானதாக இருக்கும்போது வரிசைமாற்றங்களும், வரிசை முக்கியமற்றதாக இருக்கும்போது சேர்மானங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த வேறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலமும், காரணியங்களில் தேர்ச்சி பெறுவதன் மூலமும், பொருத்தமான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும், பல எண்ணுதல் மற்றும் நிகழ்தகவுச் சிக்கல்களை நாம் இன்னும் விரைவாகவும் துல்லியமாகவும் தீர்க்க முடியும். நடைமுறையில், சூத்திரங்களை வெறுமனே மனப்பாடம் செய்வதை விட, வரிசைமாற்றம் அல்லது சேர்மானம் ஆகிய சரியான முறையைத் தேர்ந்தெடுக்கும் திறனே பெரும்பாலும் மிகவும் முக்கியமானதாக இருக்கிறது.