முழு எண்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

முழு எண்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

முழு எண்கள் கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான கருத்துக்களில் ஒன்றாகும், ஆயினும் அவை அன்றாட வாழ்வில் ஒரு முக்கியப் பங்கை வகிக்கின்றன. நாம் பொருட்களை எண்ணும்போதும், பூஜ்ஜியத்திற்கும் குறைவான வெப்பநிலைகளைத் தீர்மானிக்கும்போதும், ஒரு அடித்தளத்தில் உள்ள தளங்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடும்போதும், அல்லது ஒரு வணிகத்தில் இலாப நஷ்டங்களைப் பதிவுசெய்யும்போதும், நாம் உண்மையில் முழு எண்களையே கையாளுகிறோம். முழு எண்களையும் அவற்றின் பண்புகளையும் புரிந்துகொள்வது, எண்கணிதம், இயற்கணிதம் மற்றும் உயர்நிலை கணிதக் கருத்துக்களைக் கற்றுக்கொள்வதை எளிதாக்கும்.

முழு எண்களின் வரையறை

முழு எண்கள் என்பவை எதிர்மறை முழு எண்கள், பூஜ்ஜியம் மற்றும் நேர்மறை முழு எண்களை உள்ளடக்கிய எண்களின் தொகுப்பாகும். முழு எண்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கப் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடு Z ஆகும் (இது 'எண்கள்' என்று பொருள்படும் ஜெர்மானிய வார்த்தையான Zahlen என்பதிலிருந்து பெறப்பட்டது). பொதுவாக, முழு எண்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

பூஜ்ஜியம் மற்றும் நேர்மறை எண்களை மட்டுமே கொண்டிருக்கும் முழு எண்களைப் போலல்லாமல், முழுக்கள் எதிர்மறை எண்களையும் உள்ளடக்கியிருப்பதால், அவை பல்வேறு சூழ்நிலைகளை விவரிப்பதில் மிகவும் முழுமையானவையாக உள்ளன.

அன்றாட வாழ்வில் முழு எண்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

முழு எண்கள் மனித செயல்பாடுகளுடன் நெருக்கமாகப் பிணைக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றின் பயன்பாட்டிற்கான சில எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு:

1. காற்றின் வெப்பநிலை: -5°C என்பது, வெப்பநிலை பூஜ்ஜியத்திற்குக் கீழே 5 டிகிரி என்பதைக் குறிக்கிறது.
2. கடல் மட்ட உயரம்: -20 மீட்டர் கடல் மட்ட உயரம் என்பது கடல் மட்டத்திலிருந்து 20 மீட்டர் கீழே உள்ள ஒரு இடத்தைக் குறிக்கலாம்.
3. நிதி: -50.000 என்ற இருப்பு, 50.000 கடன் அல்லது பற்றாக்குறையைக் குறிக்கிறது.
4. கட்டிடத் தளம்: தளம் -1 அல்லது -2 பொதுவாக அடித்தளத்திற்காகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
5. ஆட்டப் புள்ளி: சில ஆட்டங்களில், புள்ளி அதிகரிக்கவோ குறையவோ கூடும், இதனால் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்கள் இடம்பெறலாம்.

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, பூஜ்ஜியத்தை ஒரு குறிப்புப் புள்ளியாகக் கொண்டு, 'அதிகம்', 'குறைவு' அல்லது 'சமம்' போன்ற நிலைகளை வெளிப்படுத்த முழு எண்கள் நமக்கு உதவுகின்றன என்பதைக் காணலாம்.

முழு எண் கோடு

முழு எண்களைப் புரிந்துகொள்ள, நாம் பெரும்பாலும் எண் கோட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். எண் கோடு என்பது எண்களைக் குறிப்பிட்ட இடங்களில் வைக்கும் ஒரு நேர்க்கோடு ஆகும்.

நேர்மறை எண்கள் பூஜ்ஜியத்தின் வலப்புறத்தில் இருக்கும்.
எதிர்மறை எண்கள் பூஜ்ஜியத்தின் இடதுபுறத்தில் இருக்கும்.
மதிப்பு வலதுபுறம் செல்லச் செல்ல, அது அதிகமாக இருக்கும்.
இடதுபுறம் செல்லச் செல்ல மதிப்பு குறையும்.

எண் கோட்டைக் கொண்டு முழு எண்களை எளிதாக ஒப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, -2 ஆனது -5 ஐ விடப் பெரியது, ஏனெனில் -2 ஆனது -5 ஐ விட வலப்புறம் அதிகமாக உள்ளது.

முழு எண்களின் பண்புகள்

கணிதச் செயல்பாடுகளில் முழு எண்கள் பல முக்கியமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. நாம் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​இயற்கணிதக் கோவைகளை எளிதாக்கும்போது, ​​அல்லது கருத்துகளை நிரூபிக்கும்போது இந்தப் பண்புகள் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கின்றன.

1. மூடிய தன்மை (மூடல்)

முழு எண்களின் கணம் சில குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு மூடியுள்ளது, அதாவது, நாம் அந்தச் செயல்பாடுகளை முழு எண்களின் மீது நிகழ்த்தினால், அதன் முடிவும் ஒரு முழு எண்ணாகவே இருக்கும்.

– கூட்டல்: a மற்றும் b முழு எண்கள் எனில், a + b என்பதும் ஒரு முழு எண்ணாகும்.
உதாரணம்: -3 + 7 = 4
– கழித்தல்: a மற்றும் b ஆகியவை முழு எண்கள் எனில், a − b என்பதும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும்.
உதாரணம்: 5 − 12 = -7
– பெருக்கல்: a மற்றும் b ஆகியவை முழு எண்கள் எனில், a × b என்பதும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும்.
உதாரணம்: (-4) × 6 = -24

இருப்பினும், முழு எண்கள் எப்போதும் வகுத்தலுக்கு உட்படாதவை, ஏனெனில் வகுத்தலின் முடிவு ஒரு பின்னமாக இருக்கலாம்.
உதாரணம்: 1 ÷ 2 = 1/2 (இது ஒரு முழு எண் அல்ல).

2. பரிமாற்றுப் பண்பு (பரிமாற்றம்)

பரிமாற்றுப் பண்பு என்பது, எண்களின் வரிசையை மாற்றினாலும் முடிவு மாறாது என்பதாகும்.

– கூட்டல்: a + b = b + a
உதாரணம்: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
– பெருக்கல்: a × b = b × a
உதாரணம்: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12

கழித்தலும் வகுத்தலும் பரிமாற்றுப் பண்பு அற்றவை என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம்.
எடுத்துக்காட்டு: 7 − 2 ≠ 2 − 7.

3. சேர்ப்புப் பண்புகள் (குழுவாக்கம்)

சேர்ப்புப் பண்பு என்பது, ஒரு செயல்பாட்டில் எண்கள் குழுவாக்கப்படும் விதம் அதன் முடிவை மாற்றாது என்பதாகும்.

– கூட்டல்: (a + b) + c = a + (b + c)
உதாரணம்: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
– பெருக்கல்: (a × b) × c = a × (b × c)
உதாரணம்: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24

பரிமாற்றுப் பண்பைப் போலவே, சேர்ப்புப் பண்பும் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தலுக்குப் பொருந்தாது.

4. பங்கீட்டுப் பண்புகள் (பரவல்)

பங்கீட்டுப் பண்பு பெருக்கல் செயல்பாடுகளைக் கூட்டல் அல்லது கழித்தலுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது:

– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
உதாரணம்: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
உதாரணம்: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28

இயற்கணித வடிவங்களை எளிதாக்குவதிலும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதிலும் இந்தப் பண்பு மிகவும் முக்கியமானது.

5. முற்றொருமைக் கூறுகள் (கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் முற்றொருமைகள்)

முற்றொருமை என்பது, ஒரு எண்ணின் மீது செயல்பாடு நடத்தப்படும்போது அதன் மதிப்பை மாற்றாத ஒரு எண் ஆகும்.

– கூட்டல் முற்றொருமை 0 ஆகும்: a + 0 = a
உதாரணம்: -9 + 0 = -9
– பெருக்கல் முற்றொருமை 1 ஆகும்: a × 1 = a
உதாரணம்: 8 × 1 = 8

கணிதச் செயல்பாடுகளில் நடுநிலைக் கருத்தைப் புரிந்துகொள்ள முற்றொருமைகள் நமக்கு உதவுகின்றன.

6. நேர்மாறு கூறுகள் (எதிர் எண்கள்)

ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும் ஒரு கூட்டல் நேர்மாறு உண்டு; அது, ஒன்றாகக் கூட்டும்போது 0-ஐ விளைவிக்கும் எண்களின் எதிர் எண்ணாகும்.

– a-இன் நேர்மாறு -a ஆகும், எனவே: a + (-a) = 0
உதாரணம்: 6 + (-6) = 0, மற்றும் -4 + 4 = 0

இருப்பினும், எல்லா முழு எண்களுக்கும் பெருக்கலில் நேர்மாறு இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 2-இன் பெருக்கல் நேர்மாறு 1/2 ஆகும், இது ஒரு முழு எண் அல்ல.

7. செயல்பாட்டில் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை அறிகுறிகள்

முழு எண்களில், நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை குறிகள் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தலுக்கு சிறப்பு விதிகளை அளிக்கின்றன:

– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)

குறிப்பு:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20

கூட்டல் மற்றும் கழித்தலுக்கு, நாம் பெரும்பாலும் எண் கோடு அல்லது விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
எதிர்மறை எண்களைக் கூட்டுவதும் கழிப்பதும் ஒன்றுதான்.
ஒரு எதிர்மறை எண்ணைக் கழிப்பதும், கூட்டுவதும் ஒன்றுதான்.

குறிப்பு:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7

முடிவுரை

முழு எண்கள் என்பவை எதிர்மறை எண்கள், பூஜ்ஜியம் மற்றும் நேர்மறை எண்களைக் கொண்ட ஒரு எண் தொகுப்பாகும். இந்த எண்கள் மிகவும் முக்கியமானவை, ஏனெனில் அவை பூஜ்ஜியத்திற்கும் குறைவான வெப்பநிலை, நிதி இழப்புகள் அல்லது கடல் மட்டத்திற்குக் கீழே உள்ள இடங்கள் போன்ற வாழ்க்கையின் பல்வேறு நிலைமைகளை விவரிக்க முடியும். முழு எண்கள் கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பெருக்கலுக்கு மூடிய தன்மை, பரிமாற்றுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்பு, பங்கீட்டுப் பண்பு, முற்றொருமைப் பண்பு மற்றும் கூட்டல் நேர்மாறுப் பண்பு போன்ற அடிப்படைப் பண்புகளையும் கொண்டுள்ளன. முழு எண்களின் பண்புகளைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், நாம் கணக்கீடுகளை எளிதாகச் செய்ய முடியும், செயல்பாடுகளை எளிமையாக்க முடியும், மேலும் இயற்கணிதம், சமன்பாடுகள் மற்றும் பிற எண் அமைப்புகள் போன்ற அடுத்தடுத்த கணிதத் தலைப்புகளையும் கற்றுக்கொள்ள முடியும்.

நீங்கள் விரும்பினால், இந்தக் கட்டுரையின் ஒரு பதிப்பைத் தொடக்க/நடுநிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்காக (எளிமையானது) அல்லது பயிற்சிக் கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்களுடன் கூடிய ஒரு முழுமையான கட்டுரை போன்ற முறையான பதிப்பையும் என்னால் உருவாக்க முடியும்.