நிகழ்தகவு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு எளிய வழி
நிகழ்தகவு என்பது அன்றாட வாழ்க்கையுடன் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டிருப்பதால், பள்ளிகளில் அடிக்கடி எதிர்கொள்ளப்படும் ஒரு கணிதப் பாடமாகும்: ஒரு பகடையில் ஒரு எண் தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவு, ஒரு பெட்டியிலிருந்து வண்ணப் பந்தை எடுப்பது, தரவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு நிகழ்வு நடப்பதற்கான நிகழ்தகவு எனப் பலவற்றில் இது காணப்படுகிறது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, பல மாணவர்கள் நிகழ்தகவைக் 'கடினமானதாக'க் கருதுகின்றனர், ஏனெனில் கணக்குகள் எளிமையாகத் தோன்றினாலும், கவனமாக ஆராயாவிட்டால் விடைகள் தவறாக இருக்கலாம். இருப்பினும், நிகழ்தகவுக் கணக்குகளைத் தீர்ப்பதற்கு மிகவும் எளிதான மற்றும் முறையான ஒரு வழி உள்ளது: அடிப்படைக் கருத்துக்களைப் புரிந்துகொள்வது, கணக்கின் வகையை அடையாளம் காண்பது, பின்னர் சரியான உத்தியைத் தேர்ந்தெடுப்பது.
நிகழ்தகவு கணக்குகளைத் தீர்க்கும்போது, வேகமாகவும் துல்லியமாகவும் செயல்பட உதவும் நடைமுறை வழிமுறைகளை இந்தக் கட்டுரை விவாதிக்கும்.
-
1. வாய்ப்பு என்பதன் அடிப்படைக் கருத்தைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.
பொதுவாக, ஒரு நிகழ்வு \(A\) இன் நிகழ்தகவு பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:
\[
P(A) = \frac{\text{சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளின் எண்ணிக்கை }A}{\text{ஐ ஆதரிக்கும் விளைவுகளின் எண்ணிக்கை}}
\]
இதன் இரகசியம் இரண்டு விஷயங்களில் அடங்கியுள்ளது:
1. மாதிரி வெளி (S): ஏற்படக்கூடிய அனைத்து சாத்தியமான விளைவுகளும்.
2. நிகழ்வு (A): கேட்கப்பட்ட கேள்விக்கு ஒத்திருக்கும் மாதிரி வெளியின் ஒரு பகுதி.
அனைத்து விளைவுகளும் சம நிகழ்தகவு கொண்டவையாக இருந்தால் (எ.கா., சீரான பகடைகள், சீரான நாணயங்கள்), மேலே உள்ள சூத்திரத்தை நேரடியாகப் பயன்படுத்தலாம். அவை சம நிகழ்தகவு கொண்டவையாக இல்லாவிட்டால், நிகழ்தகவுகள் பொதுவாக மற்ற மாதிரிகளிலிருந்து (எ.கா., நிகழ்வெண் தரவு அல்லது நிபந்தனை நிகழ்தகவு) கணக்கிடப்படுகின்றன.
-
2. வாய்ப்புச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான விரைவான வழிமுறைகள்
வழிதவறுவதைத் தவிர்க்க, பின்வரும் “செயல்பாட்டு சூத்திரத்தைப்” பயன்படுத்தவும்:
1. கேட்கப்பட்டதை எழுதுங்கள் (எந்த நிகழ்வு கேட்கப்பட்டுள்ளது?)
2. மாதிரி வெளியைத் தீர்மானிக்கவும் (எத்தனை சாத்தியமான விளைவுகள் உள்ளன?)
3. கோரப்பட்ட நிகழ்வை ஆதரிக்கும் முடிவுகளைக் கணக்கிடுங்கள்.
4. இலாபப் பகிர்வு ஒட்டுமொத்த முடிவுகளுக்கு ஆதரவளிக்கிறது.
5. பின்னத்தைச் சுருக்கி, அது தர்க்கரீதியானது என்பதை உறுதிப்படுத்தவும் (நிகழ்தகவு 0 மற்றும் 1-க்கு இடையில் இருக்க வேண்டும்).
படி 2 மற்றும் 3 தெளிவுபடுத்தப்படாததாலேயே பெரும்பாலான பிழைகள் ஏற்படுகின்றன.
-
3. தேவைப்பட்டால் அட்டவணைகள், மர வரைபடங்கள் அல்லது பட்டியல்களைப் பயன்படுத்தவும்.
இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முயற்சிகளை உள்ளடக்கிய கணக்குகளுக்கு (எ.கா., ஒரு நாணயத்தை இருமுறை சுழற்றுதல், ஒரு சீட்டை இருமுறை எடுத்தல்), காட்சி முறைகள் மிகவும் உதவியாக இருக்கும்.
அ) அட்டவணை
இரண்டு எளிய மாறிகளுக்கு ஏற்றது, எடுத்துக்காட்டாக நாணயங்கள் மற்றும் பகடை.
b) மர வரைபடம்
படிப்படியான சோதனைகளுக்கு ஏற்றது, குறிப்பாக "திரும்ப முடியாத" நிலை (பொருட்களின் எண்ணிக்கை மாறும் போது) இருக்கும்போது.
c) மாதிரி வெளி உறுப்பினர்களின் பட்டியல்
சிறிய மாதிரி இடங்களுக்கு ஏற்றது.
இந்த வழியில், நீங்கள் யூகிக்க வேண்டியதில்லை.
-
4. பாரம்பரிய நிகழ்தகவுக் கேள்விகள் மற்றும் விரைவான தீர்வுகள்
A. பகடை மீதான வாய்ப்புகள்
பகடைக்கு 6 பக்கங்கள் உள்ளன: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
எடுத்துக்காட்டு: ஒரு இரட்டை எண்ணைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு.
– மாதிரி வெளி \(S = 6\)
– நிகழ்வு \(A = \{2,4,6\}\) என்பது 3 ஆகும்.
– \(P(A) = 3/6 = 1/2\)
ஒரு எளிய குறிப்பு: 'மொத்தம் 6' என்று எண்ணுவதற்குப் பதிலாக, எப்போதும் 'எத்தனை முறை நிரப்ப வேண்டும்' என்று எண்ணுங்கள்.
-
B. நாணயத்தின் மீதான வாய்ப்பு
ஒரு நாணயத்திற்கு இரண்டு பக்கங்கள் உள்ளன: தலைப்பக்கம் (A) மற்றும் தலைப்பக்கம் (G).
உதாரணம்: ஒரு நாணயத்தை ஒரு முறை சுழற்றும்போது படம் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு.
– மொத்தம் 2
– ஆதரவு 1
– வாய்ப்பு \(=1/2\)
இரண்டு முறை வீசப்பட்டால்:
– மாதிரி வெளி: \(\{AA, AG, GA, GG\}\) மொத்தம் 4
விரைவான குறிப்பு: சார்பற்ற சோதனைகளுக்கு, மொத்த நிகழ்தகவு பொதுவாக நாணயங்களுக்கு \(2^n\) ஆகவும், பகடைகளுக்கு \(6^n\) ஆகவும் இருக்கும்.
-
சி. பெட்டியிலிருந்து பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு (மாற்றுடன் மற்றும் மாற்று இல்லாமல்)
உதாரணமாக, ஒரு பெட்டியில் 3 சிவப்பு பந்துகளும் 2 நீல பந்துகளும் (மொத்தம் 5) உள்ளன.
1) திரும்பவும்
இரண்டு முறை எடுங்கள், ஒவ்வொரு முறையும் பந்து திருப்பித் தரப்படும். சிவப்பு பந்தை எடுத்துவிட்டு, பிறகு நீல பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
– சிவப்பு நிறத்திற்கான வாய்ப்பு: \(3/5\)
– பிறகு நீலம் (அது திருப்பித் தரப்பட்டதால், அப்படியே இருக்கிறது): \(2/5\)
– \(P = (3/5)(2/5)=6/25\)
2) திருப்பி அனுப்ப இயலாது
திரும்ப வராமல் இரண்டு முறை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். சிவப்பு, பிறகு நீலம் வருவதற்கான வாய்ப்புகள்:
– முதல் சிவப்பு பந்தய விகிதம்: \(3/5\)
– 4 பந்துகள் மீதமுள்ளன, மீதமுள்ள நீல நிறம் 2 → இரண்டாவது நீல நிறத்திற்கான நிகழ்தகவு: \(2/4\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)
முக்கிய வேறுபாடு: பதிலீடு செய்யாமல் இருக்கும்போது, மொத்த பந்துகளின் எண்ணிக்கை குறைவதால் பகுதி மாறுகிறது.
-
5. கூட்டல் மற்றும் நிரப்பி விதிகளைப் பயன்படுத்தவும்
A. கூட்டல் விதி (அல்லது)
“A அல்லது B” வெற்றி வாய்ப்புகள் கேட்கப்பட்டால், இதைப் பயன்படுத்தவும்:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B)
\]
– \(A \cup B\): A அல்லது B (அல்லது இரண்டும்)
– \(A \cap B\): A மற்றும் B ஒரே நேரத்தில்
எளிய உதாரணம்: பகடை, அதில் இரட்டை எண் அல்லது 3-இன் மடங்காவதற்கான நிகழ்தகவு.
– இரட்டைப்படை: {2,4,6} → 3
– 3-இன் மடங்குகள்: {3,6} → 2
– துண்டுகள் (இரட்டை மற்றும் 3 இன் மடங்குகள்): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)
B. நிரப்பி (எதிர்ச்சொல்)
நடக்காதவற்றைக் கணக்கிட்டு, பின்னர் அதை 1-லிருந்து கழிப்பது பெரும்பாலும் எளிதானது.
\[
P(A) = 1 – P(A^c)
\]
உதாரணம்: ஒரு நாணயத்தை 3 முறை சுண்டும்போது, குறைந்தபட்சம் ஒரு முறையாவது 'தலை' விழுவதற்கான நிகழ்தகவு.
ஒரு எண்ணை 1,2,3 முறை எண்ணுவதற்குப் பதிலாக, அதன் நிரப்பியை எண்ணுங்கள்:
– நிரப்பி: எண்களே இல்லை = அனைத்தும் உருவங்கள் (GGG)
– \(P(\text{GGG}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– எனவே \(P(\text{குறைந்தபட்சம் 1 எண்}) = 1 – 1/8 = 7/8\)
இந்த உத்தி, “குறைந்தது ஒன்று”, “குறைந்தது ஒன்று”, “குறைவான” போன்ற சொற்களைக் கொண்ட கேள்விகளுக்கு மிகவும் பிரபலமானது.
-
6. நிபந்தனைக்குட்பட்ட முரண்பாடுகள்: கூடுதல் தகவல்களுக்குக் கவனம் செலுத்துங்கள்.
நிபந்தனை நிகழ்தகவு என்பது, B ஏற்கனவே நிகழ்ந்திருக்கும் பட்சத்தில் A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
\[
P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]
இந்த வகையான கேள்வி பொதுவாகக் கூடுதல் தகவல் இருக்கும்போது கேட்கப்படும், எடுத்துக்காட்டாக, "சிவப்புப் பந்து எடுக்கப்பட்டது என்பது தெரியும்" அல்லது "தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாணவி ஒரு பெண் என்பது தெரியும்".
எளிய வழி:
1. நிபந்தனை B-இல் கவனம் செலுத்துங்கள் (மாதிரி வெளி B-க்கு மட்டுமே சுருங்குகிறது எனக் கருதுங்கள்)
2. B என்ற நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்பவற்றிலிருந்து, A என்ற நிபந்தனையையும் பூர்த்தி செய்பவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்.
-
7. மிகவும் பொதுவான தவறுகள்
1. பதிலீடு செய்யாதபோது மாதிரி வெளியை மாற்ற மறந்துவிட்டேன்.
2. “அல்லது” என்ற வார்த்தையைத் தவறாகப் புரிந்துகொள்வது (சில சமயங்களில் இரண்டுமே என்று பொருள்படும்).
3. “குறைந்தபட்சம்” / “அதிகபட்சம்” என்பவற்றில் துல்லியமாக இல்லாமல், நிரப்பிகளைப் பயன்படுத்துவது சிறந்தது.
4. நிகழ்வுகள் சார்பற்றவை அல்லாதபோதும், அவை சார்பற்றவை எனக் கருதுதல் (திரும்பப் பெறுதல் இல்லாமல் அவை சார்பற்றவை அல்ல).
5. எளிமைப்படுத்தவோ தர்க்கத்தைச் சரிபார்க்கவோ வேண்டாம் (நிகழ்தகவு முடிவு 1-ஐ விட அதிகமாக இருக்கக் கூடாது).
-
8. விரைவாகத் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான பயிற்சிக் குறிப்புகள்
– \(S\), \(A\), many members \(n(S)\), \(n(A)\) என்று எழுதப் பழகிக்கொள்ளுங்கள்.
மர வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி “இரு-கட்ட” கணக்குகளைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்.
– துணைச்சொற்களைக் கொண்ட “குறைந்தது ஒரு” கேள்வியையாவது பயிற்சி செய்யுங்கள்.
உங்களுக்கு ஒரு பதில் கிடைத்தவுடன், அது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கவும். ஒரு நிகழ்வு நடப்பதற்கான நிகழ்தகவு "நிகழ வாய்ப்புள்ளது" என்றால், அதன் மதிப்பு பொதுவாக 0-க்கு அருகில் இல்லாமல், 1-க்கு அருகில் இருக்கும்.
-
மூடுகிறது
முறையான வழிமுறைகளைத் தொடர்ந்து பின்பற்றினால், நிகழ்தகவுக் கணக்குகளைத் தீர்ப்பது உண்மையில் எளிதானது: மாதிரி வெளியை வரையறுத்தல், நிகழ்வுகளைத் தீர்மானித்தல், பின்னர் விகிதத்தைக் கணக்கிடுதல். மேலும் சிக்கலான கணக்குகளுக்கு, அட்டவணைகள் அல்லது மர வரைபடங்கள் போன்ற காட்சி உதவிகளைப் பயன்படுத்துங்கள், மேலும் கூட்டல், பெருக்கல் மற்றும் நிரப்புதல் விதிகளைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். போதுமான பயிற்சி மற்றும் கணக்குகளைக் கவனமாகப் படிப்பதன் மூலம், நிகழ்தகவு இனி ஒரு "தந்திரமான" விஷயமாகத் தோன்றாது, மாறாக அது அன்றாட நிகழ்வுகளுக்கு நெருக்கமாக இருப்பதால் உண்மையில் மகிழ்ச்சியளிக்கக்கூடிய கணிதத்தின் ஒரு பகுதியாக மாறும்.
நீங்கள் விரும்பினால், நீங்கள் உடனடியாகப் பயிற்சி செய்வதற்காக, நிகழ்தகவு தொடர்பான 10 எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளையும் அவற்றின் விளக்கங்களையும் (எளிதானதிலிருந்து கடினமானது வரை) என்னால் உருவாக்கிக் கொடுக்க முடியும்.
