திட்ட விலக்கத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது

திட்ட விலக்கத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது

ஒரு தரவு அதன் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் பரவியுள்ளது என்பதைத் தீர்மானிக்க, திட்ட விலக்கம் என்பது மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் புள்ளிவிவர அளவீடுகளில் ஒன்றாகும். நிஜ வாழ்க்கையில், ஒரு நிகழ்வின் நிலைத்தன்மை அல்லது மாறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்ள திட்ட விலக்கம் நமக்கு உதவுகிறது: எடுத்துக்காட்டாக, தேர்வு மதிப்பெண்களில் ஏற்படும் மாறுபாடுகள், விற்பனை ஏற்ற இறக்கங்கள், உயர வேறுபாடுகள் மற்றும் நிதித் தரவுகளில் உள்ள இடர்பாடுகள். திட்ட விலக்கம் குறைவாக இருந்தால், தரவு சராசரிக்கு மிக அருகில் உள்ளது என்று பொருள். இதற்கு மாறாக, ஒரு பெரிய திட்ட விலக்கம், தரவு சராசரியிலிருந்து வெகு தொலைவில் இருப்பதையும் அதிக மாறுபாட்டைக் கொண்டிருப்பதையும் குறிக்கிறது.

இந்தக் கட்டுரை, திட்ட விலக்கத்தின் பொருள், பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம் மற்றும் அதை கைமுறையாகக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகள் ஆகியவற்றை எளிதில் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் விவாதிக்கும்.

1. திட்ட விலக்கத்தின் வரையறை

திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும். மாறுபாடு என்பது ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிக்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகளின் வர்க்கங்களின் சராசரி ஆகும். ஏன் வர்க்கத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்? ஏனெனில், தரவுப் புள்ளிகளுக்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகள் எதிர்மறையாகவோ அல்லது நேர்மறையாகவோ இருக்கலாம். அவற்றை நேரடியாகக் கூட்டினால், எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை வேறுபாடுகள் ஒன்றையொன்று சமன்செய்து, தவறான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கும். வேறுபாடுகளை வர்க்கப்படுத்துவதன் மூலம், அனைத்து மதிப்புகளும் நேர்மறையாக மாறி, தரவுப் பரவலின் மிகவும் துல்லியமான அளவீட்டைச் செய்ய முடிகிறது.

எளிமையாக:

– மாறுபாடு = வர்க்க அலகுகளில் பரவலின் அளவீடு.
– திட்ட விலக்கம் = தரவுகளின் பரவல் அதன் அசல் அலகுகளுக்குத் திரும்பியதைக் குறிக்கும் ஒரு அளவீடு.

எடுத்துக்காட்டாக: தரவு, தேர்வு மதிப்பெண்கள் (புள்ளி அலகுகள்) வடிவில் இருந்தால், மாறுபாடு புள்ளிகளிலும், திட்ட விலக்கம் புள்ளிகளிலும் இருக்கும். இது, தரவை விளக்குவதை எளிதாக்குகிறது.

2. மக்கள்தொகை மற்றும் மாதிரி திட்ட விலகல்

கணக்கிடுவதற்கு முன், உங்களிடம் என்ன வகையான தரவு உள்ளது என்பதை அறிவது முக்கியம்:

1. மக்கள் தொகை: ஆய்வு செய்யப்பட வேண்டிய அனைத்து உறுப்பினர்களையும் இந்தத் தரவு உள்ளடக்கியுள்ளது.
மக்கள்தொகை திட்ட விலகல் சூத்திரம், N (தரவுகளின் எண்ணிக்கை) என்ற வகுப்பியைப் பயன்படுத்துகிறது.

2. மாதிரி: தரவு என்பது மக்கள் தொகையின் ஒரு பகுதி மட்டுமே, இது பொதுவாக ஒரு பெரிய மக்கள் தொகையைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தப் பயன்படுகிறது.
மாதிரி திட்ட விலகல் சூத்திரம், மதிப்பீட்டுச் சார்பைத் திருத்துவதற்காக (n − 1) என்ற வகுப்பியைப் பயன்படுத்துகிறது. இந்தத் திருத்தம் பெசல் திருத்தம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அன்றாடப் பயன்பாட்டில் (எ.கா. ஆராய்ச்சி, கணக்கெடுப்புகள், வகுப்புப் பகுப்பாய்வு), தரவு பெரும்பாலும் ஒரு மாதிரியாகக் கருதப்படுகிறது, எனவே வகுப்பான் (n − 1) ஆகும்.

3. திட்ட விலகல் சூத்திரம்

அ. மக்கள் தொகை திட்ட விலகல் சூத்திரம்
தரவுகள் பின்வருமாறு இருப்பதாகக் கொள்வோம்: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
மக்கள்தொகை சராசரி:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
மக்கள்தொகை மாறுபாடு:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
மக்கள்தொகை திட்ட விலகல்:
\[
சிக்மா = √σ²
\]

B. மாதிரி திட்ட விலகல் சூத்திரம்
மாதிரி சராசரி:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
மாதிரி மாறுபாடு:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
மாதிரி திட்ட விலகல்:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]

4. திட்ட விலக்கத்தை கைமுறையாகக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகள்

எளிதாகப் புரிந்துகொள்வதற்காக, 5 மாணவர்களின் தேர்வு மதிப்பெண் தரவுகளை உதாரணமாகப் பயன்படுத்துகிறோம்:

தரவுகள்: 60, 70, 70, 80, 90

இந்தத் தரவு ஒரு மாதிரி என்று கருதுங்கள் (கற்றல் எடுத்துக்காட்டுகளில் இது பொதுவானது).

படி 1: சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள்
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]

ஆகவே சராசரி மதிப்பெண் 74 ஆகும்.

படி 2: ஒவ்வொரு தரவிற்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.
வேறுபாடு நெடுவரிசையை \( (x_i – \bar{x}) \) உருவாக்கவும்:

– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16

படி 3: வித்தியாசத்தை வர்க்கப்படுத்துங்கள்
\( (x_i – \bar{x})^2 \) ஐக் கணக்கிடுக:

– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256

படி 4: வித்தியாசங்களின் வர்க்கங்களைக் கூட்டவும்
\[
கூட்டுத்தொகை (x_i – x)² = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]

படி 5: மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள் (ஒரு மாதிரிக்கு, n − 1 ஆல் வகுக்கவும்)
n = 5 என்பதால், n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]

எனவே, மாதிரி மாறுபாடு 130 ஆகும்.

படி 6: திட்ட விலகலைப் பெற மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலத்தைக் காண்க.
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]

எனவே, தரவின் திட்ட விலக்கம் தோராயமாக 11,40 ஆகும். இதன் பொருள், சராசரியாக, மாணவர்களின் மதிப்பெண்கள் 74 என்ற சராசரியிலிருந்து தோராயமாக 11 புள்ளிகள் விலகுகின்றன.

5. விரைவான வழி: மாற்று சூத்திரம் (கணக்கீடு)

மேலே உள்ள கைமுறை முறையைத் தவிர, கணக்கீடுகளை விரைவுபடுத்துவதற்காக, குறிப்பாக அதிக தரவுகள் இருக்கும்போது, ​​அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் ஒரு கணக்கீட்டுச் சூத்திரமும் உள்ளது:

மாதிரி மாறுபாடு:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]

இந்த சூத்திரம் வித்தியாசங்களை ஒவ்வொன்றாகக் கணக்கிடுவதைத் தவிர்க்கிறது, ஆனாலும் தரவுகளின் வர்க்கங்களின் தொகையைக் கணக்கிடும்போது துல்லியம் தேவைப்படுகிறது.

இருப்பினும், கருத்துருப் புரிதலுக்கு, படிமுறை வழிமுறை (வேறுபாடு → வர்க்கம் → கூட்டுத்தொகை) பொதுவாக எளிதாகவும் பிழைகள் இன்றிப் பாதுகாப்பாகவும் இருக்கும்.

6. திட்ட விலக்கத்தின் விளக்கம்

திட்ட விலக்கம் என்பது வெறும் எண்களோடு நின்றுவிடுவதில்லை, மாறாக அதனைப் புரிந்துகொள்ளவும் வேண்டும்:

– குறைந்த திட்ட விலக்கம்: தரவுகள் சராசரிக்கு அருகில் குவிந்துள்ளன, மாறுபாடு குறைவாக உள்ளது, முடிவுகள் மிகவும் சீரானதாக இருக்கின்றன.
– பெரிய திட்ட விலகல்: தரவுகள் சராசரியிலிருந்து வெகு தொலைவில் பரவியுள்ளன, மாறுபாடு அதிகமாக உள்ளது, முடிவுகள் குறைவான நிலைத்தன்மையுடன் இருக்கின்றன.

உதாரணமாக, இரண்டு வகுப்புகளின் சராசரி மதிப்பெண் 74 என்று வைத்துக்கொள்வோம். வகுப்பு A-இன் திட்ட விலக்கம் 5 ஆகவும், வகுப்பு B-இன் திட்ட விலக்கம் 15 ஆகவும் இருந்தால், வகுப்பு A-இன் மதிப்பெண்கள் மிகவும் சீராகவும் நிலையானதாகவும் இருக்கும். வகுப்பு B-இல் மாறுபாடு அதிகமாக உள்ளது: சில மதிப்பெண்கள் மிகக் குறைவாகவும் சில மிக அதிகமாகவும் உள்ளன.

7. பொதுவான தவறுகள்

திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடும்போது செய்யப்படும் சில பொதுவான தவறுகள்:

1. மாதிரிக்கும் மக்கள்தொகைக்கும் உள்ள வேறுபாட்டைக் குறிப்பிட மறந்துவிட்டதால், வகுப்பான் தவறாக உள்ளது (N vs n − 1).
2. சராசரியைத் தவறாகக் கணக்கிடுவதால், அதைத் தொடர்ந்த அனைத்து நடவடிக்கைகளும் தவறாக அமைகின்றன.
3. வித்தியாசத்தை வர்க்கப்படுத்த மறந்துவிடுவது, அல்லது இறுதியில் வர்க்கமூலம் எடுக்கும்போது தவறு செய்வது.
4. எண்களைக் கூட்டும்போதோ அல்லது வர்க்கங்களைக் கணக்கிடும்போதோ ஏற்படும் கணிதப் பிழைகள்.

ஒரு கணக்கீட்டு அட்டவணையை உருவாக்கி, முடிவுகளை இருமுறை சரிபார்ப்பதன் மூலம் பிழைகளைத் தடுக்கலாம்.

மூடுகிறது

நீங்கள் வழிமுறைகளைச் சரியாகப் பின்பற்றினால், திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுவது உண்மையில் கடினமானதல்ல: சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள், ஒவ்வொரு தரவுத் தொகுப்பிற்கும் இடையிலான வித்தியாசத்தைக் கண்டறியுங்கள், வித்தியாசங்களை வர்க்கப்படுத்துங்கள், அவற்றை ஒன்றாகக் கூட்டுங்கள், (n அல்லது n − 1 ஆல்) வகுத்து, பின்னர் வர்க்கமூலம் எடுங்கள். திட்ட விலக்கத்தைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், உங்கள் தரவு எவ்வளவு சீராக உள்ளது மற்றும் அதில் எவ்வளவு மாறுபாடு உள்ளது என்பதை உங்களால் மதிப்பிட முடியும்.

நீங்கள் விரும்பினால், கூடுதல் தரவுகளுடன் கூடிய எடுத்துக்காட்டுகள், தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் (அதிர்வெண் அட்டவணைகள்), அல்லது எக்செல்/கூகுள் ஷீட்ஸைப் பயன்படுத்தி திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுவது எப்படி என்பது போன்ற கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகளையும் என்னால் உருவாக்க முடியும்.