30 Värmemotorer (tillämpning av termodynamikens andra huvudsats) – problem och lösningar
1. Värmetillförsel QH = 3000 joule och värmeeffekt QL = 1000 Joule. Vad är verkningsgraden för värme motor?
Känd:
Värme ingång (QH) = 10 000 joule
Värmeeffekt (QL) = 10 000 joule
Arbeta med utfört av motorn (W) = 3000 – 1000 = 2000 Joule
Efterlyst: Värmemotorns verkningsgrad (e)
lösning:
2. En värmemotor producerar 2000 joule mekaniskt arbete och motorn avger värme till omgivningen med en hastighet av 500 joule. Vad är värmemotorns verkningsgrad?
Känd:
Arbetet utförs av motorn (W) = 2000 Joule
Värmeeffekt (QL) = 10 000 joule
Värmetillförsel (QH) = 2000 + 5000 = 7000 Joule
Efterlyst: Effektivitet (e)
lösning:
3. En värmemotor har en verkningsgrad på 30 %. Om motorn producerar 10 000 joule mekaniskt arbete, hur mycket värme avges som spillvärme från denna motor?
Känd:
Verkningsgrad (e) = 30 % = 30/100 = 0.3
Arbetet utförs av motorn (W) = 3 000 Joule
Ville Värmeeffekt (QL)
lösning:
Värmeeffekt (QL) = värmetillförsel (QH) – arbete utförs av motorn (W)
QL = 10,000 joule – 3,000 joule
QL = 2 376 000 joule
4. Bestäm verkningsgraden hos en Carnot-motor som arbetar mellan två reservoarer vid temperaturer på 500 K och 300 K.
Lösning: Med hjälp av Carnots effektivitetsformel, \(\meta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}}\), får vi \(\meta = 1 – \frac{300}{500} = 0.4\) eller \(40\%).
5. En värmemotor absorberar 2000 J värme från en varm reservoar och avger 1200 J till en kall reservoar. Beräkna arbetet som utförs av motorn.
Lösning: Med termodynamikens första huvudsats, \(Q_{\text{hot}} = W + Q_{\text{cold}}\), är det utförda arbetet \(W = 2000 – 1200 = 800\ \text{J}\).
6. Beräkna verkningsgraden hos en värmemotor som absorberar 1000 J från en het reservoar och utför 600 J arbete.
Lösning: (η = W/Q = 600/1000 = 0.6) eller (60%).
7. En värmemotor arbetar mellan 400 K och 200 K. Bestäm maximal möjlig verkningsgrad.
Lösning: (ηmax = 1 – T₀kall/T₀varm = 1 – 200/400 = 0.5) eller (50%).
8. En värmemotor avger 300 J till den kalla reservoaren medan den utför 200 J arbete. Beräkna den absorberade värmen från den varma reservoaren.
Lösning: (Q_{\text{varm}} = W + Q_{\text{kall}} = 200 + 300 = 500 \\text{J}\).
9. Bestäm verkningsgraden för en Otto-cykel med ett kompressionsförhållande på 8.
Lösning: \(\meta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} = 1 – \frac{1}{8^{(1.4 – 1)}} \approx 0.564\) eller \(56.4\%\), där \(\gamma\) är värmekapacitetsförhållandet.
10. En värmemotor utför 150 J arbete och avger 100 J till den kalla reservoaren. Beräkna värmen som absorberas från den varma reservoaren.
Lösning: (Q_{\text{varm}} = W + Q_{\text{kall}} = 150 + 100 = 250 \\text{J}\).
11. Bestäm verkningsgraden hos en dieselmotor med ett kompressionsförhållande på 18 och ett gränsvärde på 2.
Lösning: (η = 1 – (1)/r^{(γ – 1)) ((r_c – 1)/r_c) = ca 0.627) eller (62.7%), där (r) är kompressionsförhållandet, (r_c) är gränsvärdet och (γ) är värmekapacitetsförhållandet.
12. Beräkna arbetet som utförs av en värmemotor som absorberar 400 J och har en verkningsgrad på 50 %.
Lösning: (W = η Q = 0.5 400 = 200 J).
13. En värmemotor arbetar mellan 600 K och 300 K. Bestäm Carnot-verkningsgraden.
Lösning: \(\meta = 1 – \frac{T_{\text{kall}}}{T_{\text{varm}} = 1 – \frac{300}{600} = 0.5\) eller \(50\%\).
14. En värmemotor absorberar 3000 J och avger 1800 J till den kalla reservoaren. Beräkna det utförda arbetet.
Lösning: (W = Q_{\text{varm}} – Q_{\text{kall}} = 3000 – 1800 = 1200 J).
15. Bestäm verkningsgraden hos en Stirlingmotor som arbetar mellan två reservoarer vid 800 K och 400 K.
Lösning: \(\meta = 1 – \frac{T_{\text{kall}}}{T_{\text{varm}} = 1 – \frac{400}{800} = 0.5\) eller \(50\%\).
16. En värmemotor avger 500 J till den kalla reservoaren medan den utför 300 J arbete. Beräkna den absorberade värmen från den varma reservoaren.
Lösning: (Q_{\text{varm}} = W + Q_{\text{kall}} = 300 + 500 = 800 \\text{J}\).
17. Bestäm verkningsgraden för en Ericsson-cykel med varma och kalla reservoarer vid 1000 K och 250 K.
Lösning: \(\meta = 1 – \frac{T_{\text{kall}}}{T_{\text{varm}} = 1 – \frac{250}{1000} = 0.75\) eller \(75\%\).
18. En värmemotor utför 700 J arbete och har en verkningsgrad på 70 %. Beräkna den värme som avges till den kalla reservoaren.
Lösning: (Q_{cold} = W/η – W = 700/0.7 – 700 = 1000 – 700 = 300 J).
19. Bestäm verkningsgraden för en Braytoncykel med tryckförhållanden på 6.5 och γ = 1.4.
Lösning: \(\meta = 1 – \frac{1}{r_p^{(\gamma – 1)/\gamma}} \approx 0.433\) eller \(43.3\%\), där \(r_p\) är tryckförhållandet.
20. Beräkna arbetet som utförs av en värmemotor som absorberar 250 J och avger 100 J till den kalla reservoaren.
Lösning: (W = Q_{\text{varm}} – Q_{\text{kall}} = 250 – 100 = 150 J).
21. En värmemotor arbetar mellan 450 K och 150 K. Bestäm Carnot-verkningsgraden.
Lösning: (η = 1 – T_{kall}}{T_{varm} = 1 – 150}{450 \approx 0.667) eller (66.7%).
22. Bestäm verkningsgraden för en Atkinsoncykel med ett kompressionsförhållande på 10.
Lösning: (η = 1 – ∫1}{r(γ – 1)) = ca 0.593) eller (59.3%)
där r är kompressionsförhållandet och gamma är värmekapacitetsförhållandet.
20. En värmemotor absorberar 180 J och har en verkningsgrad på 40 %. Beräkna det utförda arbetet.
Lösning: (W = η Q = 0.4 180 = 72 J).
Obs: För problem som involverar specifika värmecykler (som Otto, Diesel, etc.) användes vissa värden som värmekapacitetsförhållandet γ, vilka är typiska för vissa gaser (t.ex. γ = 1.4 för luft). Dessa värden kan variera beroende på de specifika ämnen som används i motorn.
