Bevarande av mekanisk energi på kurvytor – problem och lösningar
1. Om bollens hastighet vid punkt A är 6 m/s, är bollens hastighet vid punkt B √92 m/s och tyngdaccelerationen är g = 10 m/s² . Vilken är höjden för punkt B (h)?
Känd:
Kulans hastighet vid punkt A (vA) = 6 m/s
Kulans hastighet vid punkt B (v B ) = √92 m/s
Tyngdacceleration (g) = 10 m/ s²
Höjden på A (h A ) = 5.6 meter
Höjden på B (h B ) = h
Önskad: Höjden på punkt B (h)
lösning:
Den initiala mekaniska energin = den gravitationella potentiella energin
Vid punkt A är bollens hastighet = 0, så bollens kinetiska energi = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Bollen är på 5.6 meters höjd, så den har gravitationell potentiell energi. Den gravitationella potentiella energin : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
Den initiala mekaniska energin = den gravitationella potentiella energin + kinetisk energi = 56 m + 0 = 56 m
Den slutliga mekaniska energin = den gravitationella potentiella energin + kinetisk energi
Vid punkt B är bollens höjd h. Den potentiella gravitationsenergin: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Bollens kinetiska energi: KE = 1/2 mv² = 1/2 m (√92) ² = 1/2 m (92) = 46 m
Den slutliga mekaniska energin = den gravitationella potentiella energin + den kinetiska energin = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Principen för bevarande av mekanisk energi:
Den initiala mekaniska energin = den slutliga mekaniska energin
56 m = m (10 tim + 46)
56 = 10 timmar + 46
56 – 46 = 10 timmar
10 = 10 timmar
h = 10 / 10
h = 1 meter
2.
Om initialhastigheten = 0, tyngdaccelerationen = 10 m/s² , vad är då hastigheten vid höjden av B?
Känd:
Begynnelseshastigheten (v o ) = 0
Den ursprungliga höjden (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
Sluthöjden (ht ) = 0
Tyngdacceleration (g) = 10 ms -2
Önskad: Sluthastigheten (v/ t )
lösning:
Förändringen av kinetisk energi:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
Förändringen av den potentiella energin:
ΔPE = mg(ht – h o ) = m(10)(0-40) = m(10)(-40) = – 400 m
Beräkna sluthastigheten (v t ) med hjälp av ekvationen för principen om bevarande av mekanisk energi :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t² = 400 m
1/2 v t² = 400
vt² = 2 (400 )
vt = √(400)(2)
vt = 20√2 m/ s
- Vad menas med "bevarande av mekanisk energi"?
- Svar: Bevarande av mekanisk energi innebär att den totala mekaniska energin (summan av kinetisk och potentiell energi) i ett isolerat system förblir konstant om endast konservativa krafter, såsom gravitationen, verkar på det.
- Hur bevarar ett föremål som rör sig på en krökt yta (som en boll som rullar nerför en krökt ramp) sin mekaniska energi?
- Svar: När objektet rör sig längs den krökta ytan omvandlas potentiell energi till kinetisk energi, men den totala mekaniska energin förblir konstant, förutsatt att inga icke-konservativa krafter (som friktion) utför arbete.
- Om en boll släpps från vila högst upp på en krökt ramp, hur förändras dess kinetiska energi när den rör sig nerför rampen?
- Svar: Bollens kinetiska energi ökar när den rör sig nerför rampen eftersom dess potentiella energi minskar och omvandlas till kinetisk energi.
- I frånvaro av friktion, hur skulle hastigheten hos en boll längst ner på en böjd rutschkana jämföras med en rak rutschkana av samma höjd?
- Svar: Bollens hastighet längst ner skulle vara densamma för både de böjda och raka glidbanorna eftersom omvandlingen av potentiell energi till kinetisk energi endast beror på den vertikala höjden, inte den väg som tas.
- Varför kan en boll inte nå sin ursprungliga höjd när den rullas uppför en krökt ramp efter att ha gått ner från en viss höjd?
- Svar: Om det finns icke-konservativa krafter som friktion som verkar på bollen, kommer de att utföra arbete mot rörelsen och omvandla en del av bollens mekaniska energi till andra former, som värme. Som ett resultat kanske bollen inte har tillräckligt med energi för att nå sin ursprungliga höjd.
- Om två olika formade föremål (t.ex. en sfär och en kub) glider nerför en böjd ramp från samma höjd utan att rulla, kommer de att ha samma hastighet längst ner? Varför?
- Svar: Ja, de kommer att ha samma hastighet längst ner. Om man antar att det inte finns någon rullning och ingen friktion, är den enda faktorn som avgör deras hastighet energins bevarande baserat på den ursprungliga höjden, inte deras form.
- Hur påverkar en ytas krökning normalkraften på ett föremål som rör sig längs den?
- Svar: Krökningen gör att normalkraftens riktning ändras när objektet rör sig. På en konkav uppåtriktad yta (som insidan av en skål) är normalkraften större längst ner på grund av den centripetalkraft som krävs för krökt rörelse. Omvänt, på en konvex yta, kan normalkraften minska eller till och med bli noll (objektet lämnar ytan) vid den översta punkten.
- Vilken roll spelar krökningsradien i bevarandet av mekanisk energi på en krökt yta?
- Svar: Själva krökningsradien påverkar inte direkt den mekaniska energins bevarande. Däremot kan den påverka normalkraften och, om det finns friktion, mängden energi som förloras till icke-konservativa krafter.
- Om ett spår har en svacka i mitten (som en U-formad kurva), hur varierar den mekaniska energin hos ett objekt när det rör sig genom svackan och upp på andra sidan?
- Svar: Objektets potentiella energi minskar när det rör sig in i doppet och ökar dess kinetiska energi. När det rör sig upp på andra sidan minskar dess kinetiska energi och dess potentiella energi ökar. Om endast konservativa krafter verkar förblir den totala mekaniska energin konstant under hela rörelsen.
- Kan ett objekt ha både translations- och rotationskinetisk energi när det rör sig på en krökt yta?
- Svar: Ja, om ett föremål som en boll rullar (utan att glida) på en krökt yta, kommer det att ha translationell kinetisk energi på grund av att dess masscentrum rör sig och rotationell kinetisk energi på grund av dess rotation kring sin axel.
