Торичелијева теорема – проблеми и решења

Торичелијева теорема – проблеми и решења

1. Цев висине 100 цм напуњена водом. Отвор Q се налази на 10 цм изнад тла. Колико је хоризонтално растојање (x)?

Познато:

Растојање између рупе и површине воде (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Тражи се: Растојање од x

Решење:

Брзина протока воде у рупи

v = брзина , g = убрзање услед гравитације , h = растојање између рупе и површине воде

Брзина протока воде на отвору:

Време у ваздуху

Кретање воде из рупе ка земљи је кретање пројектилаКретање пројектила може се разумети одвојеном анализом хоризонталне и вертикалне компоненте кретања. Кретање по оси x се одвија константном брзином, а кретање по оси y се одвија константним убрзањем гравитације.

У овом проблему, вертикално кретање се анализира као кретање слободног пада.

Израчунајте време у ваздуху користећи једначину кретања слободног пада.

Познато:

Висина рупе (y) = 10 cm = 0.1 m

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Тражени временски интервал (t)

Решење:

y = 1/2 gt ^{​​​​2}

0.1 = 1/2 (10) t ²

0.1 = 5 t ²

t² = ^0.1 / 5

t² = ²

t = √0.02 секунде

Хоризонтална удаљеност (x):

Познато:

Почетна брзина (v _o = v _ox ) = 3√2 m/s

Време у ваздуху (t) = √0.02 секунде

Тражено: Хоризонтална удаљеност (x)

Решење:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 метара

2. Резервоар који садржи воду висине 1 метар. У тачки P налази се рупа. Колика је брзина протока воде на рупи? Убрзање гравитације је 10 m/ ^s².

Познато:

Растојање између рупе и површине воде (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Тражи се: Брзина протока воде на отвору (v)

Решење:

Брзина протока воде на отвору:

3. Великиелектронска када садржи воду и постоји славина као што је приказано на слици испод. Ако је g = 10 ms^-2, онда је брзина воде из славине…

Познато:

Висина (в) = 85 цм – 40 цм = 45 цм = 0.45 метара

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Тражи се: Брзина воде (v)

Решење:

Торичелијева теорема каже да је брзина воде кроз отвор удаљен h од површине воде једнака брзини воде која слободно пада са висине h.

Брзина воде се израчунава помоћу формуле за слободно кретање пада a v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 m/s

4. Када је напуњена водом, а на зиду се налази рупа (видети слику испод ). Брзина воде која излази из рупе је… (g = 10 ms ^-2 )

Познато:

Висина (в) = 1.5 м – 0.25 м = 1.25 метара

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Тражи се: Брзина воде (v)

Решење:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 m/s

5. Резервоар који садржи воду висине до 1 метра (g = 10 ms ^-2 ) и на његовом зиду се налази рупа за цурење (видети слику испод ). Брзина воде која излази из рупе је...

Познато:

Висина (в) = 1 м – 0.20 м = 0.8 метара

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Тражи се: Брзина воде (v)

Решење:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 m/s

1. Шта описује Торичелијева теорема?
   • Одговор: Торичелијева теорема повезује брзину флуида који истиче из отвора са висином стуба флуида изнад отвора, под претпоставком сталног, невискозног (без вискозности) и нестишљивог протока.
2. Како се математички изражава Торичелијева теорема?
   • Одговор: Теорема је изражена као v=√2gh​, Где $v$ је брзина излива, $g$ је убрзање услед гравитације, и $h$ је висина стуба течности изнад отвора.
3. Под којим претпоставкама је изведена Торичелијева теорема?
   • Одговор: Теорема претпоставља да је флуид нестишљив и невискозан, да је ток стационаран и да се флуиду не додаје нити одузима додатна енергија.
4. Ако посуда има две рупе на различитим дубинама, како ће се упоредити брзине течности које излазе из рупа?
   • Одговор: Течност која излази из рупе ближе дну имаће већу брзину од течности из више рупе. То је зато што је притисак (а самим тим и потенцијална енергија) већи на већим дубинама.
5. Зашто брзина истекaња не зависи од облика или површине попречног пресека посуде?
   • Одговор: Торичелијева теорема разматра само потенцијалну енергију услед висине стуба флуида изнад отвора. Облик посуде не мења ову висину, тако да брзина истекaња остаје иста.
6. Како се стварна брзина флуида који истиче из отвора разликује од предвиђања Торичелијеве теореме у реалним ситуацијама?
   • Одговор: У стварним ситуацијама, фактори попут вискозности флуида, турбуленције и облика отвора могу утицати на стварну брзину, често је чинећи мањом од онога што Торичелијева теорема предвиђа.
7. Каква је веза између Торичелијеве теореме и закона очувања енергије?
   • Одговор: Торичелијева теорема је изведена из закона очувања механичке енергије. Она изједначава потенцијалну енергију на површини флуида са кинетичком енергијом на отвору.
8. Ако се отвор налази на самом врху посуде напуњене течношћу, како Торичелијева теорема описује брзину истекaња?
   • Одговор: Висина $h$ изнад отвора би била нула, па би према Торичелијевој теореми брзина излива била нула.
9. Како присуство атмосферског притиска утиче на предвиђања Торичелијеве теореме?
   • Одговор: Торичелијева теорема претпоставља да је посуда отворена према атмосфери и да атмосферски притисак делује подједнако по површини флуида. Овај притисак се поништава када се узме у обзир разлика у притиску по висини флуида, тако да теорема остаје важећа.
10. Шта се дешава са брзином истекaња како се течност у посуди смањује?

• Одговор: Како се ниво течности смањује, висина $h$ изнад отвора се смањује. Према Торичелијевој теореми, брзина излива би се смањивала како v=√2gh​.

Ова питања и одговори истражују основе, импликације и примене Торичелијеве теореме у динамици флуида.