Кретање пројектила – проблеми и решења

27 Кретање пројектила – проблеми и решења

1. Метак је испаљен под углом θ = 60 ^o брзином од 20 m/s. Убрзање гравитације је 10 m/s ² . Који је временски интервал до достизања максималне висине?

Познато:

Почетна брзина метка (v _o ) = 20 m/s

Угао (θ) = 60 ^° C

Убрзање гравитације (g) = 10 ms ^–2

Жељено: Временски интервал за достизање максималне висине

Решење:

Почетна брзина у хоризонталном правцу (x оса):

в _ок = в _о цос 60 ^о = (20)(0.5) = 10 м/с

Почетна брзина у вертикалном правцу (y оса):

в _ои = во син 60 ^о = (20)(0.5√3) = 10√3 м/с

Временски интервал за достизање максималне висине, израчунат помоћу ове једначине:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = коначна брзина у вертикалном правцу = коначна брзина у највишој тачки = 0 m/s

v _oy = почетна брзина у хоризонталном правцу = 10√3 m/s

g = убрзање гравитације = 10 m/ ^s²

t = временски интервал

Временски интервал:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 секунде

2. Објекат пројектован под углом. Висина објекта је иста када је временски интервал = 1 секунда и 3 секунде. Колики је временски интервал објекта у ваздуху?

Решење:

Објекат у ваздуху 4 секунде.

3. Авион се креће хоризонтално брзином од 50 m/s. На висини од 2 km, објекат је испуштен из летелице. Убрзање гравитације = 10 m/ s2, колики је временски интервал пре него што објекат удари о тло?

Познато:

Висина = 2 км = 2000 метара

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Тражи се: Временски интервал (t)

Решење:

h = 1/2 gt ^{​​​​2}

2000 = 1/2 (10) t ²

2000 = 5 t ²

t2 = 2000/5 = ⁴⁰⁰

t = √400 = 20 секунди

4. Шутирана фудбалска лопта одлеће од земље под углом θ = 45 ^o при чему хоризонтала има почетну брзину од 25 m/s. Одредити растојање X. Убрзање гравитације је 10 m/s ².

Познато:

Почетна брзина (v₂o ₎ = 25 m/s

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Угао (θ) = 45 ^°

Тражи се: X

Решење:

Хоризонтална компонента почетне брзине:

в _ок = в _о цос θ = (25 м/с)(цос 45 ^о ) = (25 м/с)(0.5√2) = 12.5√2 м/с

Вертикална компонента почетне брзине:

в _ои = в _о син θ = (25 м/с)(син 45 ^о ) = (25 м/с)(0.5√2) = 12.5√2 м/с

Кретање пројектила може се разумети одвојеном анализом хоризонталне и вертикалне компоненте кретања. Кретање по оси x се одвија константном брзином, а кретање по оси y се одвија константним убрзањем гравитације.

Време у ваздуху (t):

Време у ваздуху се израчунава једначином вертикалног кретања нагоре.

Изаберите смер нагоре као позитиван, а смер надоле као негативан.

Познато:

Почетна брзина (v₂o ₎ = 12.5√2 m/s (смер навише, позитиван)

Убрзање гравитације (g) = -10 m/s² ⁽ силазни смер, негативно)

Висина (в) = 0

Тражени временски интервал (t)

Решење:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t ²

0 = 12.5√2 t – 5 t ²

12.5√2 t = 5 t ²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 секунде

Хоризонтална удаљеност (X):

Израчунато помоћу једначине равномерног линеарног кретања са константном брзином.

Познато:

Брзина (v) = 12.5√2 m/s

Временски интервал (t) = 2.5√2 секунде

Тражи се: Удаљеност

Решење:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 метара

5. Објекат пројектован навише под углом θ = 30 ^o у односу на хоризонталу има почетну брзину од 20 m/s. Убрзање гравитације је 10 m/s ² . Одредити максималну висину.

Познато:

Почетна брзина (v_o) = 20 м/с

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Угао (θ) = 30 ^°

Жељена : Максимална висина

Решење:

Прво, пронађите вертикалну компоненту почетне брзине (vₙoy ₎ :

в _ои = в _о син 30 ^о = (20)(син 30 ^о ) = (20)(0.5) = 10 м/с

Израчунајте максималну висину. Изаберите смер нагоре као позитиван, а смер надоле као негативан.

Познато:

Убрзање гравитације (g) = -10 m/s² ⁽ силазни смер , негативно )

Вертикална компонента почетне брзине (v _oy ) = 10 m/s ( смер нагоре, позитивна )

Брзина на максималној висини (v _ty ) = 0

Жељена: Максимална висина (h)

Решење:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 10 ² + 2 (-10) h

0 = 100 – 20 сати

100 = 20 сати

х = 100/20

h = 5 метара

Максимална висина је 5 метара.

6. Предмет је бачен под одређеним углом елевације. Висина предмета је иста после 1 секунде и 3 секунде. Одредити време у ваздуху.

А. 3.6 с

Б. 4.0 с

C. 5.6 s

Д. 6.4 с

Решење

Време у ваздуху = 4 секунде.

Тачан одговор је Б.

7. Авион се креће хоризонтално брзином од 50 m/s. Када је авион на висини од 2 km, објекат може слободно да падне са њега. Одредите врсту кретања.

A. Кретање слободног пада

Б. Плутајуће кретање

C. Хоризонтално кретање

D. Кретање пројектила

Решење:

Објекат се испушта са покретне равни јер има исту брзину као и брзина авиона, односно 50 m/s. Кретање објеката није као слободно падање, већ параболично кретање. Случај је исти као када испуштате предмете из аутомобила у покрету.

Тачан одговор је Д.

8. Лопта је бачена хоризонтално брзином од 15 м/с са литице висине 60 метара. Колико јој је времена потребно да падне на тло?
Решење: Користећи \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), налазимо да је време \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).

9. Пројектил је испаљен под углом од 30° изнад хоризонтале са почетном брзином од 20 m/s. Која је максимална достигнута висина?
Решење: Користећи \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), максимална висина је \( h \approx 10.2\ \text{m} \).

10. Камен је бачен хоризонтално брзином од 10 m/s са торња висине 80 метара. Израчунајте хоризонталну удаљеност коју пређе пре него што падне на тло.
Решење: Користећи време добијено на сличан начин као у Задатку 1, хоризонтална удаљеност је \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).

11. Топовско ђуле је испаљено брзином од 40 m/s под углом од 45°. Израчунајте време лета.
Решење: Користећи \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \), време лета је \( t \approx 5.8\ \text{s} \).

12. Бејзбол лопта је бачена под углом од 60° брзином од 12 m/s. Израчунајте хоризонтални домет.
Решење: Користећи \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \), опсег је \( R \approx 14.0\ \text{m} \).

13. Пројектил је лансиран почетном брзином од 50 m/s под углом од 37° изнад хоризонтале. Колика је вертикална компонента брзине?
Решење: Вертикална компонента је \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).

14. Пројектил је лансиран хоризонтално брзином од 20 m/s са висине од 100 метара. Колика је вертикална брзина непосредно пре него што удари у тло?
Решење: Користећи \( v_y = \sqrt{2gh} \), вертикална брзина је \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \).

15. Камен је бачен под углом од 25° изнад хоризонтале почетном брзином од 15 m/s. Које су хоризонтална и вертикална компонента брзине?
Решење: Хоризонтална компонента је \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), а вертикална компонента је \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \).

16. Фудбалска лопта је шутнута почетном брзином од 30 m/s под углом од 40° изнад хоризонтале. Колика је њена хоризонтална компонента брзине?
Решење: Хоризонтална компонента је \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).

17. Лоптица за голф је ударена почетном брзином од 70 m/s под углом од 20°. Колико је време лета?
Решење: Користећи једначину времена лета, време је \( t \approx 4.9\ \text{s} \).

18. Пројектил је испаљен са земље брзином од 25 m/s под углом од 53° изнад хоризонтале. Колика је његова почетна вертикална компонента брзине?
Решење: Вертикална компонента је \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).

19. Бејзбол лопта је бачена почетном брзином од 20 m/s под углом од 50°. Која је максимална висина?
Решење: Користећи једначину за максималну висину, висина је \( h \приближно 15.3\ \text{m} \).

20. Метак је испаљен хоризонтално брзином од 200 м/с са висине од 10 метара. Колико му је времена потребно да падне на тло?
Решење: Користећи једначину времена, време је \( t \approx 1.4\ \text{s} \).

21. Топовско ђуле је испаљено брзином од 45 m/s под углом од 30°. Израчунајте домет.
Решење: Користећи једначину домета, домет је \( R \approx 88.2\ \text{m} \).

22. Кошаркашка лопта је бачена под углом од 75° брзином од 10 m/s. Израчунајте хоризонтални домет.
Решење: Користећи једначину домета, домет је \( R \approx 5.3\ \text{m} \).

23. Пројектил је лансиран почетном брзином од 30 m/s под углом од 22° изнад хоризонтале. Колика је вертикална брзина непосредно пре него што удари у тло?
Решење: Користећи једначину вертикалне брзине, вертикална брзина је \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \).

24. Камен је бачен хоризонтално брзином од 8 м/с са торња висине 40 метара. Колика је хоризонтална удаљеност коју пређе?
Решење: Користећи једначину хоризонталне удаљености, удаљеност је \( d \approx 16\ \text{m} \).

25. Фудбалска лопта је шутнута почетном брзином од 12 m/s под углом од 30° изнад хоризонтале. Које су хоризонтална и вертикална компонента брзине?
Решење: Хоризонтална компонента је \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \), а вертикална компонента је \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \).

26. Лоптица за голф је ударена почетном брзином од 50 m/s под углом од 15°. Колико је време лета?
Решење: Користећи једначину времена лета, време је \( t \approx 2.6\ \text{s} \).

27. Пројектил је испаљен са земље брзином од 40 m/s под углом од 60° изнад хоризонтале. Колика је његова почетна хоризонтална компонента брзине?
Решење: Хоризонтална компонента је \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).