Ротационо кретање – проблеми и решења

Обртни момент

1. Греда дужине 140 цм. На греду делују три силе, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N и F3 = 40 N, _са смером и положајем као што је приказано на слици испод. Колики је обртни момент који узрокује ротацију греде око центра масе греде?

Познато: Ротационо кретање – проблеми и решења 1

Центар масе се налази у центру греде.

Дужина греде (л) = 140 цм = 1.4 метра

Сила 1 (F1 ₎ = 20 N, полуга 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 метара

Сила 2 (F2 ₎ = 10 N, полуга 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metra

Сила 3 (F3 ₎ = 40 N, полуга 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 метара

Тражи се: Величина обртног момента

Решење:

Обртни момент 1 ротира греду у смеру казаљке на сату, па је обртном моменту 1 додељен негативан знак.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Обртни момент 2 ротира греду у смеру супротном од казаљке на сату, тако да обртном моменту 2 додељује се позитиван знак.

τ² ₌ F²l² = ( ₁₀ N)(0.3 m) = 3 N _· m

Обртни момент 3 ротира греду у смеру казаљке на сату, тако да је обртном моменту 3 додељен позитиван знак.

τ³ = F³ _l³₌ (40 N)(0.7 m) = -28 N·m

Нето обртни момент:

Στ = -14 Нм + 3 Нм – 28 Нм = – 42 Нм + 3 Нм = -39 Нм

Величина обртног момента је 39 N m. Смер ротације греде је у смеру казаљке на сату, па јој је додељен негативан знак.

2. Колики је нето обртни момент који делује на греду. Оса ротације у тачки D? (sin 53 ^o = 0.8)

Познато:

Оса ротације у тачки D Ротационо кретање – проблеми и решења 2

Ф ₁ = 10 Н и л ₁ = р ₁ син θ = (40 цм)(син 53 ^о ) = (0.4 м)(0.8) = 0.32 метара

Ф ₂ = 10√2 Н и л ₂ = р ₂ син θ = (20 цм)(син 45 ^о ) = (0.2 м)(0.5√2) = 0.1√2 метра

Ф ₃ = 20 Н и л ₃ = р ₁ син θ = (10 цм)(син 90 ^о ) = (0.1 м)(1) = 0.1 метара

Тражени: Нето обртни момент

Решење:

τ ₁ = Ф ₁ л ₁ = (10 Н)(0.32 м) = 3.2 Нм

(Обртни момент 1 ротира греду у смеру супротном од казаљке на сату, тако да обртном моменту 1 додељујемо позитиван знак)

τ ₂ = Ф ₂ л ₂ = (10√2 Н)( 0.1√2 м) = -2 Нм

(Обртни момент 2 ротира греду у смеру казаљке на сату, тако да обртном моменту 2 додељујемо негативан знак)

τ ₃ = Ф ₂ л ₂ = (20 Н)(0.1 м) = 2 Нм

(Обртни момент 3 ротира греду у смеру супротном од казаљке на сату, тако да обртном моменту 3 додељујемо позитиван знак)

Нето обртни момент:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Колики је нето обртни момент ако је оса ротације у тачки D. (sin 53 ^o = 0.8)

Познато:

Оса ротације у тачки D. Ротационо кретање – проблеми и решења 3

Растојање између F1 _и осе ротације (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Растојање између F² _и осе ротације (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Види такође Појачавајући и спуштајући трансформатори – проблеми и решења

Растојање између F3 _и осе ротације (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = 10 _Њутн

F² = 10√² _Њутн

F3 = 20 _Њутна

Sin 53 ^o = 0.8

Тражени: Нето обртни момент

Решење:

Момент силе 1

Στ ₁ = (Ф ₁ )(р _АД син 53 ^о ) = (10 Н)(0.4 м)(0.8) = 3.2 Нм

Момент силе 2

Στ ₂ = (Ф ₂ )(р _БД син 45 ^о ) = (10√2 Н)(0.2 м)(0.5√2) = -2 Нм

(Обртни момент 2 ротира греду у смеру казаљке на сату, тако да обртном моменту 2 додељујемо негативан знак)

Момент силе 3

Στ ₃ = (Ф ₃ )(р _ЦД син 90 ^о ) = (20 Н)(0.1 м)(1) = 2 Нм

(Обртни момент 2 ротира греду у смеру супротном од казаљке на сату, тако да обртном моменту 3 додељујемо позитиван знак)

Нето обртни момент:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Њутн метра

Тренутак инерције

4. Дужина жице = 12 m, l ₁ = 4 m. Занемарите масу жице. Колики је момент инерције система.

Познато: Ротационо кретање – проблеми и решења 4

Маса А (m _A ) = 0.2 кг

Маса Б (м _Б ) = 0.6 кг

Растојање између А и осе ротације (r _А ) = 4 метра

Растојање између B и осе ротације (r _B ) = 12 – 4 = 8 метара

Тражи се: Момент инерције система

Решење:

Момент инерције А

И _А = (м _А )(р _А² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 кг м ²

Момент инерције Б

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Момент инерције система:

И = И _А + И _Б = 3.2 + 38.4 = 41.6 кг м ²

Ротациона динамика

5. На уже обмотано око котурнице масе M = 5 kg и полупречника R = 20 cm делује сила од 6 N. Колико је угаоно убрзање котурнице? Котурница је једноличан цилиндар.

Познато:

Сила (F) = 6 Њутн

Маса (M) = 5 kg

Полупречник (R) = 20 цм = 20/100 м = 0.2 м

Тражи се: Угаоно убрзање (α)

Решење:

Момент силе:

τ = ФР = (6 Њутна) (0.2 метра) = 1.2 Н м

Момент инерције за чврсти цилиндар:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ^²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Угаоно убрзање:

τ = Iα

α = τ / И = 1.2 / 0.1 = 12 рад с ^-2

6. Блок масе = 4 кг виси са ужета обмотаног око котура масе = 8 кг и полупречника R = 10 цм. Убрзање гравитације је 10 мс ^-2 . Колико је линеарно убрзање блока? Котур је једнолики чврсти цилиндар.

Познато:

Маса котурнице (m) = 8 kg

Полупречник котурнице (r) = 10 cm = 0.1 m

Маса блока (m) = 4 kg

Убрзање гравитације (g) = 10 m/ ^s²

Види такође Параболично кретање Рад и кинетичка енергија Линеарни момент Линеарно и угаоно кретање Проблеми и решења

Тежина (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Њутна

Тражи се: Убрзање слободног пада блока

Решење:

Момент инерције чврстог цилиндра:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.04 kg ^m²

Момент силе:

τ = Ф р = (40 Н)(0.1 м) = 4 Нм

Угаоно убрзање:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Линеарно убрзање:

а = р α = (0.1)(100) = 10 м/с ²

7. Блок масе m виси са ужета обмотаног око котурнице. Ако је убрзање слободног пада блока am/s² ^, колики је момент инерције котурнице?

Познато:

тежина = w = mg Ротационо кретање – проблеми и решења 6

Полуга = R

Угаоно убрзање = α

Убрзање слободног пада блока = a ms ^-2

Тражи се: Момент инерције котурнице (I)

Решење:

Веза између линеарног убрзања и угаоног убрзања:

a = Rα

α = a / R

Момент инерције:

τ = Iα

И = τ : α = τ : а / Р = τ (Р / а) = τ Р а ^-1

Угаони момент

8. Честица масе 0.2 грама креће се у кругу константном брзином од 10 m/s. Полупречник круга је 3 cm. Колики је угаони момент честице?

Познато:

Маса честице (m) = 0.2 грама = 2 x ^10⁻⁴ kg

Угаона брзина (ω) = 10 rad s ^-1

Полупречник (r) = 3 цм = 3 x ^10⁻² метара

Тражи се: угаони момент честице

Решење:

Једначина угаоног момента:

L = Iω

I = угаони момент, I = момент инерције, ω = угаона брзина

Момент инерције (за честице):

I = mr² ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁴

Угаони момент:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁴⁾ (10 рад⁻¹ ⁾ = 18 x ^10⁻⁷ кг ^м² с⁻¹

Шта је ротационо кретање?
- одговорРотационо кретање се односи на кретање објекта око фиксне осе. То је врста кретања у којој се свака тачка објекта креће у кругу око те осе.
Како се линеарна брзина односи на угаону брзину при ротационом кретању?
- одговорЛинеарна брзина ( $v$ ) тачке у ротирајућем објекту је директно пропорционална њеној удаљености ( $r$ ) од осе ротације и угаоне брзине ( $ω$ ) објекта. Релација је дата са $v = r \cdot ω$ .
Шта је момент инерције и како се он односи на ротационо кретање?
- одговорМомент инерције је ротациони аналог масе у линеарном кретању. Он мери отпор објекта променама у његовом ротационом стању. Момент инерције зависи и од масе објекта и од његове расподеле у односу на осу ротације.
Како се Њутнов први закон кретања примењује на ротационо кретање?
- одговорБаш као што објекат у линеарном кретању остаје у покрету осим ако на њега не делује спољашња сила, објекат у ротационом кретању остаће у том стању осим ако на њега не делује спољашњи обртни момент.
Који је значај радијуса гирације?
- одговорРадијус гирације пружа меру расподеле масе објекта од његове осе ротације. У суштини описује колико далеко од осе би сва маса објекта требало да буде концентрисана да би се добио исти момент инерције као и оригинална расподела.
Шта је угаони момент и како се он очувава?
- одговорУгаони момент: Угаони момент је ротациони еквивалент линеарног момента. То је производ момента инерције објекта и његове угаоне брзине. У затвореном систему, укупни угаони момент остаје константан осим ако на њега не делује спољашњи обртни момент, што истиче закон очувања угаоног момента.
Како обртни момент утиче на ротационо кретање?
- одговорОбртни момент је ротациони еквивалент силе. Он изазива промене у ротационом кретању објекта. Релација је дата другим Њутновим законом за ротацију: $τ = I \cdot α$ , Где $τ$ је обртни момент, $I$ је момент инерције, и $α$ је угаоно убрзање.
По чему се центар масе разликује од центра ротације?
- одговорИако се могу поклапати, центар масе је тачка где се може претпоставити да је концентрисана целокупна маса објекта у сврху прорачуна у линеарном кретању, док је центар ротације тачка (или оса) око које се објекат ротира.
Која је улога центрипеталне силе у ротационом кретању?
- одговорЦентрипетална сила је резултујућа сила која делује на објекат који се креће по кружној путањи, усмерена ка центру ротације. Она је одговорна за одржавање објекта на његовој закривљеној путањи и спречавање његовог кретања по правој линији због инерције.
Како је ротациона кинетичка енергија повезана са моментом инерције и угаоном брзином?
- одговорРотациона кинетичка енергија је енергија услед ротације објекта око осе. Дата је формулом: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ , Где $I$ је момент инерције и $ω$ је угаона брзина.