Динамика ротационих кретања – проблеми и решења

Динамика ротационих кретања – проблеми и решења

1. Котурница са моментом инерције I = 2/5 MR² ^има масу од 2 kg. Ако је момент силе на котурници 4 Nm, колико је линеарно убрзање котурнице? Убрзање услед гравитације је g = 10 ^ms⁻².

Познат :

Момент инерције котурнице (I) = 2/5 MR ²

Маса котурнице (M) = 2 kg

Момент силе (τ) = 4 Nm

Убрзање гравитације (g) = 10 ms ^-2

Полупречник котурнице (R) = 20 cm = 0.2 m

Тражи се: Линеарно убрзање (а)

Решење:

Момент инерције ременице (I):

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg m ²

Угаоно убрзање (α):

τ = Iα

α = τ/И = 4 / 0.032 = 125 рад.с ^-2

Линеарно убрзање (а):

a = R α = (0.2)(125) = 25 мс ^-2

Линеарно убрзање ивице котурнице је 25 ms ^-2.

2. Убрзање котурнице је 2 ms ^-2 . Убрзање услед гравитације је g = 10 ms ^-2 . Колики је момент инерције котурнице?

Познато:

Линеарно убрзање ивице котурнице (a) = 2 ms^-2

Убрзање гравитације (g) = 10 ms ^-2

Полупречник котурнице (R) = 10 cm = 0.1 m

Тежина објекта (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Тражи се: Момент инерције котурнице

Решење:

Момент силе (τ):

τ = ФР = в Р = (40)(0.1) = 4 Нм

Угаоно убрзање котурнице (α):

a = Rα

α = а/Р = 2 / 0.1 = 20 рад.с ^-2

Момент инерције котурнице (I):

τ = Iα

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg ^m²

3. Котурница је убрзала брзином од 1 ms ^-2 . Ако је полупречник котурнице 10 cm, колики је момент инерције котурнице?

Познато:

Линеарно убрзање ивице котурнице (a) = 1 ms^-2

Убрзање гравитације (g) = 10 ms ^-2

Полупречник котурнице (R) = 10 cm = 0.1 m

Сила (F) = 4 N

Тражи се: Момент инерције котурнице

Решење:

Момент силе (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

Угаоно убрзање котурнице (α):

a = Rα

α = а/Р = 1 / 0.1 = 10 рад.с ^-2

Момент инерције ременице (I):

τ = Iα

И = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 кг м ²

1. Шта је ротациони еквивалент масе при линеарном кретању?
   • Одговор: Ротациони еквивалент масе у линеарном кретању је момент инерције, често означен као $I$.
2. Како се обртни момент односи на ротационо кретање, а како се упоређује са силом код линеарног кретања?
   • Одговор: Обртни момент је ротациони еквивалент силе. Док сила изазива линеарно убрзање код објеката, обртни момент изазива угаоно убрзање код ротирајућих тела. Обртни момент се израчунава као производ примењене силе и нормалног растојања од осе ротације до тачке примене силе.
3. Каква је веза између угаоног убрзања, обртног момента и момента инерције?
   • Одговор: Однос је дат другим Њутновим законом за ротацију: $\tau =I\alpha$, Где $\tau$ је обртни момент, $I$ је момент инерције, и $\alpha$ је угаоно убрзање.
4. Ако се момент инерције ротирајућег објекта повећава док спољашњи обртни момент остаје константан, шта се дешава са угаоним убрзањем?
   • Одговор: Ако се момент инерције повећа, а спољашњи обртни момент остане константан, угаоно убрзање ће се смањити.
5. Како су концепти линеарног момента и угаоног момента аналогни у линеарном и ротационом кретању?
   • Одговор: Линеарни импулс (дати са $p=mv$, Где $m$ је маса и $v$ је брзина) је производ масе и линеарне брзине, док је угаони момент (дати са $L=I\omega$, Где $I$ је момент инерције и $\omega$ је угаона брзина) је производ момента инерције и угаоне брзине.
6. Шта се подразумева под очувањем угаоног момента?
   • Одговор: Закон очувања угаоног момента каже да у одсуству спољашњих обртних момената, укупни угаони момент затвореног система остаје константан.
7. Зашто се уметнички клизачи брже окрећу када увуку руке током окрета?
   • Одговор: Када уметнички клизачи увлаче руке, смањују свој момент инерције. Због очувања угаоног момента, када се момент инерције смањи, угаона брзина (или брзина ротације) мора се повећати да би угаони момент остао константан.
8. Како се ротациона кинетичка енергија објекта упоређује са његовом линеарном кинетичком енергијом?
   • Одговор: Ротациона кинетичка енергија (дата са 1/2 ​Iω²) је аналогна линеарној кинетичкој енергији (датој са 1/2 ​mv²). Први је повезан са ротацијом објекта, а други са његовим линеарним кретањем.
9. Може ли објекат истовремено имати и ротациону и линеарну кинетичку енергију?
   • Одговор: Да, објекат може имати и ротациону и линеарну кинетичку енергију. На пример, точак који се котрља има ротациону кинетичку енергију због свог окретања и линеарну кинетичку енергију због свог кретања унапред.
10. Ако се полупречник ротирајућег точка удвостручи, а угаона брзина остане константна, како се мења његов момент инерције?

• Одговор: Момент инерције чврстог диска дат је са 1/2 ​mr², Где $m$ је маса и $r$ је полупречник. Ако се полупречник удвостручи, а маса остане константна, момент инерције ће се повећати четири пута.