Krožno gibanje – problemi in rešitve

Krožno gibanje – težave in rešitve

1. Predmet z maso 10 kg se giblje v krogu s konstantno hitrostjo 4 m/s. Če je polmer kroga 0.5 metra, potem:

1) Frekvenca krogov je 4/π Hz

2) Centripetalni pospešek je 32 ms ^-2

3) Centripetalna sila je 320 N

4) Perioda je 4π s.

Katere so resnične trditve?

Znano:

Masa predmeta (m) = 10 kg

Linearna hitrost (v) = 4 m/s

Polmer kroga (r) = 0.5 metra

Rešitev:

1) Frekvenca kroga

v = 2π rf

4 = 2π (0.5) f

4 = πf

f = 4/π Hertz

2) Centripetalni pospešek

a _s = ^v² / r = 4² ^/ 0,5 = 16 / 0,5 = 32 m/ ^s²

3) Centripetalna sila

F = ma _s = (10)(32) = 320 N

4) Obdobje

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. Predmet se giblje v krogu s polmerom 6 metrov. Če predmet v 2 minutah obkroži 16 krogov, kolikšna je linearna hitrost predmeta?

Znano:

Polmer (r) = 6 metra

Kotna hitrost (ω) = 16 vrtljajev / 2 minuti = 8 vrtljajev / minut = 8 vrtljajev / 60 sekund = 0.13 vrtljaja/sekundo.

Iščem: Linearna hitrost (v)?

Rešitev:

v = r ω = (6 metrov)(0.13 vrtljaja/sekundo) = 0.8 metra/sekundo

V radianih:

1 obrat = 2π radianov = 2(3.14) = 6.28 radianov

Kotna hitrost = 8 (6.28) radianov / 60 sekund = 50.24 radianov / 60 sekund = 0.84 radianov/sekundo

v = r ω = (6 metrov)(0.84 radianov/sekundo) = 5.04 radianov/sekundo.

3. Predmet s polmerom 20/π cm se v 1 sekundi zavrti 4-krat. Kolikšna je linearna hitrost roba predmeta?

Znano:

Polmer (r) = 20/π cm = 20 / 3.14 cm = 6.4 cm = 0.064 metra

Kotna hitrost (ω) = 4 vrtljaji / 1 sekunda = 4 vrtljaji / sekundo.

1 obrat = (2)(3.14) radianov = 6.28 radianov

Kotna hitrost (ω) = (4)(6.28) radianov/sekundo = 25.12 radianov/sekundo

Iščemo: linearno hitrost roba predmeta (v)

Rešitev:

v = r ω = (0.064 metra)(25.12 radianov/sekundo) = 1.6 metra/sekundo

4. Predmet, ki se giblje v krogu s konstantno hitrostjo, je linearna hitrost predmeta odvisna od ...

Rešitev:

Enačba linearne hitrosti krožnega gibanja:

v = linearna hitrost

d = 2πr = obseg

T = period = čas, potreben za en celoten obrat.

5. Predmet se giblje v krogu s polmerom 50 metrov. Če je kotna hitrost predmeta 120 vrt/min, kolikšen je časovni interval in linearna hitrost predmeta?

Znano:

Polmer (r) = 50 cm = 0.5 metra

Kotna hitrost (ω) = 120 vrt/min = 120 vrtljajev / 1 minuta = 120 vrtljajev / 60 minut = 2 vrtljaja / 1 sekunda

1 obrat = 2π radian

Kotna hitrost (ω) = 2 (2π radianov) / 1 sekunda = 4π radianov/sekundo

Iščemo: Časovni interval (T) in linearno hitrost (v)

Rešitev:

Obdobje (T):

Perioda je čas, potreben za en popoln obrat.

Predmet se v 1 sekundi zavrti za dva obrata = 1 obrat na 0.5 sekunde. Perioda = 0.5 sekunde.

Linearna hitrost (v):

v = r ω = (0.5 metra)(4π radianov/sekundo) = 2π metrov/sekundo.

Kakšna je razlika med tangencialno hitrostjo in kotno hitrostjo pri krožnem gibanju?
Odgovor : Tangencialna hitrost je linearna hitrost točke na vrtečem se objektu in kaže, kako hitro se točka premika po svoji krožni poti. Kotna hitrost pa se nanaša na to, kako hitro se spreminja kot med vrtenjem objekta. Tangencialna hitrost se običajno meri v metrih na sekundo (m/s), medtem ko se kotna hitrost običajno meri v radianih na sekundo (rad/s).
Kaj je centripetalni pospešek in kako je povezan s krožnim gibanjem?
Odgovor : Centripetalni pospešek je pospešek, ki ga doživi objekt, ki se giblje po krožni poti. Vedno je usmerjen proti središču kroga in je odgovoren za ohranjanje objekta na njegovi krožni poti. Formula za centripetalni pospešek je $c = v_{2} / ^{r kjer}$ je $v$ tangencialna hitrost in $r$ polmer kroga.
Zakaj ima telo, ki se enakomerno giblje v krogu, pospešek, tudi če je njegova hitrost konstantna?
Odgovor : Medtem ko velikost hitrosti pri enakomernem krožnem gibanju ostane konstantna, se smer hitrosti spreminja. Ker je pospešek definiran kot sprememba hitrosti, hitrost pa je vektorska količina z velikostjo in smerjo, vsaka sprememba smeri predstavlja pospešek. V tem primeru gre za centripetalni pospešek.
Kakšna je povezava med potrebno silo za vzdrževanje krožnega gibanja in maso telesa ter polmerom kroga?
Odgovor : Potrebna sila za vzdrževanje krožnega gibanja je podana s formulo za centripetalno silo: $F_{c} = m \times a_{c} = m \times v ^{2 /r}$
Zakaj se počutite potisnjene navzven, ko avto ostro zavije (npr. v krožišču)?
Odgovor : To je posledica »fiktivne« centrifugalne sile, ki je zaznana sila, ki deluje navzven na telo, ki se giblje po krožni poti. To ni resnična sila v smislu potiska ali vlečenja, temveč učinek vztrajnosti. Vaše telo se želi gibati v ravni črti (Newtonov prvi zakon), vendar stene avtomobila ali varnostni pas izvajajo silo, ki vas ohranja v krožni smeri. To ustvarja občutek, kot da ste potisnjeni navzven.
Kakšno vlogo igra trenje pri krožnem gibanju, zlasti ko se avtomobil obrača na cesti?
Odgovor : Trenje med pnevmatikami in cesto zagotavlja potrebno centripetalno silo, ki omogoča avtomobilu zavijanje. Brez zadostnega trenja bi avtomobil drsel ali zanesel smer in ne bi sledil svoji predvideni krožni poti.
Kako se spremeni centripetalna sila, če se polmer krožne poti prepolovi, hitrost pa ostane enaka?
Odgovor : Če se polmer prepolovi in hitrost ostane enaka, se centripetalna sila podvoji, saj je centripetalna sila obratno sorazmerna s polmerom.
Zakaj ne moremo imeti centrifugalne sile brez centripetalne sile v krožnem gibanju?
Odgovor : Centrifugalna sila je reaktivna ali »fiktivna« sila, ki jo opazujemo v vrtečem se referenčnem okviru. Zdi se, da potiska predmete navzven od središča vrtenja. Da pa se predmet giblje po krožni poti, mora obstajati resnična sila, ki deluje proti središču, to je centripetalna sila. Brez centripetalne sile sploh ne bi bilo krožnega gibanja in zato ne bi bilo zaznave centrifugalne sile.
Kako gravitacijska sila med Zemljo in Luno vpliva na krožno orbito Lune?
Odgovor : Gravitacijska sila med Zemljo in Luno deluje kot centripetalna sila, ki drži Luno v njeni orbiti okoli Zemlje. Brez te gravitacijske privlačnosti bi se Luna gibala po ravni črti namesto po svoji krožni (ali natančneje eliptični) orbiti.
Če vrvico, privezano na žogico, skrajšamo za polovico, medtem ko žogico vrtimo v krogu z enako hitrostjo, kako se spremeni napetost vrvice?

Odgovor : Če dolžino vrvice (ki ustreza polmeru krožne poti) prepolovimo, hitrost pa ohranimo konstantno, se bo potrebna centripetalna sila (in s tem napetost v vrvi) podvojila. To je zato, ker je centripetalna sila (in posledično napetost v tem primeru) obratno sorazmerna s polmerom.