ප්රතිලෝම දෛශික සාකච්ඡා කිරීමේ ගැටළු සඳහා උදාහරණය
දෛශිකයක් යනු විශාලත්වය සහ දිශාව යන දෙකම ඇති ගණිතමය වස්තුවකි. දෛශික අධ්යයනයේ දී, අපට බොහෝ විට නිශ්චිත ගුණාංග සහිත දෛශික හමු වේ. දෛශිකවල එක් මූලික සංකල්පයක් වන්නේ ප්රතිලෝම දෛශිකය හෙවත් සෘණ දෛශිකයයි. මෙම ලිපියෙන් ප්රතිලෝම දෛශික පිළිබඳ උදාහරණ සහ සාකච්ඡාවක් ආවරණය කෙරේ.
ප්රතිලෝම දෛශික තේරුම් ගැනීම
බොහෝ විට සෘණ දෛශිකයක් ලෙස හඳුන්වන ප්රතිලෝම දෛශිකය, මුල් දෛශිකයට සමාන විශාලත්වයක් ඇති නමුත් ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවක් ඇති දෛශිකයකි. දෛශිකයක් \(\vec{a}\) මගින් දක්වනු ලැබුවහොත්, එහි ප්රතිලෝම දෛශිකය \(-\vec{a}\) වේ. ගණිතමය වශයෙන්, \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) නම්, \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
\(\vec{a} = (3, 4, -2)\) දෛශිකය ලබා දී ඇති විට. \(\vec{a}\) හි ප්රතිලෝම දෛශිකය නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\(\vec{a}\) හි ප්රතිලෝම දෛශිකය තීරණය කිරීම සඳහා, අපට එහි එක් එක් දෛශික සංරචක ඍණ ලෙස වෙනස් කිරීමට අවශ්ය වේ:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
එබැවින්, \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) හි ප්රතිලෝම දෛශිකය \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\) වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
\(\vec{b} = (7, -5, 0)\) දෛශිකය \(\vec{b}\) හි ප්රතිලෝම දෛශිකය සොයා \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\) බව තහවුරු කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමුව, අපි \(\vec{b}\) හි ප්රතිලෝම දෛශිකය අර්ථ දක්වමු:
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
ඊළඟට, අපි \(\vec{b}\) දෛශිකය සහ එහි ප්රතිලෝම දෛශිකය එකතු කිරීමෙන් ශුන්ය දෛශිකය ලැබෙන බව සත්යාපනය කරමු:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
අපි දෛශිකයේ සංරචක එකතු කරමු:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
එබැවින්, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), දෛශිකය \(\vec{b}\) සහ එහි ප්රතිලෝම දෛශිකය එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලය ශුන්ය දෛශිකය බව ඔප්පු වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
\(\vec{u} = (2, -1)\) සහ \(\vec{v} = (-2, 1)\) යන දෛශික ලබා දී ඇති විට \(\vec{u}\) \(\vec{v}\) හි ප්රතිලෝම දෛශිකයද?
සාකච්ඡාව:
\(\vec{u}\) සහ \(\vec{v}\) ප්රතිලෝම දෛශික දැයි තීරණය කිරීමට, අපි \(\vec{v} = -\vec{u}\) දැයි පරීක්ෂා කළ යුතුය.
\(-\vec{u}\) ගණනය කරන්න:
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
\(-\vec{u} = \vec{v}\) බව පෙනේ, මෙයින් අදහස් කරන්නේ \(\vec{u}\) දෛශිකය සැබවින්ම \(\vec{v}\) දෛශිකයේ ප්රතිලෝම දෛශිකය බවයි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 4
දෛශිකය \(\vec{w}\) විශාලත්වය 5 ක් සහ දෛශිකයට ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවක් ඇති බව දන්නා නම් \(\vec{p} = (4, 3)\), සංරචක ආකාරයෙන් \(\vec{w}\) නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමුව, අපි දෛශිකයේ විශාලත්වය සොයා ගනිමු \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\(\vec{w}\) හි විශාලත්වය \(\vec{p}\) ට සමාන නමුත් ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ඇති බැවින්, එසේ නම්:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
ඉතින්, සංරචක ආකාරයෙන් දෛශිකය \(\vec{w}\) \(\vec{w} = (-4, -3)\) වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 5
A(2, 3) ලක්ෂ්යය සහ B(4, 7) ලක්ෂ්යය ලබා දී ඇති විට. A ලක්ෂ්යයේ සිට B ලක්ෂ්යය දක්වා පිහිටීම සහ එම දෛශිකයේ ප්රතිවිරුද්ධ දෛශිකය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
A ලක්ෂ්යයේ සිට B ලක්ෂ්යය දක්වා ස්ථාන දෛශිකය:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
\(\vec{AB}\) හි ප්රතිලෝම දෛශිකය:
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
එබැවින්, \(\vec{AB} = (2, 4)\) දෛශිකයේ ප්රතිලෝමය වන දෛශිකය \(-\vec{AB} = (-2, -4)\) වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 6
\(\vec{m} = (x, y)\) දෛශිකයක් ලබා දී \(\vec{m}\) හි ප්රතිලෝම දෛශිකය \( (-5, 12)\) වන විට x සහ y හි අගයන් නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\(\vec{m}\) හි ප්රතිලෝම දෛශිකය \( (-x, -y) \), වන අතර ගැටළුව අනුව, \((-x, -y) = (-5, 12)\) වේ.
දෛශික සංරචක ගැලපීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:
\[
-x = -5 \ යන්නෙන් x = 5 අදහස් වේ.
\]
\[
-y = 12 \ යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ y = -12 යන්නයි.
\]
ඉතින්, \(x\) හි අගය 5 වන අතර \(y\) හි අගය -12 වේ.
නිගමනය
ප්රතිලෝම දෛශික යනු එකම විශාලත්වයක් ඇති නමුත් ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවක් ඇති දෛශික වේ. ප්රතිලෝම දෛශික සංකල්පය තේරුම් ගැනීමෙන්, දෛශිකයක සෘණ අගය තීරණය කිරීම, ශුන්යයට දෛශික එකතු කිරීම සත්යාපනය කිරීම වැනි දෛශිකවලට අදාළ විවිධ ගැටළු අපට විසඳා ගත හැකිය. ඉහත උදාහරණ ගැටළු සාකච්ඡා කිරීම ප්රතිලෝම දෛශික සමඟ වැඩ කිරීම පිළිබඳ අපගේ දැනුම සහ අවබෝධය වැඩි කරනු ඇතැයි අපේක්ෂා කෙරේ.
