ස්ථාන දෛශික සාකච්ඡා කිරීමේදී ඇතිවන ගැටළු සඳහා උදාහරණය
දෛශික යනු ගණිතයේ සහ භෞතික විද්යාවේ මූලික සංකල්පයක් වන අතර, දිශාව සහ විශාලත්වය යන දෙකම සහිත ප්රමාණ නියෝජනය කරයි. විවිධ යෙදුම් වලදී, පිහිටීම, ප්රවේගය, බලය සහ තවත් බොහෝ පරාමිතීන් විස්තර කිරීමට දෛශික බොහෝ විට භාවිතා වේ. විවිධ දෛශික වර්ග අතර, ස්ථාන දෛශික අවකාශයේ ලක්ෂ්යයක පිහිටීම සිතියම්ගත කිරීමේදී තීරණාත්මක කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි.
ස්ථානීය දෛශිකයේ අර්ථ දැක්වීම
ස්ථාන දෛශිකයක් යනු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක මූලයට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්යයක පිහිටීම විස්තර කරන දෛශිකයකි. සාමාන්යයෙන්, ස්ථාන දෛශිකයක් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලියා ඇත:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
මෙහි, \(\mathbf{r}\) යනු ස්ථාන දෛශිකය වන අතර, \(x\), \(y\), සහ \(z\) යනු පිළිවෙලින් \(x\), \(y\), සහ \(z\) අක්ෂ ඔස්සේ එහි සංරචක වන අතර, \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), සහ \(\mathbf{k}\) යනු පිළිවෙලින් ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සමාන්තරව ඒකක දෛශික වේ. ද්විමාන අවකාශයේ, \(z\) සංරචකය සාමාන්යයෙන් නොපවතී, එබැවින් ස්ථාන දෛශිකය:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
ස්ථාන දෛශික යෙදුම්
උදාහරණයක් ලෙස, භෞතික විද්යාවේදී, වස්තූන්ගේ චලිතය විස්තර කිරීමේදී ස්ථාන දෛශික තීරණාත්මක කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. මූලාරම්භයට (යොමු ලක්ෂ්යයට) සාපේක්ෂව වස්තුවක පිහිටීම ස්ථාන දෛශිකයක් මගින් නිරූපණය කළ හැකිය. තවද, යාන්ත්රික ඉංජිනේරු විද්යාවේදී, බල සහ මොහොත ගණනය කිරීමේදී බොහෝ විට ස්ථාන දෛශික භාවිතා කිරීම ඇතුළත් වේ.
ස්ථාන දෛශික පිළිබඳ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාව
ප්රශ්නය 1
ත්රිමාණ අවකාශයේ ලක්ෂ්ය දෙකක් ඇතැයි සිතමු, A ලක්ෂ්යය ඛණ්ඩාංක සහිතයි \( (1, 2, 3) \) සහ B ලක්ෂ්යය ඛණ්ඩාංක සහිතයි \( (4, 0, -2) \). A සහ B ලක්ෂ්යවල ස්ථාන දෛශික නිර්ණය කරන්න. ඊට අමතරව, A ලක්ෂ්යය B ලක්ෂ්යයට සම්බන්ධ කරන දෛශිකය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
A ලක්ෂ්යය සඳහා ස්ථාන දෛශිකය:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
B ලක්ෂ්යය සඳහා ස්ථාන දෛශිකය:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
ඊළඟට, A ලක්ෂ්යය B ලක්ෂ්යයට සම්බන්ධ කරන දෛශිකය සොයා ගැනීමට (\(\mathbf{AB}\) ලෙස හැඳින්වේ), අපි A හි ස්ථාන දෛශිකය B හි ස්ථාන දෛශිකයෙන් අඩු කළ යුතුය:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
ඉතින්, ඉහත ස්ථාන දෛශික දෙක ආදේශ කිරීමෙන්:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
ඉතින්, A සිට B දක්වා ලක්ෂ්යය සම්බන්ධ කරන දෛශිකය \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \) වේ.
ප්රශ්නය 2
P ලක්ෂ්යයක් 2D තලයේ \((2, 3)\) මත නම්, ස්ථාන දෛශිකයේ දිග (සම්මතය) සොයන්න \(\mathbf{r_P}\).
සාකච්ඡාව:
P ලක්ෂ්යයේ ස්ථාන දෛශිකය:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
ස්ථාන දෛශිකයේ දිග \(\mathbf{r_P}\) දෛශික සම්මත (හෝ දිග) සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\(x\) සහ \(y\) හි අගයන් ආදේශ කරන්න:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
ඉතින්, \(\mathbf{r_P}\) පිහිටුම් දෛශිකයේ දිග \(\sqrt{13}\) වේ.
ප්රශ්නය 3
Q ලක්ෂ්යයක් \( (5, -4, 2) \) හි පිහිටා ඇතැයි සිතමු. \(\mathbf{r_Q}\) ස්ථාන දෛශිකය සහ \(x\) අක්ෂය අතර කෝණය සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
Q ලක්ෂ්යයේ ස්ථාන දෛශිකය:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
\(\mathbf{r_Q}\) දෛශිකය සහ \(x\) අක්ෂය අතර කෝණය සොයා ගැනීමට, අපට තිත් ගුණිතයේ සංකල්පය භාවිතා කළ හැකිය. පළමුව, අපි \(\mathbf{r_Q}\) සහ \(\mathbf{i}\) අතර තිත් ගුණිතය තීරණය කරමු:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
\(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), සහ \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), එසේ නම්:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\) හි සම්මතය:
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\) යනු ඒකක දෛශිකයක් වන බැවින්, \(\mathbf{i}\) හි සම්මතය 1 වේ.
\(\theta\) කෝණය සොයා ගැනීමට තිත් නිෂ්පාදන සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \කොස්\තීටා = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \කොස්\තීටා = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
එබැවින් \(\mathbf{r_Q}\) පිහිටුම් දෛශිකය සහ \(x\) අක්ෂය අතර \(\theta\) කෝණය වන්නේ:
\[ \තීටා = \cos^{-1} \වම(\frac{\sqrt{5}}{3}\දකුණ) \]
නිගමනය
විද්යාව හා ඉංජිනේරු විද්යාවේදී, විශේෂයෙන් ඛණ්ඩාංක අවකාශයේ වස්තූන්ගේ පිහිටීම සිතියම්ගත කිරීමේදී ස්ථාන දෛශික තීරණාත්මක කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. ඉහත උදාහරණ මගින් ස්ථාන දෛශික, ඒවායේ දිග සහ ඒවා සහ ඛණ්ඩාංක අක්ෂ අතර කෝණ ගණනය කරන ආකාරය පෙන්නුම් කරයි. ගණිතයේ සහ භෞතික විද්යාවේ අවකාශය සහ ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධ විවිධ ගැටළු විසඳීමේදී මෙම මූලික සංකල්ප තේරුම් ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ.
