වීජීය ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය පිළිබඳ සාකච්ඡා ප්රශ්නයක උදාහරණයක්
කලනයේ ව්යුත්පන්නය යනු ශ්රිතයක් වෙනස් වන ආකාරය හෝ ලක්ෂ්යයක ශ්රිතයක බෑවුම විස්තර කිරීමට භාවිතා කරන මූලික සංකල්පයකි. භෞතික විද්යාව, ආර්ථික විද්යාව සහ ඉංජිනේරු විද්යාව වැනි විවිධ ක්ෂේත්රවල ව්යුත්පන්න ප්රයෝජනවත් වන්නේ ඒවා වෙනස් වීමේ වේගය පිළිබඳ තොරතුරු සපයන බැවිනි. මෙම ලිපියෙන් අපි වීජීය ශ්රිතවල ව්යුත්පන්නයන් සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් සහ ඒවා විසඳන්නේ කෙසේද යන්න සාකච්ඡා කරමු.
උදාහරණ 1: බහුපද ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය
ප්රශ්නය: \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය තීරණය කරන්න!
විසඳුමක්:
බහුපද ශ්රිත සඳහා ව්යුත්පන්නවල මූලික රීතිය භාවිතා කරමින්, එනම් \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), අපි ශ්රිතයේ එක් එක් පදයේ ව්යුත්පන්නය එකින් එක ගණනය කරන්නෙමු.
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
ඉතින්, \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) හි ව්යුත්පන්නය \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) වේ.
උදාහරණ 2: භාගික ඝාතක සහිත ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය
ප්රශ්නය: ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය නිර්ණය කරන්න \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
විසඳුමක්:
එකම ව්යුත්පන්න රීතිය භාවිතා කරමින්, එනම් \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} ලෙස දක්වන්න.
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
එබැවින්, \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) හි ව්යුත්පන්නය \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \) වේ.
උදාහරණ 3: ඝාතීය සහ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න
ප්රශ්නය: ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය නිර්ණය කරන්න \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
විසඳුමක්:
මෙම ව්යුත්පන්නය විසඳීම සඳහා, අපට නිෂ්පාදන රීතිය අවශ්ය වේ, එහි සඳහන් වන්නේ \((uv)' = u'v + uv'\). \( u(x) = e^x \) සහ \( v(x) = \sin(x) \) යැයි සිතමු, එවිට:
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
u'(x) &= e^x, & \text{මක්නිසාද යත් } e^x \text{ හි ව්යුත්පන්නය } e^x \\ වේ
v'(x) &= \cos(x), & \text{මක්නිසාද යත් } \sin(x) \text{ හි ව්යුත්පන්නය } \cos(x) වේ.
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
නිෂ්පාදන සඳහා ව්යුත්පන්න රීතිය භාවිතා කිරීම:
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
ඉතින්, \( h(x) = e^x \sin(x) \) හි ව්යුත්පන්නය \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \) වේ.
උදාහරණ 4: දාම රීතිය භාවිතා කරමින් ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය
ප්රශ්නය: \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය තීරණය කරන්න.
විසඳුමක්:
මෙම ව්යුත්පන්නය විසඳීමට, අපට දාම රීතිය අවශ්ය වේ, එනම් \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) සහ \( f(u) = u^5 \) යැයි සිතමු, එවිට:
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \පෙළ{එසේ} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
දාම රීතිය භාවිතා කිරීම:
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
ඉතින්, \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) හි ව්යුත්පන්නය \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \) වේ.
උදාහරණ 5: ත්රිකෝණමිතික අනන්යතා සහිත ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය
ප්රශ්නය: ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය නිර්ණය කරන්න \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
විසඳුමක්:
අපි නිෂ්පාදන සඳහා ව්යුත්පන්න රීතිය භාවිතා කරමු. \( u(x) = \sin(x) \) සහ \( v(x) = \cos(x) \) යැයි සිතමු, එවිට:
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
නිෂ්පාදන සඳහා ව්යුත්පන්න රීතිය භාවිතා කිරීම:
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
ත්රිකෝණමිතික අනන්යතාවය භාවිතා කරමින් \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x) ලෙස දැක්වේ.
\]
ඉතින්, \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) හි ව්යුත්පන්නය \( m'(x) = \cos(2x) \) වේ.
නිගමනය
වීජීය ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය යනු විවිධ යෙදුම්වල ඉතා වැදගත් සහ ප්රයෝජනවත් වන කලනයේ මූලික සංකල්පයකි. මූලික ව්යුත්පන්න රීතිය, නිෂ්පාදන රීතිය, දාම රීතිය සහ ත්රිකෝණමිතික ව්යුත්පන්න සඳහා වන නීති වැනි විවිධ ව්යුත්පන්න රීති, වඩාත් සංකීර්ණ ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමට උපකාරී වේ. ඉහත උදාහරණ තේරුම් ගැනීමෙන් සහ ගැටළු පුහුණු වීමෙන්, වීජීය ශ්රිතවල ව්යුත්පන්නයන් ලබා ගැනීමේදී අපගේ අවබෝධය සහ කුසලතා වැඩි දියුණු කළ හැකිය.
