ආන්තික කරුණු පිළිබඳ උදාහරණ ප්‍රශ්න සහ සාකච්ඡාව: අවම ප්‍රතිලාභ අගය සහ උපරිම ප්‍රතිලාභ අගය
ශ්‍රිතයක් එහි අවම හෝ උපරිම අගයට ළඟා වන ලක්ෂ්‍ය වන ආන්තික ලක්ෂ්‍ය නිර්ණය කිරීම කලනයේ සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ මූලික සංකල්පයකි. මෙම ලිපියෙන්, අවම සහ උපරිම ප්‍රතිලාභ අගයන් ඇතුළත් උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් හරහා ආන්තික ලක්ෂ්‍ය සොයා ගන්නේ කෙසේද සහ විශ්ලේෂණය කරන්නේ කෙසේද යන්න අපි ගවේෂණය කරන්නෙමු.
විෂය අර්ථ දැක්වීම් සහ ප්‍රමේයයන්
උදාහරණ ගැටළු සාකච්ඡා කිරීමට පෙර, අපි මූලික සංකල්ප සහ ප්‍රමේයයන් කිහිපයක් තේරුම් ගත යුතුය:
1. තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය: \( f(x) \) ශ්‍රිතයේ පළමු ව්‍යුත්පන්නය \( f'(x) \) ශුන්‍ය වන විට හෝ නොපවතින විට \( x \) හි අගය වේ.
2. උපරිම ප්‍රතිලාභ අගය: එම ලක්ෂ්‍යය වටා \( f(x) \) හි අගය \( f(x) \) හි අගයට වඩා වැඩිද?
3. අවම ප්‍රතිලාභ අගය: \( f(x) \) හි අගය එම ලක්ෂ්‍යය වටා \( f(x) \) හි අගයට වඩා කුඩාද?
4. ෆර්මැට්ගේ ප්‍රමේයය: \( f \) හි \( c \) හි දේශීය ආන්තික අගයක් තිබේ නම් සහ \( f'(c) \) ව්‍යුත්පන්නය පවතී නම්, \( f'(c) = 0 \).
උදාහරණ ප්‍රශ්නය 1: චතුර්ථ ශ්‍රිතය
පළමුව, අපි සරල චතුරස්‍ර ශ්‍රිතයකින් පටන් ගනිමු:
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
Langkah-langkah:
1. \( f'(x) \) හි පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. \( f'(x) = 0 \) විසඳා තීරණාත්මක කරුණු සොයන්න:
\[
4x – 4 = 0 \ යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ x = 1 යන්නයි.
\]
3. තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයේ අගය තීරණය කරන්න:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. ලක්ෂ්‍යයේ ස්වභාවය තීරණය කිරීම සඳහා දෙවන ව්‍යුත්පන්නය භාවිතා කරන්න:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
\( f”(1) > 0 \) බැවින්, \( x = 1 \) ලක්ෂ්‍යය දේශීය අවම ලක්ෂ්‍යයකි.
උදාහරණ ප්‍රශ්නය 2: බහුපද ශ්‍රිත
දැන් අපි වඩාත් සංකීර්ණ බහුපද ශ්‍රිතයක් සමඟ උත්සාහ කරමු:
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]
Langkah-langkah:
1. පළමු ව්‍යුත්පන්නය \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. \( g'(x) = 0 \) විසඳා තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය සොයන්න:
\[
3x^2 – 6x = 0 \අඟවයි 3x(x – 2) = 0 \අඟවයි x = 0 \පෙළ{ හෝ } x = 2
\]
3. තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයේ අගය තීරණය කරන්න:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]
4. ලක්ෂ්‍යයේ ස්වභාවය තීරණය කිරීම සඳහා දෙවන ව්‍යුත්පන්නය භාවිතා කරන්න:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\පෙළ{දේශීය උපරිම අගය})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\පෙළ{දේශීය අවම අගය})
\]
ඉතින්, \( g(x) \) හි \( x = 0 \) හි දේශීය උපරිමයක් සහ \( x = 2 \) හි දේශීය අවමයක් ඇත.
උදාහරණ ප්‍රශ්නය 3: ලෝකෝත්තර ශ්‍රිත
ඝාතීයකරණය ඇතුළත් ශ්‍රිතයක් දෙස බලමු:
\[ h(x) = xe^{-x} \]
Langkah-langkah:
1. පළමු ව්‍යුත්පන්නය \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]
2. \( h'(x) = 0 \) විසඳා තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය සොයා ගන්න:
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \අඟවයි 1 – x = 0 \අඟවයි x = 1
\]
3. තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයේ අගය තීරණය කරන්න:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. ලක්ෂ්‍යයේ ස්වභාවය තීරණය කිරීම සඳහා දෙවන ව්‍යුත්පන්නය භාවිතා කරන්න:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
\( h”(1) < 0 \), ලක්ෂ්‍යය \( x = 1 \) දේශීය උපරිමයක් වන බැවින්. උදාහරණ ගැටලුව 4: තාර්කික ශ්‍රිත අවසාන වශයෙන්, අපි තාර්කික ශ්‍රිතය ඇගයීමට ලක් කරමු: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \] පියවර: 1. 기장 රීතිය භාවිතයෙන් පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගන්න: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. \( k'(x) = 0 \) විසඳීමෙන් තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය සොයා ගන්න: \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \ යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ x^2 - 2 = 0 \ යන්නෙන් අදහස් වන්නේ x = \pm \sqrt{2} \] 3. තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයේ අගය තීරණය කරන්න: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. ලක්ෂ්‍යයේ ගුණාංග පරීක්ෂා කිරීමට දෙවන ව්‍යුත්පන්නය භාවිතා කරන්න: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] \( k'(x) \) අවකලනය කිරීමෙන් තවදුරටත් ගණනය කිරීම් කළ හැකිය. ප්‍රතිඵල මඟින් \( x = \sqrt{2} \) සහ \( x = -\sqrt{2} \) දේශීය උපරිම හෝ අවම ලක්ෂ්‍යද යන්න දක්වනු ඇත. නිගමනය මෙම ලිපියෙන්, විවිධ වර්ගයේ ශ්‍රිතවල අන්තය, එනම් අවම සහ උපරිම ප්‍රතිලෝම අගයන් සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න නිරූපණය කරන උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් අපි සාකච්ඡා කර ඇත්තෙමු. භාවිතා කරන ශිල්පීය ක්‍රම අතරට තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීමට පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගැනීම, ලක්ෂ්‍යවල ස්වභාවය තීරණය කිරීමට දෙවන ව්‍යුත්පන්නය භාවිතා කිරීම සහ ඇගයීම ඇතුළත් වේ. එම ලක්ෂ්‍යවල ශ්‍රිතය. කලනයේ ක්‍රියාකාරී විශ්ලේෂණය ගැඹුරට කිමිදීම සඳහා මෙය ශක්තිමත් පදනමකි.
