සමාන්තර චලිත ක්රමය භාවිතයෙන් දෛශික දෙකක් එකතු කිරීම සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්නය
දෛශික එකතු කිරීම භෞතික විද්යාවේ සහ ගණිතයේ ඉතා වැදගත් සංකල්පයක් වන අතර එය බොහෝ විට ස්වාභාවික සංසිද්ධි සහ එදිනෙදා ජීවිතයේ ගැටළු විස්තර කිරීමට භාවිතා කරයි. දෛශික දෙකක් එකතු කිරීම සඳහා ක්රම කිහිපයක් තිබේ, ඉන් එකක් වන්නේ සමාන්තර චලිත ක්රමයයි. මෙම ක්රමය බුද්ධිමත් පමණක් නොව, දෛශික දෙකක් ඒකාබද්ධ වී ප්රතිඵලයක් ලෙස දෛශිකයක් සාදන ආකාරය පිළිබඳ ප්රබල දෘශ්යකරණයක් ද සපයයි. මෙම ලිපියෙන්, සමාන්තර චලිත ක්රමය භාවිතා කරමින් දෛශික එකතු කිරීමේ උදාහරණ කිහිපයක් සහ ඒවායේ විසඳුම් අපි බලමු.
දෛශිකයක් යනු කුමක්ද?
උදාහරණ ගැටළු වලට පිවිසීමට පෙර, දෛශිකයක මූලික අර්ථ දැක්වීම අප තේරුම් ගත යුතුය. දෛශිකයක් යනු විශාලත්වය (දිග) සහ දිශාව යන දෙකම ඇති ප්රමාණයකි. දෛශික සඳහා සම්භාව්ය උදාහරණ අතර ප්රවේගය, ත්වරණය, බලය සහ විස්ථාපනය ඇතුළත් වේ. දෛශිකයක් එහි සංරචක (i, j, k) ලෙස කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවල හෝ එහි දිග සහ දිශාව (කෝණය) ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය.
සමාන්තර චලිත ක්රමය
සමාන්තර චලිත ක්රමය යනු දෛශික දෙකක් එකතු කිරීමට ඇති එක් ක්රමයකි. මෙම ක්රමයේදී, අපි සමාන්තර චලිතයක පැති දෙකක් ලෙස දෛශික දෙකක් නිරූපණය කරමු. ප්රතිඵල දෛශිකය යනු දෛශික දෙකෙහි ආරම්භක ලක්ෂ්යයෙන් ආරම්භ වන සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණයයි. ගණිතමය වශයෙන්, අපට \(\vec{A}\) සහ \(\vec{B}\) දෛශික දෙකක් තිබේ නම්, ප්රතිඵලය \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) වේ.
සමාන්තර චලිත ක්රමය භාවිතා කිරීම සඳහා පියවරෙන් පියවර ක්රමය පහත පරිදි වේ:
1. ආරම්භක ස්ථානයේ සිට \(\vec{A}\) දෛශිකය අඳින්න.
2. \(\vec{A}\) දෛශිකයේ අවසානයේ සිට, \(\vec{B}\) දෛශිකය අඳින්න.
3. ආරම්භක ලක්ෂ්යයේ සිට \(\vec{A}\) දෛශිකයට සමාන්තරව රේඛාවක් අඳින්න.
4. \(\vec{B}\) දෛශිකයේ අවසානයේ සිට \(\vec{A}\) දෛශිකයට සමාන්තර රේඛාවක් අඳින්න.
5. ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය \(\vec{R}\) ලබා ගැනීමට ආරම්භක ස්ථානයේ සිට ප්රතිවිරුද්ධ කෙළවරට විකර්ණයක් අඳින්න.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
ප්රශ්නය 1
අපට \(\vec{A}\) සහ \(\vec{B}\) දෛශික දෙකක් ඇතැයි සිතමු:
– \(\vec{A}\) ඒකක 5 ක දිග (විශාලත්වය) සහ 0° (හෝ ධන x-අක්ෂය දිගේ) දිශාවක් ඇත,
– \(\vec{B}\) ඒකක 3 ක දිගක් සහ 90° (හෝ ධන y-අක්ෂය දිගේ) දිශාවක් ඇත.
සමාන්තර චලිත ක්රමය භාවිතයෙන් මෙම දෛශික දෙක එකතු කිරීමෙන් ලැබෙන අගය කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
1. ඒකක 5 ක දිගකින් යුත් ධන x-අක්ෂය දිගේ \(\vec{A}\) දෛශිකය අඳින්න.
2. \(\vec{A}\) දෛශිකයේ අවසානයේ සිට, ඒකක 3 ක දිගකින් යුත් ධන y-අක්ෂය දිගේ \(\vec{B}\) දෛශිකය අඳින්න.
3. ආරම්භක ස්ථානයේ සිට \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) ට සමාන්තර රේඛාවක් අඳින්න.
4. \(\vec{B}\) අවසානයේ සිට, \(\vec{A}\) ට සමාන්තර රේඛාවක් අඳින්න.
5. ප්රතිඵලය වන්නේ විකර්ණයක් සහිත සමාන්තරාස්රයක් වන අතර එය ප්රතිඵල දෛශිකය \(\vec{R}\) වේ.
\(\vec{A}\) සහ \(\vec{B}\) එකිනෙකට ලම්බක බැවින්, ප්රතිඵල දෛශිකයේ දිග ගණනය කිරීමට අපට පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කළ හැකිය:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \ආසන්න වශයෙන් 5.83 \]
ප්රතිඵල දෛශිකයේ දිශාව ත්රිකෝණමිතිය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක. \(\theta\) යනු ප්රතිඵලය සහ \(\vec{A}\ අතර කෝණය නම්):
\[ \ටැන්(\තීටා) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
ඒ නිසා:
\[ \තීටා = \tan^{-1}\වම(\frac{3}{5}\දකුණ) \ආසන්න වශයෙන් 30.96^\circ \]
මේ අනුව, ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය \(\vec{R}\) ඒකක 5.83 ක විශාලත්වයක් සහ \(\vec{A}\) සිට 30.96° ක පමණ දිශාවක් ඇත.
ප්රශ්නය 2
\(\vec{C}\) සහ \(\vec{D}\) දෛශික දෙකක් පහත පරිදි දක්වා ඇත:
– \(\vec{C}\) දිග ඒකක 4ක් සහ දිශාව 45°ක් වේ.
– \(\vec{D}\) දිග ඒකක 6ක් සහ දිශාව 120°ක් වේ.
දෛශික දෙක එකතු කිරීමෙන් ලැබෙන දෛශිකය \(\vec{R}\) තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
එකිනෙකට ලම්බක නොවන හෝ විවිධ හැඩයන්ගෙන් යුත් දෛශික දෙකක් එකතු කිරීමට, ඔබට කාටිසියානු සංරචක භාවිතා කළ හැකිය.
1. \(\vec{C}\) සහ \(\vec{D}\) x සහ y සංරචක වලට වෙන් කරන්න.
\(\vec{C}\) සඳහා:
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \ආසන්න වශයෙන් 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \ආසන්න වශයෙන් 2.83 \]
\(\vec{D}\) සඳහා:
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \ආසන්න වශයෙන් 5.20 \]
2. දෛශික දෙකෙහිම x සහ y සංරචක එකතු කරන්න:
\[ ආර්_x = සී_x + ඩී_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකයේ විශාලත්වය සහ දිශාව ගණනය කරන්න \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \ආසන්න වශයෙන් 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \ආසන්න වශයෙන් \tan^{-1}(-47.24) \]
ප්රතිඵලය සෘණ බැවින්, නිවැරදි චතුර්ථක පද්ධතියේ කෝණය ලබා ගැනීමට අපි 180° එකතු කරමු:
\[ \තීටා \ආසන්න වශයෙන් \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \ආසන්න වශයෙන් 271.93^\circ \]
ඉතින්, ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය \(\vec{R}\) ඒකක 8.03 ක පමණ විශාලත්වයක් සහ 271.93° ක පමණ දිශාවක් ඇත, නැතහොත් හතරවන චතුර්ථකයේ සෘණ x-අක්ෂයේ සිට 91.93° ක් පමණ කිව හැකිය.
වසා දැමීම
සමාන්තර චලිත ක්රමය යනු දෛශික දෙකක් එකතු කිරීමට ඵලදායී හා දෘශ්ය ක්රමයකි. සරල දෛශික සඳහා මෙම ක්රමය සරල ලෙස පෙනුනද, වඩාත් සංකීර්ණ දෛශික සඳහා, නිවැරදි ප්රතිඵල ලබා ගැනීම සඳහා අපට බොහෝ විට කාටිසියානු සංරචක සහ වඩාත් දියුණු වීජීය ශිල්පීය ක්රම භාවිතා කිරීමට අවශ්ය බව තේරුම් ගැනීම වැදගත්ය. බලාපොරොත්තු වන පරිදි, ඉහත උදාහරණ මඟින් විවිධ අවස්ථාවන්හිදී මෙම ක්රමය යෙදිය හැකි ආකාරය පිළිබඳ පැහැදිලි චිත්රයක් ලබා දෙනු ඇත.
