සාමාන්ය ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය සාකච්ඡා කරන ප්රශ්න සඳහා උදාහරණ
සාමාන්ය ව්යාප්තිය, ගවුසියානු ව්යාප්තිය ලෙසද හැඳින්වේ, සංඛ්යාලේඛන සහ සම්භාවිතාවේ බහුලව භාවිතා වන අඛණ්ඩ සම්භාවිතා ව්යාප්තියකි. සමමිතිය සහ මධ්යන්යය (µ) සහ සම්මත අපගමනය (σ) සමඟ පරාමිතිකරණයේ එහි සුවිශේෂත්වය වැනි එහි හිතකර ගණිතමය ගුණාංග නිසා මෙම ව්යාප්තිය බොහෝ විට විවිධ සංඛ්යානමය නිගමනවල මූලික උපකල්පනයක් ලෙස භාවිතා කරයි. මෙම සංකල්පය පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් ලබා දීම සඳහා මෙම ලිපිය උදාහරණ සාකච්ඡා කර සාමාන්ය ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය සාකච්ඡා කරනු ඇත.
සාමාන්ය ව්යාප්තිය අවබෝධ කර ගැනීම
සාමාන්ය ව්යාප්තිය සමමිතික සීනු වක්රයකින් නිරූපණය කර ඇති අතර, බොහෝ අගයන් මධ්ය අගය හෙවත් මධ්යන්යය වටා සංකේන්ද්රණය වී ඇත. මෙම ව්යාප්තිය තුළ, මධ්යන්යය (µ) සහ සම්මත අපගමනය (σ) යනු දත්තවල පැතිරීමේ ස්ථානය සහ ප්රමාණය තීරණය කරන වැදගත් පරාමිතීන් දෙකකි.
සාමාන්ය ව්යාප්තියේ සම්භාවිතා ඝනත්ව ශ්රිතය (PDF) වන්නේ:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}}]
කොහෙද:
– \( \mu \) යනු මධ්යන්යය හෝ සාමාන්යයයි
– \( \sigma \) යනු සම්මත අපගමනයයි
– \( x \) යනු අහඹු විචල්යයකි
සාමාන්ය ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය
සාමාන්ය ව්යාප්තියක් සහිත අහඹු විචල්යයක අපේක්ෂිත අගය ව්යාප්තියේ මධ්යන්යයට සමාන වේ. \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \) නම්, අපේක්ෂිත අගය \( E(X) \) වන්නේ:
\[ E(X) = \mu \]
අපගේ අවබෝධය ශක්තිමත් කිරීම සඳහා සාමාන්ය බෙදාහැරීම්වල අපේක්ෂිත අගයන් සම්බන්ධ ගැටළු පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයක් සමඟ ඉදිරියට යමු.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
උදාහරණ ප්රශ්නය 1:
\( X \) යනු \( \mu = 50 \) සහ \( \sigma = 10 \) සහිත සාමාන්යයෙන් බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්යයක් යැයි සිතමු. \( X \) හි අපේක්ෂිත අගය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
කලින් සඳහන් කළ පරිදි, සාමාන්ය ව්යාප්තියකදී, අපේක්ෂිත අගය \( E(X) \) \( \mu \) ට සමාන වේ. එබැවින්,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 2:
අහඹු විචල්යයක් \( Y \) සාමාන්යයෙන් \( \mu = 120 \) සහ \( \sigma = 15 \) සමඟ බෙදා හරිනු ලැබේ. \( Y \) හි අපේක්ෂිත අගය සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමු උදාහරණයට සමානව, \( Y \) හි අපේක්ෂිත අගය සාමාන්ය ව්යාප්තියේ මධ්ය අගය හෝ මධ්යන්යය වේ, එනම්:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 3:
අහඹු විචල්යය \( Z \) \( \mu = 0 \) සහ \( \sigma = 1 \) (සම්මත සාමාන්ය ව්යාප්තිය) සහිත සාමාන්ය ව්යාප්තියක් අනුගමනය කරන්නේ නම්, \( Z \) හි අපේක්ෂිත අගය කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
සම්මත සාමාන්ය ව්යාප්තියේ මධ්යන්යය \( \mu = 0 \) වන බැවින් අපේක්ෂිත අගය \( E(Z) \) වන්නේ:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 4:
\( W \) යනු මධ්යන්යය \( \mu = 75 \) සහ සම්මත අපගමනය \( \sigma = 20 \) සහිත සාමාන්යයෙන් බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්යයක් යැයි සිතමු. අපි නව අහඹු විචල්යයක් \( V = 2W + 3 \) අර්ථ දක්වන්නේ නම්, \( V \) හි අපේක්ෂිත අගය කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
\( V \) හි අපේක්ෂිත අගය සොයා ගැනීමට, අපි අපේක්ෂිත අගයේ රේඛීයතා ගුණාංගය භාවිතා කළ යුතුය. \( V = 2W + 3 \) ලබා දී ඇති විට, එවිට:
\[ ඊ(වී) = ඊ(2ඩබ්ලිව් + 3) \]
අපේක්ෂිත අගයේ රේඛීයතා ගුණය මත පදනම්ව, අපට නියතය අහඹු විචල්යයෙන් වෙන් කළ හැකිය:
\[ ඊ(වී) = 2ඊ(ඩබ්ලිව්) + ඊ(3) \]
නියතයක අපේක්ෂිත අගය නියතයම බව දැන ගැනීම:
\[ ඊ(3) = 3 \]
සහ \( W \) හි අපේක්ෂිත අගය සාමාන්ය ව්යාප්තියේ මධ්යන්යය වේ \( W \):
\[ E(W) = \mu = 75 \]
ඉතින්,
\[ E(V) = 2 \වරක් 75 + 3 \]
\[ ඊ(වී) = 150 + 3 \]
\[ ඊ(වී) = 153 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 5:
අහඹු විචල්යය \( Q \) මධ්යන්යය \( \mu = 40 \) සහ සම්මත අපගමනය \( \sigma = 5 \) සහිත සාමාන්ය ව්යාප්තියක් අනුගමනය කරයි. \[ U = Q/2 \] නම් \( Q \) හි අපේක්ෂිත අගය කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
අපි උදාහරණ 4 හි ඇති මූලධර්මයම භාවිතා කරමු, එනම් අපේක්ෂිත අගයේ රේඛීයතා ගුණය. \( U = Q/2 \) ලබා දී ඇති විට, එසේ නම්:
\[ E(U) = E\වම(\frac{Q}{2}\දකුණ) \]
අපේක්ෂිත අගයේ රේඛීයතා ගුණය මත පදනම්ව:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
\( Q \) හි අපේක්ෂිත අගය සාමාන්ය ව්යාප්තියේ මධ්යන්යය බව අපි දනිමු \( Q \):
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
ඉතින්,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ ඊ(යූ) = 20 \]
නිගමනය
සාමාන්ය ව්යාප්තියකදී, අහඹු විචල්යයක අපේක්ෂිත අගය සැමවිටම ව්යාප්තියේ මධ්යන්යයට (µ) සමාන වේ. ඉහත උදාහරණ ගැටළු රේඛීයතා ගුණාංගය භාවිතයෙන් අපේක්ෂිත අගය ගණනය කිරීම සඳහා විවිධ කොන්දේසි පෙන්නුම් කරයි. මෙම මූලික සංකල්පය තේරුම් ගැනීම සංඛ්යාලේඛන සහ සම්භාවිතාවේ සාමාන්ය ව්යාප්ති ගැටළු හැසිරවීම පහසු කරයි.
සාමාන්ය ව්යාප්තිය සංඛ්යාලේඛනවල ඉතා වැදගත් වන්නේ එය උපකල්පිත පරීක්ෂාව, පරාමිති ඇස්තමේන්තුව සහ වෙනත් විවිධ සංඛ්යානමය නිගමන ඇතුළු පුළුල් පරාසයක ප්රායෝගික යෙදීම් සඳහා භාවිතා කරන බැවිනි. මෙම ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය පිළිබඳ හොඳ අවබෝධයක් දත්ත විශ්ලේෂණයේ වැදගත් පළමු පියවරකි.
මෙම ලිපියෙන් සාමාන්ය ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය පිළිබඳ පැහැදිලි සහ ප්රයෝජනවත් පැහැදිලි කිරීමක් සහ අදාළ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා සපයනු ඇතැයි බලාපොරොත්තු වෙමු.
