වෘත්ත සහ ස්පර්ශක සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
කව යනු න්යාස ජ්යාමිතියේ වැදගත් මාතෘකාවක් වන අතර, එහිදී දුර, කෝණ සහ හැඩය පිළිබඳ ගැඹුරු සංකල්ප නිරූපණය කෙරේ. මෙම මාතෘකාවේ නිතර සාකච්ඡා කෙරෙන එක් සංකල්පයක් වන්නේ කවයකට ස්පර්ශක රේඛාවයි. මෙම ලිපියෙන්, අපි කව සහ ස්පර්ශක සම්බන්ධ උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සාකච්ඡා කරමු.
වෘත්ත සහ ස්පර්ශක පිළිබඳ මූලික අවබෝධය
කවය
වෘත්තයක් යනු, රවුමේ කේන්ද්රය ලෙස හඳුන්වන දී ඇති ලක්ෂ්යයක සිට නියත දුරකින් පිහිටි තලයක ඇති සියලුම ලක්ෂ්යයන්ගේ කට්ටලයෙන් සෑදෙන ජ්යාමිතික හැඩයකි. මෙම නියත දුර වෘත්තයේ අරය ලෙස හැඳින්වේ.
ස්පර්ශකය
වෘත්තයකට ස්පර්ශකයක් යනු හරියටම එක් ලක්ෂ්යයක දී වෘත්තය ස්පර්ශ කරන රේඛාවකි. මෙම ලක්ෂ්යය ස්පර්ශක ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ. ස්පර්ශකවලට වැදගත් ගුණාංග කිහිපයක් ඇත, ඒවා අතර:
– ස්පර්ශක රේඛාව සෑම විටම ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ දී වෘත්තයේ අරයට ලම්බක වේ.
– වෘත්තයෙන් පිටත ලක්ෂ්යයක සිට වෘත්තය දක්වා ස්පර්ශකයක දිග, එම ලක්ෂ්යයෙන් ස්පර්ශක දෙකක් ඇද ගතහොත් සමාන වේ.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
වෘත්ත සහ ස්පර්ශක සංකල්පය විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න කිහිපයක් අපි පහතින් ඉදිරිපත් කරන්නෙමු.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1: ස්පර්ශක රේඛාවේ දිග සොයා ගැනීම
ප්රශ්නය:
\(O\) කේන්ද්රය සහ අරය \(r = 6 \, \text{cm}\) සහිත වෘත්තයක් ලබා දී ඇත. රවුමේ කේන්ද්රයේ සිට 10 cm දුරින් පිහිටි වෘත්තයෙන් පිටත \(P\) ලක්ෂ්යයේ සිට, \(PA\) සහ \(PB\) ස්පර්ශක දෙකක් වෘත්තයට ඇද ගනු ලැබේ. \(PA\) ස්පර්ශකයේ දිග ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
මෙම ගැටලුවේදී, අපට පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කළ හැකිය. ත්රිකෝණයක් අඳින්න \(\ත්රිකෝණය OAP\):
– \(OP = 10 \, \පෙළ{සෙ.මී.}\) (බාහිර ලක්ෂ්යයේ සිට රවුමේ මැදට ඇති දුර)
– \(OA = 6 \, \පෙළ{සෙ.මී.}\) (චක්රයේ අරය)
– \(PA\) යනු සොයා ගත යුතු ස්පර්ශක රේඛාවයි
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + පීඒ^2
\]
\[
පීඒ^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \පෙළ{සෙ.මී.}
\]
ඉතින්, ස්පර්ශක රේඛාවේ දිග \(PA\) 8 සෙ.මී. වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2: ස්පර්ශක ලක්ෂ්යය සොයා ගැනීම
ප්රශ්නය:
\((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) සමීකරණයක් සහ \(y = 2x + 1\) රේඛාවක් සහිත වෘත්තයක් ලබා දී ඇත. රවුම සහ රේඛාව අතර ස්පර්ශක ලක්ෂ්යය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමුව, අපි රවුමේ කේන්ද්රය සහ අරය හඳුනා ගනිමු:
– මධ්යය \(O(3, 4)\)
– අරය \(r = \sqrt{25} = 5\)
ස්පර්ශක ලක්ෂ්යය සොයා ගැනීමට, ස්පර්ශක ලක්ෂ්යය \(T(x_1, y_1)\) යැයි උපකල්පනය කරමු, එය \(y = 2x + 1\) රේඛාව මත ද පිහිටා ඇත. ඉන්පසු:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) ද වෘත්තයේ සමීකරණය තෘප්තිමත් කළ යුතුය:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
රවුම් සමීකරණයට \(y_1 = 2x_1 + 1\) ආදේශ කරන්න:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
අපි වර්ග දෙකක් ගණනය කළ යුතුයි.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
ප්රතිඵල දෙකම ඒකාබද්ධ කරන්න:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
දෙපැත්තෙන්ම 25 අඩු කරන්න:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳන්න:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
\(y_1\) හි අගය ගණනය කරන්න:
y = 2x + 1 තෘප්තිමත් කරන:
– \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) නම්, \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) නම්, \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
ඇගයීම:
ඉතින් අපිට ඒ රේඛාව සමඟ රවුමේ සමීකරණයේ ඡේදනය වන ලක්ෂ්ය දෙකක් ලැබෙනවා.
උදාහරණ ප්රශ්නය 3: ස්පර්ශක රේඛාවක සමීකරණය නිර්ණය කිරීම
ප්රශ්නය:
\((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\) සමීකරණය සහිත වෘත්තයක් ලබා දී ඇත. \((6, 7)\) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන වෘත්තයට ස්පර්ශක රේඛාවේ සමීකරණය නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
දන්නා බාහිර ලක්ෂ්යයකින් කේන්ද්රය \((h, k)\) සහ අරය \(r\) සහිත වෘත්තයකට ස්පර්ශකය සමීකරණය මගින් සොයාගත හැකිය:
ස්පර්ශක රේඛාව බාහිර ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි \((x_1, y_1)\):
\[
(x - 2)(x_1 - 2) + (y - 3)(y_1 - 3) = 20
\]
බාහිර ලක්ෂ්යය ආදේශ කරන්න \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
ස්පර්ශක රේඛාවේ සමීකරණය:
\[
x + y = 9
\]
ඉතින්, වෘත්ත රේඛාවේ ලක්ෂ්යය හරහා රේඛාවේ සමීකරණයේ විචලනය ඉතා විශාල වන අතර ප්රතිඵලය හෝ දෘශ්ය නිරූපණය අනුව වෙනස් විය හැකිය.
නිගමනය
කව සහ ස්පර්ශක පිළිබඳ සාකච්ඡාව, පයිතගරස් ප්රමේයය වැනි මූලික සූත්ර යෙදීමේ සිට චතුර්ථ සමීකරණ විසඳීම දක්වා ගණිතයේ මූලික අංශ කිහිපයක් ආවරණය කරයි. මෙම උදාහරණ හරහා, තරමක් සංකීර්ණ අවස්ථාවන්හිදී මෙම සංකල්ප යෙදිය යුතු ආකාරය පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් අපට වර්ධනය කර ගත හැකිය. කව සහ ස්පර්ශක සම්බන්ධ ගැටළු වෙත ප්රවේශ වී විසඳන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ පැහැදිලි චිත්රයක් ලබා දීමට මෙම ලිපිය උපකාරී වී ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු.
