ජ්යාමිතික ශ්රේණි සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
ජ්යාමිතික අනුපිළිවෙල යනු ගණිතයේ මූලික සංකල්පයක් වන අතර එය බොහෝ විට උසස් පාසලේ උගන්වනු ලැබේ. මෙම අනුපිළිවෙල සංඛ්යා සමූහයකින් සමන්විත වන අතර, ඒ සෑම එකක්ම "අනුපාතයක්" ලෙස හැඳින්වෙන නියතයකින් පෙර සංඛ්යාවේ ගුණිතය වේ. මෙම ලිපිය පාඨකයින්ට මෙම සංකල්පය වඩා හොඳින් තේරුම් ගැනීමට උපකාර කිරීමේ අපේක්ෂාවෙන්, ජ්යාමිතික අනුපිළිවෙල පිළිබඳ උදාහරණ ගැටළු සහ සාකච්ඡා කිහිපයක් ආවරණය කරනු ඇත.
ජ්යාමිතික ශ්රේණි අවබෝධ කර ගැනීම
ජ්යාමිතික අනුක්රමයක් යනු පළමු සංඛ්යාවක් (a) ස්ථාවර අනුපාතයකින් (r) ගුණ කිරීමෙන් සෑදෙන සංඛ්යා අනුක්රමයකි. සාමාන්යයෙන්, ජ්යාමිතික අනුක්රමයක සාමාන්ය ආකාරය:
\[ අ, අර්, අර්^2, අර්^3, \ldots, අර්^{n-1} \]
මෙතන:
- “a” යනු අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පදයයි.
– “r” යනු එක් පදයක් පෙර පදයට අනුපාතයයි.
– “n” යනු අනුපිළිවෙලෙහි නවවන පදයයි.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
ජ්යාමිතික අනුපිළිවෙලවල් පිළිබඳ වැඩිදුර අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සාකච්ඡා කරමු.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
ප්රශ්නය:
පළමු පදය (a) 3 වන අතර අනුපාතය (r) 2 වන ජ්යාමිතික අනුපිළිවෙලක් ලබා දී ඇත. තීරණය කරන්න:
1. අනුපිළිවෙලෙහි 5 වන පදය.
2. අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පද 6 හි එකතුව.
සාකච්ඡාව:
1. ජ්යාමිතික අනුක්රමයක n වන පදය සඳහා වන සූත්රය භාවිතයෙන් 5 වන පදය (U5) ගණනය කළ හැක, එනම්:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
සූත්රයට a = 3, r = 2, සහ n = 5 ආදේශ කිරීම:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
ඉතින්, අනුපිළිවෙලෙහි 5 වන පදය 48 වේ.
2. ජ්යාමිතික අනුපිළිවෙලක පළමු පද 6 (S6) හි එකතුව, පළමු n පදවල එකතුව සඳහා වන සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක, එනම්:
\[ S_n = a \වම( \frac{r^n – 1}{r – 1} \දකුණ) \]
සූත්රයට a = 3, r = 2, සහ n = 6 ආදේශ කිරීම:
\[ S_6 = 3 \වම( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \දකුණ) \]
\[ S_6 = 3 \වම( \frac{64 – 1}{1} \දකුණ) \]
\[ S_6 = 3 \වම( 63 \දකුණ) \]
\[ S_6 = 189 \]
ඉතින්, අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පද 6 හි එකතුව 189 කි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
ප්රශ්නය:
ජ්යාමිතික අනුක්රමයක 3 වන පදය 27 කින් සහ 5 වන පදය 243 කින් යුක්ත වේ. පළමු පදයේ (a) අගය සහ අනුපාතය (r) නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
U3 = 27 සහ U5 = 243 දී ඇත. ජ්යාමිතික අනුපිළිවෙලක n වන පදය සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින්:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3 සඳහා:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
U5 සඳහා:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
(1) සහ (2) සමීකරණ සංසන්දනය කිරීමෙන් a ඉවත් කරන්න:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = ආර්^2 \]
\[ 9 = ආර්^2 \]
\[ r = 3 \පෙළ{ හෝ } r = -3 \]
(1) සමීකරණයට r හි අගය ආදේශ කරන්න:
\( r = 3 \) නම්:
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ අ = 3 \]
\( r = -3 \) නම්:
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ අ = 3 \]
ඉතින්, පළමු පදය (a) 3 වන අතර, අනුපාතය (r) 3 හෝ -3 විය හැකිය.
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
ප්රශ්නය:
පළමු පදය (a) 8 සහ අනුපාතය (r) 1/2 නම්, පහත ජ්යාමිතික ශ්රේණියේ අනන්ත එකතුව සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
ජ්යාමිතික ශ්රේණියක අනන්ත එකතුව සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
සූත්රයට a = 8 සහ r = 1/2 ආදේශ කිරීම:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ ස_{\infty} = 16 \]
ඉතින්, ජ්යාමිතික ශ්රේණියේ අනන්ත එකතුව 16 කි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 4
ප්රශ්නය:
ජ්යාමිතික අනුක්රමයක 2 වන පදය 12 සහ 4 වන පදය 108 වේ. අනුක්රමයේ අනුපාතය සහ පළමු පදය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\( U_2 = 12 \) සහ \( U_4 = 108 \) ලබා දී ඇත. ජ්යාමිතික අනුපිළිවෙලක n වන පදය සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින්:
\( U_2 \) සඳහා:
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
\( U_4 \) සඳහා:
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
(1) සහ (2) සමීකරණ සංසන්දනය කිරීමෙන් a ඉවත් කරන්න:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = ආර්^2 \]
\[ 9 = ආර්^2 \]
\[ r = 3 \පෙළ{ හෝ } r = -3 \]
(1) සමීකරණයට r හි අගය ආදේශ කරන්න:
\( r = 3 \) නම්:
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ අ = 4 \]
\( r = -3 \) නම්:
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ අ = -4 \]
ඉතින්, පළමු පදය (a) 4 හෝ -4 විය හැකි අතර, අනුපාතය (r) 3 හෝ -3 විය හැකිය.
නිගමනය
ජ්යාමිතික අනුපිළිවෙල විවිධ ක්ෂේත්රවල නිතර භාවිතා වන වැදගත් ගණිතමය සංකල්පයකි. මූලික කරුණු අවබෝධ කර ගැනීමෙන් සහ ගැටළු විසඳීමේ කුසලතා ප්රගුණ කිරීමෙන්, අපට සංකල්පය තේරුම් ගැනීමට සහ යෙදීමට වඩාත් ප්රවීණ විය හැකිය. මෙම ලිපියේ පාඨකයින්ට ජ්යාමිතික අනුපිළිවෙල වඩාත් ගැඹුරින් ඉගෙන ගැනීමට සහ තේරුම් ගැනීමට උපකාර කිරීම සඳහා උදාහරණ ගැටළු සහ සාකච්ඡා කිහිපයක් ඇතුළත් වේ. මෙය ප්රයෝජනවත් වේ යැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු!
