අංක ගණිත ශ්රේණි සාකච්ඡා කරන ප්රශ්න සඳහා උදාහරණ
ගණිතයේ මූලික සංකල්පයක් වන අංක ගණිත අනුපිළිවෙල, ද්විතීයික පාසල් සහ උසස් අධ්යාපනය යන දෙඅංශයෙන්ම විවිධ ගැටළු වලදී නිතර දක්නට ලැබේ. මෙම සංකල්පයට සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක් ඇතුළත් වන අතර එහිදී සෑම පදයක්ම පෙර පදයෙන් නියත සංඛ්යාවක් එකතු කිරීමේ හෝ අඩු කිරීමේ ප්රතිඵලයකි. මෙම ලිපියෙන්, අංක ගණිත අනුපිළිවෙල පිළිබඳ සංකල්පය තවදුරටත් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සහ ඒවායේ විසඳුම් අපි සාකච්ඡා කරමු.
අංක ගණිත ශ්රේණි අවබෝධ කර ගැනීම
අංක ගණිත ශ්රේණියක් යනු අනුප්රාප්තික පද දෙකක් අතර නියත වෙනසක් (වෙනසක්) ඇති ශ්රේණියකි. උදාහරණයක් ලෙස, අංක ගණිත ශ්රේණියක පළමු පදය \(a\) සහ \(d\) වෙනස තිබේ නම්, එම පද පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
මෙම ශ්රේණියේ n වන පදය සොයා ගැනීමට අපට අවශ්ය නම්, n වන පදය (\(U_n\)) සඳහා සූත්රය වන්නේ:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
මේ අතර, අංක ගණිත ශ්රේණියක (\(S_n\)) පළමු n පදවල එකතුව සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
ප්රශ්නය: පළමු පදය \(a = 5\) සහ පොදු වෙනස \(d = 3\) සහිත අංක ගණිත ශ්රේණියක් ලබා දී ඇත. ශ්රේණියේ 10 වන පදය සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
10 වන පදය (\(U_{10}\)) සොයා ගැනීමට, අපට n වන පද සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
ඉතින්, මාලාවේ 10 වන පදය 32 කි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
ප්රශ්නය: පළමු පදය \(a = 4\) වන සහ පොදු වෙනස \(d = 7\) වන අංක ගණිත ශ්රේණියේ පළමු පද 15 හි එකතුව සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමු පද 15 (\(S_{15}\)) හි එකතුව සොයා ගැනීමට, අපට පළමු n පදවල එකතුව සඳහා සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
ඉතින්, ශ්රේණියේ පළමු පද 15 හි එකතුව 795 කි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
ප්රශ්නය: අංක ගණිත ශ්රේණියක 5 වන පදය 20 වන අතර 12 වන පදය 48 බව දන්නා කරුණකි. ශ්රේණියේ පළමු පදය (\(a\)) සහ පොදු වෙනස (\(d\)) සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
දී ඇති කොන්දේසි වලින්:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
අපට විසඳා ගත හැකි විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ දෙකක් තිබේ:
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
සමීකරණය 1 සිට, අපට \(a\) \(d\) අනුව ප්රකාශ කළ හැක:
\[ අ = 20 – 4d \]
දැන් අපි \(a\) සමීකරණය 2 ට ආදේශ කරමු:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ ඈ = 4 \]
දැන් අපි \(d\) හි අගය \(a = 20 – 4d\) සමීකරණයට ආදේශ කරමු:
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ අ = 20 – 16 \]
\[ අ = 4 \]
ඉතින්, ශ්රේණියේ පළමු පදය 4 වන අතර පොදු වෙනස 4 වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 4
ප්රශ්නය: පළමු පදය \(a = 2\) සහ පොදු වෙනස \(d = 5\) සහිත අංක ගණිත ශ්රේණියක් 200 ට එකතු කිරීමට කොපමණ පද ප්රමාණයක් අවශ්ය වේද?
සාකච්ඡාව:
මෙම අවස්ථාවේදී, අපි පළමු n පදවල (\(S_n\)) එකතුව 200 ට සමාන බව සොයා ගත යුතුය. පළමු n පදවල එකතුව සඳහා සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
\(a\) සහ \(d\) හි අගයන් ආදේශ කරන්න:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
මෙය චතුරස්ර සමීකරණයකි. එය විසඳීම සඳහා, අපි එහි ස්වරූපය වෙනස් කරමු:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
\(ax^2 + bx + c = 0\) යන චතුරස්ර සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
මෙම අවස්ථාවේදී \(a = 5\), \(b = -1\), සහ \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
\(\sqrt{8001}\) හි අගය 89.42 ට ආසන්න වේ, එවිට:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
අපි ධනාත්මක අගයන් ගනිමු:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \ආසන්න වශයෙන් \frac{90.42}{10} \]
\[ n \ආසන්න වශයෙන් 9.042 \]
ඉතින්, අවශ්ය පද ගණන පද 9 කි (වටකුරු කර ඇත්නම්).
නිගමනය
ගණිතයේ දී අංක ගණිත අනුපිළිවෙල ඉතා වැදගත් මාතෘකාවකි. පළමු පදය, පොදු වෙනස, n වන පදය සහ පළමු n පදවල එකතුව පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් විවිධ ගැටළු විසඳීම සඳහා ඉතා වැදගත් වේ. ඉහත උදාහරණ සහ සාකච්ඡා භාවිතා කිරීමෙන්, පාඨකයින්ට අංක ගණිත අනුපිළිවෙලෙහි මූලික සංකල්ප පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් ලැබෙනු ඇතැයි අපේක්ෂා කෙරේ.
