Legea lui Hooke și elasticitatea – probleme și soluții

Legea lui Hooke și elasticitatea – probleme și soluții

Schimbarea de lungime

1. O tijă are lungimea L și este trasă de o forță F. Alungirea este ∆L. Care este magnitudinea forței dacă schimbarea lungimii este de 4∆L.

Cunoscut:

Forța 1 (F1 ₎ = F

Modificarea lungimii 1 (∆L ₁ ) = ∆L

Schimbarea lungimii 2 (∆L² ₎ = 4 ∆L

Căutat: Forța 2 (F ₂ )

soluţie:

Ecuația legii lui Hooke

k = F / ΔL

k = constanta de elasticitate, F = forța lui F, ΔL = schimbarea lungimii

k1 = _k2​

F1 / _∆L1 = _F2 / _∆L2​

F / ΔL = F² _/ 4ΔL

F/1 = F₂ _/ 4

F = F² _/ 4

F2 = _4F

2. Aceste arcuri sunt conectate în serie-paralel, așa cum se arată în figura de mai jos. Arcul 1 are o constantă de 200 N/m, arcul 2 are o constantă de 200 N/m, iar arcul 3 are o constantă de 200 N/m. Masa obiectului este de 100 de grame și accelerație datorată gravitației este de 10 m/s²Care este schimbarea lungimii il echivalent arc.

Cunoscut:

Masa obiectului (m) = 100 grame = 0.1 kg

k1 = k2 ₌ k3 _{= 200} N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Cerință căutată: Modificarea lungimii arcului echivalent.

soluţie:

Determinați echivalentul constanta arcului:

Arcul 2 (k² ₎ și arcul 3 (k³ ₎ sunt conectate în paralel. Constanta arcului echivalent :

kp ₌ k2 + k3 _{= 200 + 200} = 400 Nm ⁻¹

Arcul 1 (k1 ₎ și arcul p (kP ₎ sunt conectate în serie. Constanta arcului echivalent:

1/ _ks = 1/kp ₊ 1/k1 ₌ 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

ks = 400/3 ^Nm ₋₁

Constanta echivalentă a arcului este 400/3 Nm ^-1

Determinați variația lungimii arcului echivalent :

Ecuația legii lui Hooke:

∆x = F / k = w / k

Variația lungimii arcului echivalent :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Constanta primăverii

3. Care este constanta arcului conform datelor din tabelul de mai jos?

soluţie:

Ecuația legii lui Hooke:

k = F / Δx

Constanta primăverii:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Trei arcuri sunt conectate în serie-paralel, așa cum se arată în figura de mai jos. Constantele arcului k1 ₌ k2 ₌ 3 Nm ⁻¹ și k3 ₌ 6 Nm ⁻¹ . Care este constanta echivalentului unui arc?

Cunoscut:

Constanta arcului 1 (k1 ₎ = constanta arcului 2 (k2 ₎ = 3 Nm ⁻¹

Constanta arcului 3 (k3 ₎ = 6 Nm ⁻¹

Cerut: constanta arcului echivalent (k)

soluţie:

Arcul 1 (k1 ₎ și arcul 2 (k2 ₎ sunt conectate în paralel. Constanta arcului echivalent:

kp ₌ k1 + k2 _{= 3 + 3} = 6 Nm ⁻¹

Arcul p (kP ₎ și arcul 3 (k3 ₎ sunt conectate în serie. Constanta arcului echivalent:

1/ _ks = 1/ _kp + 1/k3 ₌ 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

ks = 6/2 ₌ 3 Nm ⁻¹

Constanta echivalentului unui arc = 3 Nm ⁻¹.

5. Un arc cu lungimea L, tras cu greutatea w. Conform datelor din tabelul de mai jos, care este constanta arcului echivalent:

soluţie:

k = F / Δx

Constanta primăverii:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. Conform datelor din tabelul de mai jos, care este constanta arcului echivalent:

soluţie:

k = F / Δx = w / Δx = mg / Δx

k = constanta de elasticitate, w = greutate, m = masă, g = accelerația gravitațională, Δx = schimbarea lungimii

Constanta arcului:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Dacă k1 ₌ 4k, care este constanta arcului echivalent.

soluţie:

Două arcuri sunt conectate în paralel. Constanta arcului echivalent:

kp ₌ k + k = 2k

Două arcuri sunt conectate în serie. Constanta arcului echivalent

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

ks ₌ 4k/3

8. Conform datelor din tabelul de mai jos, care este constanta arcului echivalent:

soluţie:

Ecuația legii lui Hooke:

k = F / ΔL

Constanta primăverii:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 ^Nm⁻¹

9. Cea mai mică constantă este…

Soluţie

Ecuația legii lui Hooke:

k = F / Δx

k = constanta de elasticitate, F = forță, Δx = schimbarea lungimii

Constanta de elasticitate:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

kB = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/ _m

kC = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/ _m

kD = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/ _m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Care este cea mai mare constantă conform datelor din tabelul de mai jos?

soluţie:

Ecuația legii lui Hooke:

k = F / Δx

kA = 7 / 0.035 = 200 _Nm ^-1

kB = 8 / 0.025 = 320 _Nm ^-1

kC = 6 / 0.020 = 300 _Nm ^-1

kD = 9 / 0.045 = 200 _Nm ^-1

kE = 10 / 0.033 = 303 _Nm ^-1

Cea mai mare constantă este de 320 ^Nm⁻¹.

11. Graficul de mai jos prezintă legătura dintre modificarea forței (ΔF) și creșterea lungimii (Δx). Care este graficul care prezintă cea mai mică constantă de elasticitate?

Soluţie

Ecuația legii lui Hooke:

k = F / Δx

Δx = schimbarea lungimii, F = forță, k = constantă de elasticitate

Constanta de elasticitate:

k _A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k _B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

kC = F / Δx = 6 / 6 = ₁

kD = F / Δx = 3 / 5 = _0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Care grafic h are cele mai mari constante elastice?

soluţie:

Constanta de elasticitate :

k _A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k _B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

kC = F / Δx = 5 / 0.1 = ₅₀

kD = F / Δx = 500 / 0.1 = ₅₀₀₀

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Energia potențială a primăverii:

13. Graficul de mai jos prezintă relația dintre forță și modificarea lungimii arcului. Care este energia potențială a arcului, conform graficului de mai jos.

Cunoscut:

F = 40 N

x = 0.08 metri

Cerere : Energia potențială a primăverii

soluţie:

Constanta primăverii:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Energia potențială a primăverii:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 Jouli

14. Un bloc de 2 kg este atașat la un arc. Dacă creșterea lungimii arcului este de 5 cm și accelerația gravitațională este de 10 m/s² ^, care este energia potențială a arcului?

Cunoscut:

Creșterea în lungime (Δx) = 5 cm = 0.05 metri

Accelerația gravitațională (g) = 10 m/ ^s²

Masa blocului (m) = 2 kg

Greutatea blocului (w) = mg = (2)(10) = 20 newtoni

Se caută: energia potențială a primăverii

soluţie:

Constanta elasticității:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Energia potențială a primăverii:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.05) ² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 Joule

15. Variația lungimii unui arc este de 5 cm atunci când este tras de o forță de 20 N. Care este energia potențială a arcului atunci când variația lungimii arcului este de 10 cm?

Cunoscut:

Variația lungimii (Δx) = 5 cm = 0.05 metri

Forță (F) = 20 Newtoni

Cerere : Energia potențială a primăverii

soluţie:

Constanta primăverii:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Energia potențială a arcului când Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.1) ² = (200)(0.01)

PE = 2 Joule

Greutatea obiectului

16. Patru arcuri, la care constanta fiecărui arc este de 800 N/m, conectate în serie-paralel, așa cum se arată în figură. Un bloc este atașat la un arc. Variația de lungime a tuturor arcurilor este de 5 cm. Care este greutatea blocurilor?

Cunoscut:

k1 = k2 ₌ k3 ₌ k4 _{= 800} N m ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Greutatea dorită a blocului (w)

soluţie:

Determinați constanta arcului echivalent

Primăvara 1 (k₁), arcul 2 (k₂) și arcul 3 (k₃) sunt conectate în paralel. Constanta arcului echivalent:

kp ₌ k1 ₊ k2 + k3 ₌ 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ₋ ¹

Arcul p (kP ₎ și arcul 4 (k4 ₎ sunt conectate în serie. Constanta arcului echivalent:

1/ _ks = 1/kp ₊ 1/k4 ₌ 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

ks = 2400/4 ₌ 600 Nm ⁻¹

Constanta arcului echivalent este de 600 Nm ^-1

Determinați greutatea obiectului:

Ecuația legii lui Hooke:

F = kΔx sau w = kΔx

Greutatea obiectului:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 newtoni

17. Patru arcuri sunt conectate în serie-paralel. Constanta fiecărui arc este de 1600 N/m. Un bloc este atașat la capătul arcului, așa cum se arată în figură. Creșterea în lungime a tuturor arcurilor este de 5 cm. Care este greutatea blocurilor?

Cunoscut:

k1 = k2 ₌ k3 ₌ k4 _{= 1600} N m ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Greutatea dorită: blocul

soluţie:

Determinați constanta arcului echivalent

Primăvara 1 (k₁), arcul 2 (k₂) și arcul 3 (k₃) sunt conectate în paralel. Constanta arcului echivalent:

kP = k1 ₊ k2 ₊ k3 ₌ 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm ₋ ¹

Arcul p (kP ₎ și arcul 4 (k4 ₎ sunt conectate în serie. Constanta arcului echivalent:

1/ _ks = 1/kp ₊ 1/k4 ₌ 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

ks = 4800/4 ₌ 1200 Nm ⁻¹

Constanta arcului echivalent este de 1200 Nm ^-1

Determinați greutatea obiectului:

Ecuația legii lui Hooke:

F = kΔx sau w = kΔx

Greutatea obiectului:

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 newtoni

1. Ce este legea lui Hooke?
   • Răspuns: Legea lui Hooke descrie relația dintre forța aplicată unui obiect elastic și deformarea rezultată (de obicei alungire sau compresie). Mai exact, ea afirmă că forța necesară pentru a comprima sau extinde un arc este direct proporțională cu distanța pe care este întins sau comprimat, cu condiția ca limita de elasticitate să nu fie depășită.
2. Ce înseamnă când spunem că un material și-a atins limita de elasticitate?
   • Răspuns: Când un material a atins limita sa elastică, înseamnă că nu va mai reveni la forma sau dimensiunea sa inițială după ce forța deformantă este îndepărtată. Dincolo de acest punct, materialul se comportă plastic și poate fi deformat permanent.
3. Cum se leagă constanta elastică (k) de rigiditatea unui arc?
   • Răspuns: Constanta elastică (k) este o măsură a rigidității unui arc. O valoare mai mare a lui k indică un arc mai rigid, ceea ce înseamnă că este necesară o forță mai mare pentru a-l deforma într-o anumită măsură, în timp ce un k mai mic indică un arc mai flexibil sau mai moale.
4. Care sunt unitățile de măsură ale constantei elastice în sistemul SI?
   • Răspuns: În sistemul SI, unitățile de măsură pentru constanta elastică (k) sunt newtoni pe metru (N/m).
5. De ce este considerat comportamentul descris de Legea lui Hooke liniar?
   • Răspuns: Comportamentul este considerat liniar deoarece relația dintre forța aplicată (F) și deplasarea (x) este o linie dreaptă, relația fiind dată ca $F=kx$, unde k este o constantă pentru un material sau un arc dat.
6. Legea lui Hooke este aplicabilă doar arcurilor?
   • Răspuns: Nu, Legea lui Hooke este aplicabilă oricărui material elastic care se deformează liniar odată cu forța aplicată, până la limita sa de elasticitate. Deși arcurile sunt un exemplu comun, alte materiale, cum ar fi benzile de cauciuc, metalele supuse unor deformări mici și unele țesuturi biologice, pot, de asemenea, prezenta un comportament descris de Legea lui Hooke.
7. Ce se întâmplă dacă un material este întins dincolo de limita sa de elasticitate, dar nu suficient pentru a se rupe?
   • Răspuns: Dacă un material este întins dincolo de limita sa elastică, dar nu până la punctul de rupere, acesta va suferi o deformare plastică. Aceasta înseamnă că, atunci când forța este îndepărtată, materialul nu va reveni complet la forma sa inițială și va rămâne o anumită deformare permanentă.
8. Cum se leagă conceptele de stres și deformare de Legea lui Hooke?
   • Răspuns: Tensiunea este forța aplicată pe unitatea de suprafață, iar deformarea este deformarea relativă a unui material. Legea lui Hooke, în termeni de tensiune și deformare, afirmă că tensiunea este direct proporțională cu deformarea, constanta de proporționalitate fiind modulul lui Young al materialului. Aceasta este o altă modalitate de a exprima relația liniară dintre forță și deformare, dar pentru materiale volumice, nu doar pentru arcuri.
9. Ce este modulul lui Young și cum se leagă acesta de elasticitate?
   • Răspuns: Modulul lui Young, reprezentat de obicei prin literă $E$, este o măsură a rigidității unui material în termeni de tensiune sau compresie. Descrie capacitatea materialului de a rezista deformării sub o forță aplicată. Un modul Young mai mare indică un material mai rigid și este definit ca raportul dintre tensiune și deformație.
10. Pot fi toate materialele descrise prin Legea lui Hooke?

• Răspuns: Nu, nu toate materialele se comportă conform Legii lui Hooke. Multe materiale, în special cele neliniare, vâscoelastice sau plastice, nu prezintă o relație liniară între tensiune și deformare. Legea lui Hooke este o descriere idealizată și este cea mai precisă pentru deformările mici ale materialelor elastice.