Rotasjonsbevegelse – problemer og løsninger

moment~~POS=TRUNC

1. En bjelke som er 140 cm lang. Tre krefter virker på bjelken, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N og F3 = 40 N, _med retning og posisjon som vist i figuren nedenfor. Hva er dreiemomentet som får bjelken til å rotere rundt bjelkens massesenter?

Kjent: Rotasjonsbevegelse – problemer og løsninger 1

Massesenteret ligger i midten av bjelken.

Lengde på bjelke (l) = 140 cm = 1.4 meter

Kraft 1 (F1 ₎ = 20 N, vektarmen 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 meter

Kraft 2 (F2 ₎ = 10 N, vektarmen 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 meter

Kraft 3 (F3 ₎ = 40 N, vektarmen 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 meter

Ønsket: Størrelsen på dreiemomentet

løsning:

Moment 1 roterer bjelken med klokken, og får derfor et negativt fortegn til moment 1.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Dreiemoment 2 roterer bjelken mot klokken, og tildeler dermed et positivt fortegn til dreiemoment 2.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N}₎ (0.3 m ) = 3 Nm

Momentet 3 roterer bjelken med klokken, og får dermed et positivt fortegn til momentet 3.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 Nm

Netto dreiemoment:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Dreiemomentets størrelse er 39 N m. Bjelkens rotasjonsretning med klokken er derfor tilordnet et negativt fortegn.

2. Hva er nettomomentet som virker på bjelken? Rotasjonsaksen i punkt D. (sin 53 ^o = 0.8)

Kjent:

Rotasjonsaksen i punkt D Rotasjonsbevegelse – problemer og løsninger 2

F ₁ = 10 N og l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 meter

F ₂ = 10√2 N og l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 meter

F ₃ = 20 N og l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 meter

Ønsket: Netto dreiemoment

løsning:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0.32 m) = 3.2 Nm

(Dreiemoment 1 roterer bjelken mot klokken, så vi tildeler moment 1 positivt fortegn)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Dreiemoment 2 roterer bjelken med klokken, så vi tildeler moment 2 et negativt fortegn)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0.1 m) = 2 Nm

(Dreiemoment 3 roterer bjelken mot klokken, så vi tildeler moment 3 positivt fortegn)

Netto dreiemoment:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Hva er nettomomentet hvis rotasjonsaksen er i punkt D. (sin 53 ^o = 0.8)

Kjent:

Rotasjonsaksen i punkt D. Rotasjonsbevegelse – problemer og løsninger 3

Avstanden mellom F1 _og rotasjonsaksen (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Avstanden mellom F2 _og rotasjonsaksen (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Se også Mekanisk energi – problemer og løsninger

Avstanden mellom F3 _og rotasjonsaksen (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newton

F² = _10√2 Newton

F3 = ₂₀ Newton

Sinus 53 ^o = 0.8

Ønsket: Netto dreiemoment

løsning:

Kraftmomentet 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Dreiemoment 1 roterer bjelken mot klokken, så vi tildeler moment 1 positivt fortegn)

Kraftmomentet 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Dreiemoment 2 roterer bjelken med klokken, så vi tildeler moment 2 et negativt fortegn)

Kraftmomentet 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Dreiemoment 2 roterer bjelken mot klokken, så vi tildeler moment 3 positivt fortegn)

Netto dreiemoment:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newtonmeter

Treghetsmomentet

4. Lengde på ledning = 12 m, l1 ₌ 4 m. Ignorer ledningens masse. Hva er systemets treghetsmoment ?

Kjent: Rotasjonsbevegelse – problemer og løsninger 4

Massen til A (m _A ) = 0.2 kg

Massen til B (mB ₎ = 0.6 kg

Avstanden mellom A og rotasjonsaksen (r _A ) = 4 meter

Avstanden mellom B og rotasjonsaksen (r²B ₎ = 12–4 = 8 meter

Ønsket: Systemets treghetsmoment

løsning:

Treghetsmomentet til A

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Treghetsmomentet til B

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Systemets treghetsmoment:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotasjonsdynamikk

5. En kraft på 6 N påføres en snor som er viklet rundt en trinse med masse M = 5 kg og radius R = 20 cm. Hva er trinsens vinkelakselerasjon? Trinsen er en jevn, solid sylinder.

Kjent:

Kraft (F) = 6 Newton

Masse (M) = 5 kg

Radius (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Ønskes: Vinkelakselerasjon (α)

løsning:

Kraftmomentet:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 meter) = 1.2 Nm

Treghetsmomentet for en solid sylinder:

Jeg = 1/2 ^MR²

I = 1/2 (5 kg) (0.2 m² ⁾

I = 1/2 (5 kg) (0.04 ^m² )

Jeg = 1/2 (0.2)

Jeg = 0.1 kg ^m².

Vinkelakselerasjonen:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. En blokk med masse = 4 kg hengende fra en snor surret rundt en trinse med masse = 8 kg og radius R = 10 cm. Tyngdeakselerasjonen er 10 ms ^-2 . Hva er den lineære akselerasjonen til blokken? Trinsen er en jevn, solid sylinder.

Kjent:

Masse av trinse (m) = 8 kg

Remskivens radius (r) = 10 cm = 0.1 m

Klossens masse (m) = 4 kg

Tyngdekraftakselerasjon (g) = 10 m/ ^s²

Se også Hastigheten til de mekaniske bølgene - problemer og løsninger

Vekt (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Ønskes: Blokkens akselerasjon i fritt fall

løsning:

Treghetsmomentet til den faste sylinderen:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

Kraftmomentet:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Vinkelakselerasjonen:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Den lineære akselerasjonen:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. En blokk med masse m hengende fra en snor viklet rundt en trinse. Hvis blokkens frittfallsakselerasjon er am/ ^s² , hva er treghetsmomentet til trinsen?

Kjent:

vekt = w = mg Rotasjonsbevegelse – problemer og løsninger 6

Håndtak = R

Vinkelakselerasjonen = α

Klokkens akselerasjon i fritt fall = a ms ^-2

Ønsket: Treghetsmomentet til trinsen (I)

løsning:

Forbindelsen mellom lineær akselerasjon og vinkelakselerasjon:

a = Rα

α = a / R

Treghetsmomentet:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Vinkelmomentet

8. En partikkel på 0.2 gram beveger seg i en sirkel med en konstant hastighet på 10 m/s. Sirkelens radius er 3 cm. Hva er partikkelens vinkelmomentum?

Kjent:

Partikkelmasse (m) = 0.2 gram = 2 x ^10⁻⁴ kg

Vinkelhastighet (ω) = 10 rad ^s⁻¹

Radius (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² meter

Ønskes: Partikkelens vinkelmomentum

løsning:

Ligningen for vinkelmomentet:

L = I ω

I = vinkelmomentet, I = treghetsmomentet, ω = vinkelhastigheten

Treghetsmomentet (for partikler):

I = mr ² = (2 x ^10⁻⁴ )(3 x ^10⁻² ) ² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁶

Vinkelmomentet:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁶⁾ (10 rad ^s⁻¹ ) = 18 x ^10⁻⁶ kg ^m² s⁻¹

Hva er rotasjonsbevegelse?
- SvarRotasjonsbevegelse refererer til bevegelsen til et objekt rundt en fast akse. Det er den typen bevegelse der hvert punkt på objektet beveger seg i en sirkel rundt aksen.
Hvordan forholder lineær hastighet seg til vinkelhastighet i rotasjonsbevegelse?
- SvarLineær hastighet ( $v$ ) til et punkt i et roterende objekt er direkte proporsjonal med avstanden ( $r$ ) fra rotasjonsaksen og vinkelhastigheten ( $ω$ ) av objektet. Relasjonen er gitt av $v = r \cdot ω$ .
Hva er treghetsmomentet, og hvordan er det relatert til rotasjonsbevegelse?
- SvarTreghetsmomentet er den rotasjonsmessige analogen til masse i lineær bevegelse. Det måler et objekts motstand mot endringer i dets rotasjonstilstand. Treghetsmomentet avhenger av både massen til et objekt og dens fordeling i forhold til rotasjonsaksen.
Hvordan gjelder Newtons første bevegelseslov for rotasjonsbevegelse?
- SvarAkkurat som et objekt i lineær bevegelse forblir i bevegelse med mindre det påvirkes av en ytre kraft, vil et objekt i rotasjonsbevegelse forbli i den tilstanden med mindre det påvirkes av et ytre dreiemoment.
Hva er betydningen av gyrasjonsradiusen?
- SvarGyrasjonsradiusen gir et mål på fordelingen av et objekts masse bort fra rotasjonsaksen. Den beskriver i hovedsak hvor langt fra aksen all objektets masse må konsentreres for å ha samme treghetsmoment som den opprinnelige fordelingen.
Hva er vinkelmomentum og hvordan bevares det?
- SvarVinkelmoment er rotasjonsekvivalenten til lineært momentum. Det er produktet av et objekts treghetsmoment og dets vinkelhastighet. I et lukket system forblir det totale vinkelmomentet konstant med mindre det påvirkes av et eksternt dreiemoment, noe som fremhever bevaring av vinkelmomentet.
Hvordan påvirker dreiemoment rotasjonsbevegelsen?
- SvarDreiemoment er rotasjonsekvivalenten til kraft. Det forårsaker endringer i rotasjonsbevegelsen til et objekt. Forholdet er gitt av Newtons andre lov for rotasjon: $τ = I \cdot α$ , Hvor $τ$ er dreiemomentet, $I$ er treghetsmomentet, og $α$ er vinkelakselerasjonen.
Hvordan er massesenteret forskjellig fra rotasjonssenteret?
- SvarSelv om de kan sammenfalle, er massesenteret punktet der hele massen til et objekt kan antas å være konsentrert for beregninger i lineær bevegelse, mens rotasjonssenteret er punktet (eller aksen) som et objekt roterer rundt.
Hvilken rolle spiller sentripetalkraften i rotasjonsbevegelse?
- SvarSentripetalkraften er nettokraften som virker på et objekt som beveger seg i en sirkulær bane, rettet mot rotasjonssenteret. Den er ansvarlig for å holde et objekt i sin buede bane og forhindre at det beveger seg i en rett linje på grunn av treghet.
Hvordan er rotasjonskinetisk energi relatert til treghetsmoment og vinkelhastighet?
- SvarRotasjonskinetisk energi er energien som oppstår når et objekt roterer rundt en akse. Den er gitt ved formelen: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ , Hvor $I$ er treghetsmomentet og $ω$ er vinkelhastigheten.