Treghetsmoment for partikler – problemer og løsninger

Treghetsmoment for partikler – problemer og løsninger

1. To kuler forbundet med en stang, som vist på figuren nedenfor. Ignorer stangens masse . Massen til kule P er 600 gram og massen til kule Q er 400 gram. Hva er systemets treghetsmoment rundt AB?

Kjent:

Rotasjonsaksen er AB.

m _p = 600 gram = 0.6 kg, m _q = 400 gram = 0.4 kg

rp = 20 cm = 0.2 m, _{rq =} 50 cm = 0.5 m

Ønsket: Systemets treghetsmoment

løsning:

I = ^{m p} _r p² ₊ m _q r _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg m² ⁺ 0.1 kg ^m²

Jeg = 0.124 kg ^m²

2. Stangen AB med en masse på 2 kg rotert rundt punkt A, stangens treghetsmoment er 8 kg m² ^. Hvis den roteres rundt punkt O (AO = OB), hva er stangens treghetsmoment?

Kjent:

Masse av stang AB (m) = 2 kg

Hvis rotert rundt punkt A slik at rotasjonsradiusen (r) = lengden av AB = r, så er treghetsmomentet (I) = 8 kg ^m²

Ønsket: Hvis rotert om punkt O slik at rotasjonsradiusen (r) = lengden av AO = lengden av OB = 1/2 r, hva er da stangens treghetsmoment?

løsning:

Jeg = Herr ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² ⁼ 8 m² ^/ 2

r² = ^{4 m²}

r = 2 meter

Hvis rotert rundt punkt O slik at ½ r = 1 meter, så er treghetsmomentet:

I = mr² ⁼ (2 kg )(1 m² ⁾ = (2 kg) (1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. To kuler forbundet med en stang som vist på figuren nedenfor. Ignorer stangens masse. Hva er systemets treghetsmoment?

Kjent:

Masse av ball A (m_A) = 200 gram = 0.2 kg

Masse av ball B (mB ₎ = 400 gram = 0.4 kg

Avstanden mellom kule A og rotasjonsaksen (r _A ) = 0

Avstanden mellom kule B og rotasjonsaksen (rB ₎ = 25 cm = 0.25 m

Ønsket: Systemets treghetsmoment

løsning:

Treghetsmomentet til kule A:

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

Treghetsmomentet til kule B:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Systemets treghetsmoment:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x ^10⁻³ kg ^m²

4. Fire partikler med ulik masse, vist i figuren nedenfor. Bestem systemets treghetsmoment rundt den horisontale linjen P.

Oppløsning

Rotasjonsaksen er den horisontale linjen P.

Kjent:

Masse av partikkel A (m _A ) = m

Massen til partikkel B (mB ₎ = 2m

Masse av partikkel C (m _C ) = 3m

Passasje av partikler D (m _D ) = 4m

Avstanden mellom partikkel A og rotasjonsaksen (r _A ) = b

Avstanden mellom partikkel B og rotasjonsaksen (rB ₎ = b

Avstanden mellom partikkel C og rotasjonsaksen (r _C ) = 2b

Avstanden mellom partikkel D og rotasjonsaksen (r _D ) = 2b

Ønsket: Systemets treghetsmoment rundt den horisontale linjen P

løsning:

I = m _A r _A ² + m _B r _B ² + m _C r _C ² + m _D r _D ²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

Jeg = 31 ^mb²

5. Fire partikler forbundet med en stang. Ignorer stangens masse. Bestem treghetsmomentet rundt rotasjonsaksen gjennom partiklene m1 _og m2 _, som vist i figuren nedenfor.

kjent

Masse av partikkel 1 (m₁) = 1/4 kg

Masse av partikkel 2 (m2 ₎ = 1/2 kg

Masse av partikkel 3 (m3 ₎ = 1/4 kg

Masse av partikkel 4 (m4 ₎ = 1/4 kg

Avstand mellom partikkel 1 og rotasjonsaksen (r² ₎ = 0

Avstand mellom partikkel 2 og rotasjonsaksen (r² ₎ = 0

Avstand mellom partikkel 3 og rotasjonsaksen (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Avstand mellom partikkel 4 og rotasjonsaksen (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Ønsket: Treghetsmomentet

løsning:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² + m ₃ r ₃ ² + m ₄ r ₄ ²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Jeg = 1/400 + 1/400

Jeg = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

1. Hva er treghetsmomentet for en partikkel?
   • SvarFor en enkelt partikkel med masse $m$ på avstand $r$ fra en rotasjonsakse, dens treghetsmoment $I$ er gitt av I=m×r².
2. Hvorfor blir treghetsmomentet ofte omtalt som den «rotasjonsmessige analogen» til masse?
   • SvarAkkurat som masse er et mål på et objekts motstand mot endringer i dets translasjonsbevegelse (på grunn av Newtons andre lov), er treghetsmomentet et mål på et objekts motstand mot endringer i dets rotasjonsbevegelse.
3. Hvordan påvirker endring av avstanden til en partikkel fra rotasjonsaksen dens treghetsmoment?
   • SvarTreghetsmomentet er proporsjonalt med kvadratet av avstanden fra rotasjonsaksen. Hvis du dobler avstanden, vil treghetsmomentet øke med en faktor på fire.
4. Hvorfor er kvadratet av avstanden (r²) brukt i formelen for treghetsmomentet i stedet for bare avstanden?
   • SvarKvadratet av avstanden brukes på grunn av måten kinetisk energi i rotasjon fungerer på. I rotasjonsbevegelse bidrar hver partikkel i et objekt til den roterende kinetiske energien basert på både dens masse og dens avstand fra aksen i kvadrat.
5. Hvordan endres treghetsmomentet til en partikkel hvis massen tredobles samtidig som avstanden fra aksen holdes konstant?
   • SvarHvis massen tredobles og avstanden holdes konstant, vil også treghetsmomentet tredobles fordi det er direkte proporsjonalt med massen.
6. Kan en partikkel ha et treghetsmoment på null? I så fall, under hvilke betingelser?
   • SvarJa, en partikkel vil ha et treghetsmoment på null hvis den befinner seg direkte på rotasjonsaksen, noe som gjør avstanden $r$ fra aksen lik null.
7. Hvorfor har forskjellige objekter med samme masse og størrelse forskjellige treghetsmomenter når de roterer om forskjellige akser?
   • SvarMassefordelingen rundt rotasjonsaksen bestemmer treghetsmomentet. Selv om to objekter har samme masse og størrelse, kan massefordelingen deres i forhold til rotasjonsaksen variere, noe som fører til forskjellige treghetsmomenter.
8. Er treghetsmomentet en skalar eller vektorstørrelse?
   • SvarTreghetsmomentet er en skalar størrelse. For stive legemer med komplekse former og flere rotasjonsakser er det imidlertid representert av en tensor.
9. Hvis to partikler, hver med masse $m$, er plassert på avstander r_1​ og r₂​ fra rotasjonsaksen, hva er det kombinerte treghetsmomentet?
   • SvarTreghetsmomentet er additivt for separate partikler. Dermed er det kombinerte treghetsmomentet I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. Hvordan forholder treghetsmomentet seg til bevaring av vinkelmomentum?

    • SvarVinkelmomentum $L$ er produktet av treghetsmomentet $I$ og vinkelhastighet $\omega$, representert av ligningen $L=I\times \omega$Hvis ingen eksterne dreiemomenter virker på et system, vil vinkelmomentet forbli konstant. Dette betyr at hvis treghetsmomentet endres (som hos en kunstløper som trekker inn armene), må vinkelhastigheten justeres for å holde produktet konstant.