De natuurkundige grootheden die bij een cirkelbeweging een rol spelen, zijn onder andere hoekverplaatsing, hoeksnelheid en hoekversnelling.
1. Hoekverplaatsing (θ)
Verplaatsing bij cirkelbeweging wordt hoekverplaatsing genoemd. Hoekverplaatsing, inclusief vectorgrootheden, heeft daarom een grootte en een richting. De richting van de hoekverplaatsing wordt meestal met de klok mee (met de klok mee of tegen de klok in) aangegeven.
Er zijn drie eenheden voor hoekverplaatsing. Ten eerste, graad (o). Eén omtrek van een cirkel is gelijk aan 360°.oTen tweede, omwentelingen. Eén omtrek van de cirkel is gelijk aan één omwenteling. Ten derde, radialen. Bekijk de onderstaande afbeelding. Als een object in een cirkel beweegt, dan is r = de straal van de cirkel, x = de lengte van de cirkelvormige baan die het object aflegt = de omtrek van de cirkel.
De omtrek van een cirkel is gelijk aan 2π radialen.
Voorbeeldopgave 1:
1 omwenteling = 360 ° . ½ omwenteling = …. Rad?
Oplossing:
1 omwenteling = 360 o = 2 π rad = 2(3.14) rad = 6.28 rad
1/2 omwenteling = 180 ° = 1/2 (6.28 rad) = 3.14 rad
Voorbeeldopgave 2:
1 rad = …… o ? 1 o = … rad ?
Oplossing:
180 ° = π rad = 3.14 rad
2. Hoeksnelheid (ω)
a. Gemiddelde hoeksnelheid
Voorbeeldopgave 3:
Een wiel draait met de klok mee, maakt een hoek van 180 ° gedurende 2 seconden en een hoek van 90 ° gedurende 1 seconde. Wat is de grootte en richting van de gemiddelde hoeksnelheid?
Oplossing:
De richting van de gemiddelde hoeksnelheid is met de klok mee.
9 o /s = … rad/s ?
Voorbeeldopgave 4:
Een wiel draait 4 seconden lang met de klok mee over een hoek van 360 ° . Vervolgens draait het wiel 2 seconden lang tegen de klok in over een hoek van 180 ° . Wat is de gemiddelde hoeksnelheid?
Oplossing:
De richting van de gemiddelde hoeksnelheid is met de klok mee.
3 o /s = … rad/s?
b. Momentane hoeksnelheid
De momentane hoeksnelheid wordt vaak simpelweg de hoeksnelheid genoemd. Als alleen de hoeksnelheid wordt genoemd, wordt de momentane hoeksnelheid bedoeld. De grootte van de momentane hoeksnelheid is gelijk aan de grootte van de hoeksnelheid gedurende een zeer kort tijdsinterval. Mathematisch gezien:
Als we bij een lineaire beweging de grootte van de snelheid kunnen vervangen door de hoeksnelheid, dan kunnen we bij een cirkelvormige beweging de grootte van de hoeksnelheid vervangen door de hoeksnelheid.
3. Hoekversnelling (een)
a. Gemiddelde hoekversnelling
Voorbeeldopgave 5:
Een windmolen stond aanvankelijk stil en werd door de wind aangedreven, waardoor hij met de klok mee draaide. Na 2 seconden is de hoeksnelheid 90 ° /s. Wat is de gemiddelde hoeksnelheid?
Oplossing:
Gemiddeld verandert de hoeksnelheid van de windmolen elke seconde met 45° rad/s = … rad/s elke seconde?
b. Momentane hoekversnelling
De momentane hoekversnelling wordt vaak afgekort tot hoekversnelling. De momentane hoekversnelling is de verandering in de hoeksnelheid gedurende een zeer kort tijdsinterval. Mathematisch:
Lineaire grootheden in de cirkelvormige beweging
Lineaire grootheden zijn grootheden die een lineaire beweging beschrijven, zoals verplaatsing (afstand), snelheid en versnelling. De grootheden die een cirkelvormige beweging beschrijven, worden daarentegen hoekgrootheden genoemd.
1. Verplaatsing
Bekijk een object dat draait, zoals een wiel, ventilator, windmolen of klok, enz. Wanneer een object zoals een ventilator draait, draaien alle onderdelen van de ventilator tegelijk. Als de ventilator één omwenteling (360 ° ) maakt, maken alle onderdelen van de ventilator, zowel aan de rand als dicht bij de as, ook één omwenteling of 360 ° . Eén omwenteling of 360 ° is de grootte van de hoekverdraaiing die alle onderdelen van de ventilator, zowel aan de rand als dicht bij de as, maken.
Wanneer de ventilator één omwenteling maakt, bewegen het deel van de ventilator dat zich aan de rand bevindt en het deel van de ventilator dat zich dicht bij de rotatieas bevindt, over een afstand gelijk aan één cirkel (2). Als de straal van de ventilator 20 cm is, is de afstand tussen de rand van de ventilator en de rotatieas 20 cm. Bijvoorbeeld, de afstand tussen de as en een deel van de ventilator dat zich dicht bij de as bevindt = 1 cm. Wanneer de ventilator één omwenteling maakt, beweegt de rand van de ventilator cirkelvormig over een afstand gelijk aan (2)(3.14)(20 cm) = 125.6 cm.
terwijl het punt nabij de as een cirkelvormige beweging maakt over een afstand van (2)(3.14)(1 cm) = 6.28 cm. 125.6 cm is de grootte van de verplaatsing die de rand van de ventilator ondergaat.
Terwijl 6.28 cm de grootte is van de verplaatsing van een punt nabij de rotatieas. Hoe kleiner r, hoe kleiner de verplaatsing. De relatie tussen verplaatsing (d) en hoekverplaatsing (θ) wordt uitgedrukt door de vergelijking:
θ = d / r
d = r θ
d = verplaatsing (meter), r = straal of afstand tot de rotatieas (meter), θ = hoekverplaatsing (radialen)
Voorbeeldopgave 6:
Een cd met een straal van 5 cm roteert over een hoek van 90°. Wat is de verplaatsing van een punt op 2 cm afstand van de rotatieas?
Oplossing:
r = afstand tot de rotatieas = 2 cm = 0.02 m
θ = 90 ° = 1.57 rad (moet in radialen worden aangegeven)
d = (0.02 m)(1.57 rad) = 0.03 m.
Hoekverplaatsing heeft geen eenheid in het internationale systeem en geen dimensie (de dimensie is 1). Daarom hoeft u bij de bovenstaande berekening de eenheid radialen niet in de resultaten op te geven.
2. Snelheid
Wanneer een ventilator of een ander roterend object draait, heeft dat natuurlijk een bepaalde tijdsinterval nodig. Als de ventilator met de klok mee draait en één volledige rotatie (360 ° ) in 1 seconde maakt,
De hoeksnelheid van alle onderdelen van de ventilator is dan 1 omwenteling/s = 360 ° /s = 6.28 rad/s en de richting van de hoeksnelheid is gelijk aan de richting van de uurwijzer.
Als de straal van de ventilator 20 cm is, beweegt de rand van de ventilator in een cirkel met een snelheid van 2(3.14)(20 cm) / 1 seconde = 125.6 cm/s = 1.256 m/s. Het punt dat zich op 1 cm (0.01 m) van de rotatieas bevindt, beweegt met een snelheid van 2(3.14)(1 cm) / 1 seconde = 6.28 cm/s = 0.0628 m/s. Hoe kleiner r, hoe kleiner de snelheid. Bij een cirkelvormige beweging wordt snelheid vaak tangentiële snelheid genoemd.
De relatie tussen snelheid (v) en hoeksnelheid (ω) wordt uitgedrukt door de vergelijking:
v = snelheid (m/s), r = straal of afstand tot de rotatieas (m), ω = hoekfrequentie (rad/s)
Voorbeeldopgave 7:
De snelheid van de tweede naald is 6.28 rad/minuut = 6.28 rad / 60 seconden = 0.1 rad/s. Wat is de snelheid van een punt dat zich op 2 cm (0.02 m) afstand van de rotatieas bevindt?
Oplossing:
ω = 0.1 rad/s, r = 0.02 m
v = r
ω = (0.02 m)(0.1 rad/s) = 0.002 m/s
Verwijder de radialen uit de berekeningsresultaten.
3. Versnelling
Een punt dat in een cirkel beweegt, versnelt als de grootte en richting van de snelheid veranderen. Daarom zijn er twee soorten versnelling bij een cirkelbeweging. Ten eerste de centripetale versnelling (ac ) of ook wel radiale versnelling (ar ) genoemd . Centripetale versnelling treedt op door veranderingen in de snelheidsrichting. De richting van de centripetale versnelling is altijd naar het middelpunt van de cirkel gericht.
De grootte van de centripetale versnelling is:
a c = centripetale versnelling (m/s² ) , r = straal of afstand tot de rotatieas (m), v = snelheid (m/s), ω = hoekfrequentie (rad/s)
Ten tweede, tangentiële versnelling (a t ). Tangentiële versnelling treedt op door veranderingen in de grootte van de snelheid. Bekijk een punt aan de rand van een roterende ventilator. Als de ventilator in eerste instantie stilstaat, staat het punt aan de rand van de ventilator ook stil (v = 0). Als de ventilator een seconde later roteert met een hoeksnelheid van 1 omwenteling/s = 360 ° /s = 6.28 rad/s, dan beweegt het punt aan de rand van de ventilator cirkelvormig met een snelheid van 1.2 m/s.
Het punt aan de rand van de ventilatorwind ondervindt dan een tangentiële versnelling van 1.2 m/ s².
De relatie tussen de tangentiële versnelling (at ) en de hoekversnelling ( α ) wordt uitgedrukt door de vergelijking:
a = tangentiële versnelling (m/s² ) , r = straal of afstand tot de rotatieas (m), α = hoekversnelling (rad/ s² )
Verband tussen periode (T) en frequentie (f) met snelheid en hoeksnelheid
De periode geeft het tijdsinterval aan dat een object nodig heeft om één omwenteling te maken, terwijl de frequentie het aantal omwentelingen per seconde aangeeft. De relatie tussen periode en frequentie wordt uitgedrukt door de vergelijking: f = 1/T
De eenheid van het Internationale Stelsel voor de periode is de seconde, de eenheid van het Internationale Stelsel voor de frequentie is 1/seconde (= hertz). De snelheid (v) en de hoeksnelheid (ω) van cirkelvormig bewegende deeltjes kunnen worden uitgedrukt in perioden of frequenties.
De snelheid (v) van het cirkelvormig bewegende deeltje wordt uitgedrukt door de vergelijking:
De grootte van de hoeksnelheid (ω) van de cirkelvormig bewegende deeltjes wordt uitgedrukt door de vergelijking:
