Projectiel beweging

Artikel over de beweging van een projectiel en voorbeeldopgaven met oplossingen.

Initiële snelheid (v)_o) en de componenten van de beginsnelheid (v_ox en v_oy)

Een object waarvan de parabolische bewegingen altijd een beginsnelheid hebben. Omdat een parabolische beweging een combinatie is van bewegingen in de horizontale en verticale richting, heeft de beginsnelheid ook horizontale en verticale componenten.

Als het object parabolisch beweegt zoals in figuren 1 en 3, dan worden de beginsnelheid in horizontale richting (vox ₎ en de beginsnelheid in verticale richting (voy ₎ berekend met behulp van de volgende vergelijking:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Als het object een parabolische beweging maakt zoals in figuur 2, dan is v _o = v _ox (v _oy = 0).

Snelheid (v)_x en v_y) en positie (x en y)

De snelheid in horizontale en verticale richting over een bepaald tijdsinterval wordt berekend met behulp van de volgende vergelijking:

v _x = v _ox = constant ( parse lineaire beweging )

v _y = v _oy + gt of v _y ² = v _oy ² + 2 gh (vrije valbeweging)

De positie van objecten in de horizontale (x) en verticale (y) richting op een bepaald tijdsinterval wordt berekend met behulp van de volgende vergelijking:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Resultaat van snelheid (v) en positie (h)

De resulterende snelheid op een bepaald tijdsinterval wordt berekend met behulp van de volgende vergelijking:

De richting van objecten op een bepaald tijdsinterval wordt berekend met behulp van de volgende vergelijking:

Opmerkingen:

1. De horizontale component van de parabolische beweging wordt beschouwd als eenparige lineaire beweging, dus vox = vx is altijd constant.

2. De verticale component van de parabolische beweging wordt beschouwd als de vrije val. Als het object een parabolische beweging maakt, zoals in figuren 1 en 3, is de verticale component van de snelheid van het object op maximale hoogte nul (v _y = 0). Als je een knikker rechtop omhoog gooit tot maximale hoogte, staat het object even stil (v _y = 0) voordat het naar beneden draait. Daarom is de snelheid van het object dat de parabolische beweging op maximale hoogte maakt gelijk aan v _x = v _ox.

3. Als het object een parabolische beweging maakt zoals weergegeven in Figuur 2, wordt de verticale component van de parabolische beweging beschouwd als de vrije val. Als het object een parabolische beweging maakt zoals weergegeven in Figuren 1 en 3, wordt de verticale component van de parabolische beweging beschouwd als de opwaartse verticale beweging.

Voorbeelden van opgaven:

1. Een kogel wordt horizontaal afgevuurd met een beginsnelheid van 20 m/s. Als het geweer zich 5 meter boven de grond bevindt, bepaal dan:

(a) tijd in de lucht

(b) de maximale hoogte

(c) de horizontale afstand

(d) de snelheid van de kogel wanneer deze de grond raakt

Oplossing:

Beweging in horizontale richting wordt geanalyseerd als eenparige lineaire beweging, terwijl beweging in verticale richting wordt geanalyseerd als een vrije val.

Bekend:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Tijd in de lucht

De oplossing bestaat uit het bepalen van het tijdsinterval (t) tijdens de vrije val.

Gegevens: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Gezocht: t

b) De maximale hoogte

Maximale hoogte = h = 5 meter.

c) Horizontale afstand (d)

De oplossing is vergelijkbaar met het bepalen van de afstand bij eenparige lineaire beweging.

Gegevens: v _ox = 20 m/s, t = 1 seconde

Gezocht: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Snelheid wanneer de kogel de grond raakt

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Eerst berekenen we de eindsnelheid in verticale richting (vty). De oplossing is vergelijkbaar met het bepalen van de eindsnelheid van een vrije val.

Gegevens: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Gezocht: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 m/s

De snelheid van een kogel wanneer deze de grond raakt:

Richting van de kogel:

Omdat v _tx in de richting van de positieve x-as (naar rechts) wijst en v _ty in de richting van de negatieve y-as (naar beneden),

De richting van de kogel wanneer deze de grond raakt, is -26.1 ^° ten opzichte van de positieve x-as (zie onderstaande afbeelding).

2. Het kanon vuurde een kogel af onder een hoek van 30 ^° ten opzichte van de horizontale met een snelheid van 60 m/s. Bepaal:

(a) de maximale hoogte

(b) de snelheid van de kogel op maximale hoogte

(c) tijd in de lucht

(d) de horizontale afstand

(e) de snelheid van de kogel wanneer deze de grond raakt. Stel dat de grond vlak is. 🙂

Oplossing:

Beweging in horizontale richting wordt geanalyseerd als eenparige lineaire beweging, beweging in verticale richting wordt geanalyseerd als opwaartse verticale beweging.

Gegevens: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Op basis van bekende gegevens berekenen we eerst de verticale (voy ₎ en horizontale (vox ₎ componenten van de beginsnelheid (vo ₎.

a) De maximale hoogte (h)

De oplossing is vergelijkbaar met het bepalen van de maximale hoogte van de opwaartse verticale beweging.

Bekend:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maximale hoogte (h)

De oplossing is vergelijkbaar met het bepalen van de maximale hoogte bij een verticale opwaartse beweging.

Bekend:

v _oy = 30 m/s (dit is de beginsnelheid van de kogel)

v _ty = 0 m/s (Op het hoogste punt is de verticale snelheid van de kogel gelijk aan 0 m/s. Dit is de eindsnelheid.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Gezocht: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 uur

900 = 19.6 uur

u = 900 / 19.6

h = 45.9 meter

De maximale hoogte die de kogel bereikte = 45.9 meter.

b) De snelheid op de maximale hoogte

Op de maximale hoogte is de snelheid in verticale richting gelijk aan 0 m/s. Op de maximale hoogte is er alleen snelheid in horizontale richting. De snelheid in horizontale richting op de maximale hoogte is gelijk aan de beginsnelheid in horizontale richting, namelijk 52.2 m/s. De richting van de snelheid in horizontale richting is altijd constant, dat wil zeggen in de richting van de positieve x-as (als de beweging van een object wordt beschreven in het bovenstaande diagram).

c) Tijd in de lucht

De oplossing is vergelijkbaar met het bepalen van het tijdsinterval (t) in de bespreking van de verticale opwaartse beweging.

Bekend:

v _oy = 30 m/s (dit is de beginsnelheid van de kogel in verticale richting)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (wanneer de kogel terugkeert naar de grond, is de verplaatsing van de kogel in verticale richting = 0 m)

Gezocht: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 ton

t = 30 / 4.9

t = 6.12 seconden

Tijd in de lucht = 6.12 seconden

d) Horizontale afstand (d)

De oplossing is vergelijkbaar met het bepalen van de afstand (d) bij eenparige lineaire beweging.

Bekend:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 seconden

Gezocht: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 seconden) = 319.5 m

e) Snelheid wanneer de kogel de grond raakt

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Eerst berekenen we de eindsnelheid in verticale richting (v _ty ). De oplossing is om de eindsnelheid van de verticale opwaartse beweging te bepalen.

Gevraagd: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 seconden

Gezocht: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Een minteken geeft aan dat de eindsnelheid naar beneden gericht is. Merk op dat de beginsnelheid in verticale richting gelijk is aan de eindsnelheid in verticale richting.

De snelheid van de kogel op het moment dat deze de grond raakt:

De richting van de kogel:

Omdat _vtx in de richting van de positieve x-as (naar rechts) wijst en vty in de richting van de negatieve y-as (naar beneden),

De richting van de snelheid van de kogel wanneer deze de grond raakt, is -30 ^° ten opzichte van de positieve x-as (zie onderstaande afbeelding).

3. Een bal wordt vanaf de rand van een 50 meter hoog gebouw gegooid met een beginsnelheid van 10 m/s. Als de bal onder een hoek van 30° ten opzichte van de horizontale wordt gegooid, bepaal dan:

(a) het tijdsinterval waarin de bal de grond raakt

(b) de snelheid van de bal wanneer deze de grond raakt

(c) de horizontale afstand die de bal kan afleggen, wordt gemeten vanaf de rand van het gebouw

(d) de maximale hoogte die de bal bereikt

Oplossing:

Eerst berekenen we de verticale component (voy ₎ en de horizontale component (vox ₎ van de beginsnelheid (vo ₎.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Tijdsinterval waarin de bal de grond raakt

De oplossing is vergelijkbaar met het bepalen van het tijdsinterval (t) in een verticale opwaartse beweging. De grootte van de vector die naar boven gericht is, wordt positief gekozen, de grootte van de vector die naar beneden gericht is, wordt negatief gekozen. De positie van de bal waar deze wordt gegooid, wordt gekozen als referentiepunt. h is negatief omdat het grondoppervlak zich onder het referentiepunt bevindt, g is negatief omdat de richting van de zwaartekrachtversnelling naar beneden is.

Bekend:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/s ²

Gezocht: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9t² + ^5t + 5 = 0

Gebruik de kwadratische formule:

Tijd in de lucht = tijdsinterval tussen het moment dat de bal werd gegooid en het moment dat hij de grond raakte = 1.64 seconden.

b) Snelheid van de bal wanneer deze het grondoppervlak raakt

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Eerst berekenen we de eindsnelheid in verticale richting (v _ty ). De oplossing is vergelijkbaar met het bepalen van de eindsnelheid bij een verticale opwaartse beweging.

Gegevens: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 seconden

Gezocht: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Het minteken geeft aan dat de eindsnelheid naar beneden gericht is.

De snelheid van de kogel op het moment dat deze de grond raakt:

De richting van de snelheid van de kogel is gelijk aan de richting waarin de kogel beweegt wanneer hij de grond raakt:

De snelheid van de kogel op het moment dat deze de grond raakt:

Omdat vtx in de richting van de positieve x-as (naar rechts) wijst en vty in de richting van de negatieve y-as (naar beneden),

De richting van de kogel wanneer deze de grond raakt, is -52° ten opzichte van de positieve x-as (zie onderstaande afbeelding).

c) De horizontale afstand die de bal kan afleggen, wordt gemeten vanaf de rand van het gebouw.

De oplossing is vergelijkbaar met het bepalen van de afgelegde afstand (d) bij eenparige lineaire beweging.

Gegevens: t = 1.64 seconden, v _x = 8.7 m/s

Gezocht: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) De maximale hoogte die de bal bereikt

Gegevens: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( verticale component van de snelheid op de maximale hoogte = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Gezocht: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ² = -19.6 m/s 2 (h)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = 1.3 meter

De maximale hoogte die de bal bereikt = 1.3 meter boven de bovenkant van het gebouw = 1.3 m + 50 m = 51.3 meter boven het grondoppervlak.