बर्नौलीको सिद्धान्त र समीकरण सामग्री
जब हामी मोटरसाइकल धेरै छिटो चलाउँछौं, हामीले लगाउने लुगा पछाडिको भाग फुल्छ। यदि तपाईं अझै मोटरसाइकल चलाउन सक्नुहुन्न भने, मोटरसाइकल चलाउने आफ्ना आमाबाबु वा साथीहरूलाई ध्यान दिनुहोस्। मोटरसाइकल छिटो चल्दा उनीहरूको लुगाको पछाडिको भाग सामान्यतया पछाडि फुल्छ। कहिलेकाहीँ जब हावा तीव्र गतिमा चल्छ, घरको ढोका आफैं बन्द हुन सक्छ। घर बाहिर हावा चलिरहेको भए पनि, ढोका घर भित्र छ।
यसलाई बर्नौलीको सिद्धान्त प्रयोग गरेर व्याख्या गर्न सकिन्छ। डेनियल बर्नौली (१७००-१७८२) ले माथिका केही कुराहरू व्याख्या गर्न प्रयोग गर्न सकिने सिद्धान्त पत्ता लगाए ।
बर्नौलीको सिद्धान्त
बर्नौलीको सिद्धान्तले बताउँछ कि जहाँ तरल पदार्थको प्रवाह गति उच्च हुन्छ, त्यहाँ तरल पदार्थको चाप कम हुन्छ। यसको विपरीत, यदि तरल पदार्थको प्रवाह गति कम छ भने, चाप उच्च हुन्छ। जब मोटरसाइकल छिटो चल्छ, तपाईंको शरीरको अगाडि र छेउमा हावाको वेग उच्च हुन्छ। यसरी, हावाको चाप कम हुन्छ। तपाईंको शरीरको पछाडिको भाग तपाईंको शरीरको अगाडिको भागले अवरुद्ध हुन्छ, त्यसैले तपाईंको शरीरको पछाडिको हावाको वेग उच्चमा परिवर्तन हुँदैन (तपाईंको शरीरको ठीक पछाडि)। फलस्वरूप, तपाईंको शरीरको पछाडिको हावाको चाप बढी हुन्छ। किनभने हावाको चापमा भिन्नता हुन्छ, जहाँ तपाईंको शरीरको ठीक पछाडिको हावाको चाप बढी हुन्छ, हावाले तपाईंको शर्टलाई पछाडि धकेल्छ, जसले गर्दा यो पछाडिबाट फुलिएको जस्तो देखिन्छ।
बाहिर हावा जोरले चल्दा आफैं बन्द हुने ढोकाको बारेमा के हुन्छ? बाहिरको हावा भित्रको हावा भन्दा छिटो सर्छ। फलस्वरूप, बाहिरको हावाको चाप भित्रको हावाको चाप भन्दा कम हुन्छ। यो चाप भिन्नताको कारणले गर्दा, जहाँ भित्रको हावाको चाप बढी हुन्छ, ढोका बाहिर धकेलिन्छ। अर्को शब्दमा, ढोका उच्च हावाको चाप भएको ठाउँबाट कम हावाको चाप भएको ठाउँमा सर्छ।
बर्नौलीको समीकरण
पहिले, हामीले बर्नौलीको सिद्धान्तको बारेमा सिक्यौं। बर्नौलीले यो सिद्धान्त मात्रात्मक रूपमा पनि विकास गरेका थिए। बर्नौली समीकरण निकाल्नको लागि, हामी स्थिर, ल्यामिनार तरल पदार्थ प्रवाह, असंकुचितता, र कम चिपचिपापन मान्छौं, जसलाई बेवास्ता गर्न सकिन्छ।
निरन्तरता समीकरणको छलफलमा, हामीले सिक्यौं कि तरल पदार्थको प्रवाह दर प्रवाह नलीको क्रस-सेक्शनल क्षेत्रको आधारमा पनि फरक हुन सक्छ। माथि व्याख्या गरिएको बर्नौली सिद्धान्तको आधारमा, तरल पदार्थको प्रवाह दरको आधारमा तरल पदार्थको चाप पनि फरक हुन सक्छ। तरल पदार्थको उचाइको आधारमा तरल पदार्थको चाप पनि फरक हुन सक्छ। दबाब, प्रवाह दर र प्रवाह उचाइ बीचको सम्बन्ध बर्नौली समीकरणबाट प्राप्त गर्न सकिन्छ।
बर्नौली समीकरण धेरै महत्त्वपूर्ण छ किनभने यसलाई विमान उडान, जलविद्युत प्लान्ट, पाइपिङ प्रणाली, आदि विश्लेषण गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ। हामीले निकाल्ने बर्नौली समीकरणलाई सामान्यतया लागू गर्न, हामी तरल पदार्थ असमान क्रस-सेक्शनल क्षेत्रहरू र फरक उचाइहरू भएको प्रवाह ट्यूबबाट बग्छ भनेर मान्नेछौं (तलको चित्र हेर्नुहोस्)। बर्नौली समीकरण निकाल्न, हामी प्रवाह ट्यूब क्षेत्रमा तरल पदार्थमा कार्य र ऊर्जा प्रमेय लागू गर्छौं। अर्को, हामी तरल पदार्थको मात्रा र तरल पदार्थ सार्न गरिएको काम गणना गर्नेछौं।
तस्विरमा रहेको फ्लो ट्यूबमा रहेको अपारदर्शी रङले तरल पदार्थको प्रवाहलाई जनाउँछ भने सेतो रङले तरल पदार्थ नभएको जनाउँछ।
क्रस-सेक्शनल क्षेत्र १ (बायाँ तर्फ) मा रहेको तरल पदार्थले L १ को दूरी बगाउँछ र क्रस-सेक्शनल २ (दायाँ तर्फ) मा रहेको तरल पदार्थलाई L २ को दूरी सार्न बाध्य पार्छ । दायाँ तर्फको क्रस-सेक्शनल क्षेत्र २ सानो भएकोले, प्रवाह ट्यूबको दायाँ तर्फको तरल पदार्थको प्रवाह दर बढी हुन्छ (निरन्तरता समीकरण सम्झनुहोस्)। यसले क्रस-सेक्शन २ (प्रवाह ट्यूबको दायाँ तर्फ) र क्रस-सेक्शन १ (प्रवाह ट्यूबको बायाँ तर्फ) बीचको दबाब भिन्नता निम्त्याउँछ - बर्नौलीको सिद्धान्त सम्झनुहोस्। क्रस-सेक्शन १ को बायाँ तर्फको तरल पदार्थले दायाँ तर्फको तरल पदार्थमा P १ को दबाब दिन्छ र निम्न कार्य गर्दछ:
त्यसपछि समीकरण W १ लाई यसरी लेख्न सकिन्छ:
W १ = p १ A १ L १
क्रस सेक्सन २ (प्रवाह नलीको दायाँ तिर) मा, तरल पदार्थमा गरिएको काम यस प्रकार छ:
W २ = − p २ A २ L २
नकारात्मक चिन्हले संकेत गर्छ कि लागू गरिएको बल गतिको दिशाको विपरीत छ। त्यसैले तरल पदार्थले खण्ड २ को दायाँतिर काम गर्छ। यसको अतिरिक्त, गुरुत्वाकर्षण बलले तरल पदार्थमा पनि काम गर्छ। माथिको अवस्थामा, तरल पदार्थको एक निश्चित पिण्ड खण्ड १ बाट L १ सम्म खण्ड २ सम्म L २ सम्म सारिएको छ, जहाँ खण्ड १ (A १ L १ ) मा तरल पदार्थको आयतन = खण्ड २ (A २ L २ ) मा तरल पदार्थको आयतन हुन्छ । गुरुत्वाकर्षणद्वारा गरिएको काम हो:
W ३ = − मिलीग्राम (h २ − h १ )
W ३ = − mgh २ + mgh १ )
W ३ = mgh १ − mgh २
ऋणात्मक चिन्ह गुरुत्वाकर्षणको दिशाको विपरीत माथितिर बग्ने तरल पदार्थको कारणले हो। यसरी, माथिको चित्रमा देखाइए अनुसार, तरल पदार्थमा गरिएको कुल कार्य यस प्रकार छ:
W = W १ + W २ + W ३
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
कार्य-ऊर्जा प्रमेयले बताउँछ कि प्रणालीमा गरिएको कुल काम यसको गतिज ऊर्जामा भएको परिवर्तन बराबर हुन्छ। यसरी, हामी कार्य (W) लाई गतिज ऊर्जामा भएको परिवर्तनले प्रतिस्थापन गर्न सक्छौं (EK 2 − EK 1 )।
हामी माथिको समीकरणलाई यसरी पुन:लेखन गर्न सक्छौं:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 - EK 1 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
१⁄२ mv २ २ ‐ १⁄२ mv १ २ = P १ A १ L १ ‐ P २ A २ L २ + mgh १ ‐ mgh २
क्रस सेक्सन A 1 मा L 1 को दूरीमा बग्ने तरल पदार्थको द्रव्यमान = L 2 को दूरीमा बग्ने तरल पदार्थको द्रव्यमान (खण्ड A 2 )। तरल पदार्थको द्रव्यमान, मानौं m, A 1 L 1 र A 2 L 2 को आयतन हुन्छ जहाँ A 1 L 1 = A 2 L 2 (L 2 L 1 भन्दा लामो छ ) ।
अब हामी माथिको समीकरणमा m लाई m = ρ AL ले प्रतिस्थापन गर्छौं, वा प्रतिस्थापन गर्छौं:
यो बर्नौली समीकरण हो। हामीले कार्य-ऊर्जा सिद्धान्तको आधारमा बर्नौली समीकरण निकालेका हौं, त्यसैले यो ऊर्जा संरक्षणको नियमको एक रूप हो।
जानकारी:
P = चाप
ρ = तरल पदार्थको घनत्व
v = तरल पदार्थ प्रवाह वेग
g = गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने त्वरण
h = जमिनको सतहबाट प्रवाह ट्यूब/पाइपको उचाइ
माथिको बर्नौली समीकरणको बायाँ र दायाँ पक्षहरूले प्रवाह ट्यूबको साथमा कुनै पनि दुई बिन्दुहरूलाई जनाउन सक्छन् त्यसैले हामी माथिको समीकरणलाई यसरी पुन: लेख्न सक्छौं:
यो समीकरणले बताउँछ कि समीकरणमा रहेका परिमाणहरूको कुल योगफलको मान प्रवाह ट्यूबभरि समान हुन्छ।
अब केही केसहरूको लागि बर्नौलीको समीकरणको समीक्षा गरौं।
आराममा तरल पदार्थको लागि बर्नौलीको समीकरण
बर्नौलीको समीकरणको एउटा विशेष अवस्था आराममा रहेको तरल पदार्थ (स्थिर तरल पदार्थ) को हो। जब तरल पदार्थ आराममा हुन्छ, यसको कुनै वेग हुँदैन। यसरी, v 1 = v 2 = 0। आराममा रहेको तरल पदार्थको अवस्थामा, बर्नौलीको समीकरणलाई यसरी तयार गर्न सकिन्छ:
यदि h 2 − h 1 = h हो भने, यो समीकरणलाई यसरी लेख्न सकिन्छ:
p १ − p २ = ρ g (h २ − h १ )
p १ − p २ = ρ घ
समान उचाइका प्रवाह ट्यूबहरू वा पाइपहरूको लागि बर्नौलीको समीकरण
यदि प्रवाह ट्यूब वा पाइपको उचाइ समान छ भने, बर्नौली समीकरण निम्नमा परिवर्तन हुन्छ:
