निरन्तरता समीकरण सामग्री
धाराबाट निस्किरहेको पानीको प्रवाहलाई हेर्दै पानीको धारालाई बिस्तारै खोल्ने प्रयास गर्नुहोस्। धारा घुम्न बन्द भएपछि, आफ्नो हातले धारालाई आंशिक रूपमा बन्द गर्नुहोस्। अब कुन पानीको प्रवाह बढी छ भनेर तुलना गर्नुहोस्। आंशिक रूपमा बन्द वा बन्द हुँदा? यदि तपाईंसँग फूलहरूलाई पानी दिन प्रयोग गरिने नली छ भने, त्यसबाट पानी बग्न दिनुहोस्। आफ्नो हात वा औंलाले नलीलाई आंशिक रूपमा बन्द गर्नुहोस्। जति धेरै भाग बन्द हुन्छ, पानी त्यति नै छिटो बाहिर निस्कनेछ। यसको विपरीत, यदि नली बन्द गरिएको छैन भने, पानी कम छिटो बग्नेछ। यो किन हो? यो बुझ्नको लागि, कृपया निरन्तरता समीकरण अध्ययन गर्नुहोस्।
स्ट्रिमलाइन र फ्लो ट्यूबहरू
पहिले, स्ट्रिमलाइन र फ्लो ट्यूबको अवधारणा बुझौं। यो अवधारणा महत्त्वपूर्ण छ किनभने यसले तपाईंलाई निरन्तरता समीकरण बुझ्न मद्दत गर्नेछ।
स्ट्रिम लाइन
तलको तस्बिर हेर्नुहोस्, नीलो रेखा स्ट्रिमलाइन हो।
स्थिर प्रवाहमा, बिन्दु A मा प्रत्येक तरल पदार्थको कणको गति स्थिर रहन्छ। बिन्दु B बाट गुज्रँदा, तरल पदार्थको कणको गति परिवर्तन हुन सक्छ। यद्यपि, बिन्दु B मा आइपुगेपछि, पछाडिबाट आउने तरल पदार्थका कणहरू अघिल्ला तरल पदार्थका कणहरू जस्तै गतिमा बग्न जारी रहन्छन्। बिन्दु C मा आइपुग्दा पनि यही कुरा लागू हुन्छ, र यस्तै। स्ट्रिमलाइन भनेको बिन्दु A, B र C लाई जोड्ने वक्र हो।
प्रवाह ट्यूब
मूलतः, हामी तरल पदार्थ प्रवाहको प्रत्येक बिन्दुबाट प्रत्येक स्ट्रिमलाइन तान्न सक्छौं। यदि हामीले स्थिर तरल पदार्थ प्रवाहलाई विचार गर्यौं भने, काल्पनिक सतह क्षेत्र (काल्पनिक सतह क्षेत्र) मा एक निश्चित कोणबाट गुज्रने धेरै स्ट्रिमलाइनहरूले प्रवाह ट्यूब बनाउँछन्। कुनै पनि तरल पदार्थ कणहरू एकअर्कालाई काट्दैनन् तर सधैं समानान्तर हुन्छन्, र प्रवाह ट्यूब सधैं समान आकार भएको पाइप जस्तो देखिन्छ। ट्यूबको एक छेउमा प्रवेश गर्ने तरल पदार्थ अर्को छेउमा ट्यूबबाट बाहिर निस्कन्छ।
डेबिट
डिस्चार्जले निश्चित समय अन्तरालमा निश्चित क्रस-सेक्शनबाट बग्ने तरल पदार्थको आयतनलाई जनाउँछ। गणितीय रूपमा, यसलाई निम्न रूपमा व्यक्त गर्न सकिन्छ:
तपाईंको बुझाइलाई अझ राम्रो बनाउन, एउटा उदाहरण प्रयोग गरौं। मानौं एउटा तरल पदार्थ पाइपबाट बग्छ। पाइपहरू सामान्यतया बेलनाकार हुन्छन् र तिनीहरूको एक विशिष्ट क्रस-सेक्शनल क्षेत्र हुन्छ। पाइपको लम्बाइ पनि हुन्छ।
जब तरल पदार्थ पाइपमा L सम्म बग्छ, तब पाइपमा तरल पदार्थको आयतन V = AL हुन्छ (V = तरल पदार्थको आयतन, A = क्रस-सेक्शनल क्षेत्र र L = पाइप लम्बाइ)। किनभने पाइपमा L मार्फत प्रवाह गर्दा तरल पदार्थ निश्चित समय अन्तरालमा यात्रा गर्छ, तब हामी भन्न सक्छौं कि तरल पदार्थको डिस्चार्जको परिमाण यो हो:
किनभने v = s/t = L/t —> L = vt, माथिको समीकरण निम्नमा परिवर्तन गरिएको छ:
यसरी, जब तरल पदार्थ निश्चित समय अन्तरालको लागि निश्चित क्रस-सेक्शनल क्षेत्र र लम्बाइ भएको पाइपबाट बग्छ, तरल पदार्थको डिस्चार्ज (Q) को परिमाण तरल पदार्थको प्रवाह वेग (v) ले गुणन गर्दा क्रस-सेक्शनल सतह क्षेत्र (A) बराबर हुन्छ।
निरन्तरता समीकरण
तलको चित्रमा देखाइए अनुसार फरक व्यास भएको पाइपमा तरल पदार्थको प्रवाहलाई विचार गर्नुहोस्।
यो तस्बिरले बायाँबाट दायाँतिर तरल पदार्थको प्रवाह देखाउँछ (ठूलो व्यास भएको पाइपबाट सानो व्यास भएको पाइपमा तरल पदार्थको प्रवाह)। थोप्ला भएका रेखाहरू स्ट्रिमलाइनहरू हुन्।
छवि क्याप्सन: A 1 = ठूलो व्यासको पाइप खण्डको क्रस-सेक्शनल क्षेत्र, A 2 = सानो व्यासको पाइप खण्डको क्रस-सेक्शनल क्षेत्र, v 1 = ठूलो व्यासको पाइप खण्डमा तरल पदार्थ प्रवाह वेग, v 2 = सानो व्यासको पाइप खण्डमा तरल पदार्थ प्रवाह वेग, L = तरल पदार्थले यात्रा गरेको दूरी।
तरल गतिशीलताको परिचयमा, यो व्याख्या गरिएको थियो कि तरल गतिशीलतामा, हामी असंकुचित, गैर-चिसो, गैर-अस्थिर, र स्थिर तरल पदार्थको प्रवाहको बारेमा छलफल गर्छौं। स्थिर प्रवाहमा, एक बिन्दुमा तरल पदार्थ कणहरूको गति त्यो बिन्दुबाट गुज्रने अन्य तरल पदार्थ कणहरूको गति जस्तै हुन्छ। तरल पदार्थको प्रवाहले पनि एकअर्कालाई काट्दैन (स्ट्रीमलाइनहरू समानान्तर हुन्छन्)। त्यसकारण, पाइपको एक छेउमा प्रवेश गर्ने तरल पदार्थको द्रव्यमान अर्को छेउबाट निस्कने तरल पदार्थको द्रव्यमान बराबर हुनुपर्छ। यदि निश्चित द्रव्यमान भएको तरल पदार्थ ठूलो व्यास भएको पाइपमा प्रवेश गर्छ भने, तरल पदार्थ स्थिर द्रव्यमान भएको सानो व्यास भएको पाइपबाट बाहिर निस्कन्छ।
अब, माथिको पाइपको तस्वीर हेर्नुहोस्। ठूलो व्यास भएको पाइपको भाग र सानो व्यास भएको पाइपको भाग हेर्नुहोस्।
निश्चित समय अन्तरालमा, ठूलो व्यास (A) भएको पाइपको खण्डबाट निश्चित मात्रामा तरल पदार्थ बग्छ।1) जहाँसम्म L1 (L1 = v1 t) बग्ने तरल पदार्थको आयतन V हो1 = क1 L1 = क1 v1 t. सोही समय अन्तरालमा, सानो व्यास (A) भएको पाइपको खण्डबाट अर्को मात्रामा तरल पदार्थ बग्छ।2) जहाँसम्म L2 (L2 = v2 t) बग्ने तरल पदार्थको आयतन V हो2 = क2 L2 = क2 v2 t.
असंकुचित तरल पदार्थहरूको लागि निरन्तरता समीकरण (असंकुचनीय)
पहिला, एउटा असंकुचित तरल पदार्थको मामलालाई विचार गरौं। असंकुचित तरल पदार्थमा, तरल पदार्थको घनत्व, वा द्रव्यमान, यो पार हुने हरेक बिन्दुमा सधैं समान हुन्छ। निश्चित समय अन्तरालमा क्रस-सेक्शनल क्षेत्र A1 ( पाइपको ठूलो व्यास) भएको पाइपमा बग्ने तरल पदार्थको द्रव्यमान हो:
त्यस्तै गरी, निश्चित समय अन्तरालमा A 2 (सानो पाइप व्यास) को क्रस-सेक्शनल क्षेत्रफल भएको पाइपमा बग्ने तरल पदार्थको द्रव्यमान निम्न हुन्छ:
स्थिर प्रवाहमा, प्रवेश गर्ने तरल पदार्थको द्रव्यमान बाहिर निस्कने तरल पदार्थको द्रव्यमान बराबर हुन्छ भन्ने कुरालाई विचार गर्दा:
m १ = m २
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (तरल पदार्थको घनत्व र समय अन्तराल समान छन् त्यसैले तिनीहरू रद्द हुन्छन्)
A १ v १ = A २ v २
त्यसैले, असंकुचित तरल पदार्थहरूमा, निरन्तरता समीकरण लागू हुन्छ:
A १ v १ = A २ v २ — समीकरण १
जानकारी:
A 1 = क्रस-सेक्शनल क्षेत्र 1, A 2 = क्रस-सेक्शनल क्षेत्र 2, v 1 = क्रस-सेक्शन 1 मा तरल पदार्थ प्रवाह वेग, v 2 = क्रस-सेक्शन 2 मा तरल पदार्थ प्रवाह वेग, A v = आयतन प्रवाह दर V/t उर्फ डिस्चार्ज
समीकरण १ ले देखाउँछ कि भोल्युम प्रवाह दर, जसलाई डिस्चार्ज पनि भनिन्छ, पाइप वा फ्लो ट्यूबको प्रत्येक बिन्दुमा सधैं समान हुन्छ। पाइप क्रस-सेक्शन घट्दै जाँदा, तरल पदार्थ प्रवाह दर बढ्छ; यसको विपरीत, पाइप क्रस-सेक्शन बढ्दै जाँदा, तरल पदार्थ प्रवाह दर घट्छ।
जब हामी नल आंशिक रूपमा प्लग गर्छौं, पानीको प्रवाह नल आंशिक रूपमा बन्द भएको भन्दा छिटो हुन्छ। यो किनभने नल आंशिक रूपमा बन्द हुँदा नलको क्रस-सेक्शनल क्षेत्र घट्छ, जसले गर्दा पानीको प्रवाह दर बढ्छ (तरल पदार्थ छिटो बग्छ)। नलीहरूको लागि पनि यही कुरा सत्य हो। यद्यपि, यो ध्यान दिनु महत्त्वपूर्ण छ कि नल आंशिक रूपमा बन्द भए पनि वा नभए पनि, पानीको प्रवाहको सबै बिन्दुहरूमा डिस्चार्ज वा भोल्युमेट्रिक प्रवाह दर उस्तै रहन्छ। त्यसोभए, तरल पदार्थको प्रवाह दरमा के परिवर्तन हुन्छ भन्ने कुरा हो।
त्यसो भए नदीमा पानीको प्रवाह कस्तो हुन्छ? नदीको गहिरो भागहरूमा उथले खण्डहरू भन्दा ठूलो क्रस-सेक्शन हुन्छ, त्यसैले गहिरो भागहरूमा पानीको प्रवाहको दर उथले खण्डहरू भन्दा कम हुन्छ। यदि तपाईंले नदी धेरै शान्त रूपमा बगिरहेको देख्नुभयो भने, यसको अर्थ नदी गहिरो छ। तर यदि नदी अचानक द्रुत गतिमा बग्छ भने, त्यो खण्ड निश्चित रूपमा उथले छ। यद्यपि, पानीको मात्रा प्रवाहको दर सधैं उस्तै हुन्छ, चाहे नदीको गहिरो होस् वा शान्त खण्डहरूमा।
संकुचनयोग्य तरल पदार्थहरूको लागि निरन्तरता समीकरण (संकुचन गर्न सकिने)
संकुचित तरल पदार्थको हकमा , तरल पदार्थको घनत्व सधैं समान हुँदैन। अर्को शब्दमा, संकुचित गर्दा तरल पदार्थको घनत्व परिवर्तन हुन्छ। असंकुचित तरल पदार्थमा , तरल पदार्थको घनत्व समीकरणबाट हटाइन्छ, यस अवस्थामा, तरल पदार्थको घनत्व अझै पनि समावेश हुन्छ। पहिले व्युत्पन्न समीकरणलाई सन्दर्भ गर्दै, संकुचित तरल पदार्थको समीकरण निकालौं।
स्थिर प्रवाहमा, प्रवेश गर्ने तरल पदार्थको द्रव्यमान बाहिर निस्कने तरल पदार्थको द्रव्यमान बराबर हुन्छ भन्ने कुरालाई विचार गर्दा:
m १ = m २
ρ A १ v १ t = ρ A २ v २ t
तरल पदार्थको प्रवाहको समय अन्तराल उस्तै हुन्छ त्यसैले यसलाई हटाउन सकिन्छ। समीकरण परिवर्तन हुन्छ:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → समीकरण 2
यो संकुचित तरल पदार्थको समीकरण हो। तरल पदार्थको घनत्वमा मात्र भिन्नता छ। जब तरल पदार्थ संकुचित हुन्छ, यसको घनत्व परिवर्तन हुन्छ। यसको विपरीत, जब तरल पदार्थ संकुचित हुँदैन, यसको घनत्व स्थिर रहन्छ र यसलाई रद्द गर्न सकिन्छ।
उदाहरण प्रश्न २:
१० सेन्टिमिटर व्यास भएको पाइपबाट पानी २ मिटर/सेकेन्डको गतिमा बग्छ। पानीको निकास कति हो?
छलफल
यो ज्ञात छ कि:
पाइपको व्यास = १० सेमी (यो पाइपको भित्री व्यास हो)
पाइप (r) को त्रिज्या = ५ सेमी = ०.०५ मिटर
v पानी = २ m/s
सोधियो: डेबिट
उत्तरहरू:
Q = A v
Q = ( π r २ ) (२ m/s)
Q = (३.१४)(०.०५ मिटर) २ (२ मिटर/सेकेन्ड)
Q = (३.१४)(०.००२५ मिटर २ )(२ मिटर/सेकेन्ड)
Q = ०.०१५७ m ३ / सेकेन्ड
उदाहरण प्रश्न २:
२० सेमी व्यास भएको पानीको पाइप १० सेमी व्यास भएको अर्को पाइपसँग जोडिएको छ। यदि २० सेमी व्यासको पाइपमा पानीको प्रवाह दर = ४ मिटर/सेकेन्ड छ भने, १० सेमी व्यासको पाइपमा पानीको प्रवाह दर कति हुन्छ?
छलफल
यो ज्ञात छ कि:
व्यास १ = २० सेमी (r १ = १० सेमी = ०.१ मिटर)
v २ = १६ मिटर/सेकेन्ड
व्यास २ = १० सेमी (r २ = ५ सेमी = ०.०५ मिटर)
सोधिएको: v १
उत्तरहरू:
प्रश्न १ = प्रश्न २
A १ v १ = A २ v २
( π r 12 ) ( 4 m/s) = ( π r 22 ) ( v 2 )
(०.१ मिटर) २ (४ मिटर/सेकेन्ड) = (०.०५ मिटर) २ (व २ )
(०.०१ मिटर २ )(४ मिटर/सेकेन्ड) = (०.००२५ मिटर २ )(v २ )
(०.०४ मिटर ३ /सेकेन्ड) = (०.००२५ मिटर २ )(v २ )
v २ = १६ मिटर/सेकेन्ड
