एकाइ भेक्टर कम्पोनेन्टहरू प्रयोग गरेर डट गुणन सामग्री
यदि हामीलाई भेक्टर A र B (ज्ञात भेक्टरहरू) को x, y र z कम्पोनेन्टहरू थाहा छ भने हामी सिधै स्केलर गुणन गणना गर्न सक्छौं ।
यसरी डट गुणन गर्न, हामी पहिले एकाइ भेक्टरहरूको डट गुणन प्रदर्शन गर्छौं, त्यसपछि हामी भेक्टर A र B लाई तिनीहरूका घटकहरूमा व्यक्त गर्छौं, गुणनलाई विघटन गर्छौं र एकाइ भेक्टरहरूको गुणन प्रयोग गर्छौं।
एकाइ भेक्टरहरू i , j, र k एकअर्कासँग लम्ब छन्, जसले गर्दा गणना सजिलो हुन्छ। माथि निकालिएको स्केलर गुणन समीकरण ( AB = AB cos theta ) प्रयोग गरेर, हामी प्राप्त गर्छौं:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos ० = १
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
अब हामी भेक्टर A र B लाई तिनीहरूका घटकहरूको हिसाबले व्यक्त गर्छौं, तिनीहरूको गुणनफललाई विघटन गर्छौं र एकाइ भेक्टरहरूको गुणनफल प्रयोग गर्छौं।
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
करेना i . i = j . j = k . k = १ र i . j = i . k = j . k = ०, त्यसपछि:
A . B = AxBx (साँझ ६:३० बजे) + AxBy (साँझ ६:३० बजे) + Ax Bz (0) +
AyBx (साँझ ६:३० बजे) + AyBy (साँझ ६:३० बजे) + AyBz (0) +
AzBx (साँझ ६:३० बजे) + AzBy (साँझ ६:३० बजे) + AzBz (1)
क . ख = क x ख x (१) + ० + ० +
० + क व ब वाई (१) + ० +
० + ० + ए जेड बी जेड (१)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
यस गणनाको नतिजाको आधारमा, यो निष्कर्षमा पुग्न सकिन्छ कि दुई भेक्टरहरूको स्केलर गुणन वा डट गुणन तिनीहरूको समान घटकहरूको उत्पादनहरूको योगफल हो।
उदाहरण प्रश्न १:
ठूलो भेक्टर A दान B तलको चित्रमा देखाइए अनुसार क्रमशः ५ र ४ छन्। बनेको कोण ९० छo। गणना गर्नुहोस् डट उत्पादन दुबै भेक्टरहरू।
छलफल
A र B भेक्टरहरूको डट गुणन गणना गर्नु अघि, हामीले पहिले दोस्रो भेक्टरको घटकहरू जान्न आवश्यक छ।
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = ०
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
ख z = ०
भेक्टर A मा x-अक्षमा मात्र भेक्टर कम्पोनेन्टहरू हुन्छन् र भेक्टर B मा y-अक्षमा मात्र भेक्टर कम्पोनेन्टहरू हुन्छन्। z कम्पोनेन्ट शून्य हुन्छ किनभने भेक्टर A र B xy समतलमा हुन्छन्।
अब हामी कम्पोनेन्ट भेक्टरहरूसँग डट उत्पादन समीकरण प्रयोग गरेर भेक्टर A र B बीचको डट गुणन गणना गर्छौं :
A ख = कx Bx + AyBy + AzBz
क . ख = (५) (०) + (०) (४) + ०
A. B = ० + ० + ०
क. ख = ०
यसलाई पहिलो विधिसँग तुलना गरौं।
AB = AB कोस थीटा
AB = (4)(5) कारण ९०
AB = (४) (५) (०)
एबी = ०
नतिजा उस्तै छ।
उदाहरण प्रश्न १:
ठूलो भेक्टर A दान B तलको चित्रमा देखाइए अनुसार क्रमशः ५ र ४ छन्। गणना गर्नुहोस् डट उत्पादन यदि बनाइएको कोण ३० छ भने दुवै भेक्टरहरूo
छलफल
A र B भेक्टरहरूको डट गुणन गणना गर्नु अघि, हामीले पहिले दोस्रो भेक्टरको घटकहरू जान्न आवश्यक छ।
A र B भेक्टरहरू xy समतलमा भएकोले z घटक शून्य छ ।
अब हामी कम्पोनेन्ट भेक्टरहरूसँग डट उत्पादन समीकरण प्रयोग गरेर भेक्टर A र B बीचको डट गुणन गणना गर्छौं :
पहिलो विधिसँग तुलना गर्नुहोस्।
