परिभ्रमण गतीशास्त्राच्या प्रश्नांची ११ उदाहरणे
शैलीचा क्षण
१. एक अतिशय हलकी कांडी, १४० सेमी लांब. कांडीवर F1 = २० न्यूटन, F2 = १० न्यूटन, आणि F3 = ४० न्यूटन अशी तीन बले कार्यरत आहेत, ज्यांची दिशा आणि स्थान आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे आहे. कांडीला तिच्या वस्तुमान केंद्राभोवती फिरवणाऱ्या बलाच्या परिबलाचे परिमाण... आहे.
अ. १५ नॉटिकल मैल
बी. १८ नॉटिकल मैल
सी. ३५ एनएम
डी. ५३ एनएम
ई. ६८ नॉटिकल मैल
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
दांड्याचे वस्तुमान केंद्र दांड्याच्या मध्यभागी असते.
दांड्याची लांबी (l) = 140 सेमी = 1,4 मीटर
बल ३ (F 1 ) = ४० न्यूटन, बल भुजा ३ (l 1 ) = ७० सेमी = ०.७ मीटर
बल २ (F 2 ) = १० न्यूटन, बल २ ची भुजा (l 2 ) = १०० सेमी – ७० सेमी = ३० सेमी = ०.३ मीटर
बल ३ (F 3 ) = ४० न्यूटन, बल भुजा ३ (l 3 ) = ७० सेमी = ०.७ मीटर
प्रश्न: दांड्याला त्याच्या वस्तुमान केंद्राभोवती फिरवणाऱ्या बलाच्या परिबलाचे परिमाण किती आहे?
उत्तर :
बल 1 च्या परिबलामुळे दांडा घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने फिरतो. म्हणून, बल 1 चे परिबल ऋण आहे.
τ 1 = F 1 l 1 = (20 N)(0,7 m) = -14 N m
बल २ च्या परिबलामुळे दांडा घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने फिरतो. म्हणून, बल २ चे परिबल धन आहे.
τ 2 = F 2 l 2 = (10 N)(0,3 m) = 3 N m
बल 3 च्या परिबलामुळे दांडा घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने फिरतो. म्हणून, बल 3 चे परिबल ऋण आहे.
τ 3 = F 3 l 3 = (40 N)(0,7 m) = -28 N m
परिणामी बल परिबल:
Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm
बलाच्या परिबलाचे परिमाण ३९ न्यूटन मीटर आहे. ऋण चिन्हाचा अर्थ असा आहे की दांडा घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने फिरतो.
योग्य उत्तर B आहे.
२. AB दांडा, ज्याचे वस्तुमान दुर्लक्षित केले आहे, क्षैतिज स्थितीत ठेवला आहे आणि आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे त्यावर तीन बले कार्यरत आहेत. दांड्याला D बिंदूवर अक्षाभोवती फिरवल्यावर त्यावर कार्यरत असलेल्या बलांची परिणामी क्षण … (sin 53 o = 0,8)
अ. १०,००० न्यूटन मीटर
बी. १५,००० न्यूटन मीटर
सी. ३०,००० एन मीटर
डी. ६०,००० एन मीटर
ई. ९०,००० एन मीटर
चर्चा
हे ज्ञात आहे की :
परिभ्रमणाचा अक्ष किंवा आधारबिंदू D या बिंदूवर आहे.
F 1 = 10 N आणि l 1 = r 1 sin θ = (40 cm)(sin 53 o ) = (0,4 m)(0,8) = 0,32 मीटर
F 2 = 10√2 N आणि l 2 = r 2 sin θ = (20 cm)(sin 45 o ) = (0,2 m)(0,5√2) = 0,1√2 मीटर
F 3 = 20 N आणि l 3 = r 1 sin θ = (10 cm)(sin 90 o ) = (0,1 m)(1) = 0,1 मीटर
विचारले : बलाचा परिणामी क्षण
उत्तर :
τ 1 = F 1 l 1 = (10 N)(0,32 m) = 3,2 Nm
(सकारात्मक कारण बलाच्या या क्षणामुळे ठोकळा घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने फिरतो)
τ 1 = F 2 l 2 = (10√2 N)( 0,1√2 m) = -2 Nm
(नकारात्मक, कारण या बलाच्या क्षणामुळे ठोकळा घड्याळाच्या दिशेने फिरतो)
τ 1 = F 2 l 2 = (20 N)(0,1 m) = 2 Nm
(सकारात्मक कारण बलाच्या या क्षणामुळे ठोकळा घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने फिरतो)
परिणामी बल परिबल:
Στ = τ 1 – τ 1 + τ 3
Στ = 3,2 Nm – 2 Nm + 2 Nm
Στ = 3,2 Nm
योग्य उत्तर D आहे.
३. AB दांडा, ज्याचे वस्तुमान दुर्लक्षित केले आहे, क्षैतिज स्थितीत ठेवला आहे आणि आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे त्यावर तीन बले कार्यरत आहेत. दांड्याला D बिंदूवर अक्षाभोवती फिरवल्यावर त्यावर कार्यरत असलेल्या बलांची परिणामी क्षण… (sin 53 o = 0,8)
अ. १५ नॉटिकल मैल
बी. १८ नॉटिकल मैल
सी. ३५ एनएम
डी. ५३ एनएम
ई. ६८ नॉटिकल मैल
चर्चा
हे ज्ञात आहे की :
परिभ्रमणाचा अक्ष D येथे आहे.
F1 आणि परिभ्रमणाचा अक्ष (r AD ) यामधील अंतर = 40 सेमी = 0,4 मीटर
F 2 आणि परिभ्रमणाचा अक्ष (r BD ) यामधील अंतर = 20 सेमी = 0,2 मीटर
F3 आणि परिभ्रमणाच्या अक्षामधील अंतर (r CD ) = 10 सेमी = 0,1 मीटर
F 1 = ५० न्यूटन
F 2 = 10√2 न्यूटन
F 3 = ५० न्यूटन
Sin 53 o = 0,8
प्रश्न : जर दांडा D बिंदूवर अक्षावर फिरवला तर परिणामी बलाची क्षणिक शक्ती किती असेल?
उत्तर :
प्रत्येक बलाने निर्माण केलेल्या बलाच्या क्षणाची गणना करा.
बलाचा क्षण १
Στ 1 = (F 1 )(r AD sin 53 o ) = (10 N)(0,4 m)(0,8) = 3,2 Nm
बल २ चा क्षण धन आहे कारण बल २ च्या क्षणामुळे दांड्याच्या फिरण्याची दिशा घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने आहे.
बलाचा क्षण १
Στ 2 = (F 2 )(r BD sin 45 o ) = (10√2 N)(0,2 m)(0,5√2) = -2 Nm
बल 2 ची घूर्णन शक्ती ऋण आहे कारण बल 2 च्या घूर्णन शक्तीमुळे दांड्याच्या फिरण्याची दिशा घड्याळाच्या काट्यांच्या फिरण्याच्या दिशेसारखीच आहे.
बलाचा क्षण १
Στ 3 = (F 3 )(r CD sin 90 o ) = (20 N)(0,1 m)(1) = 2 Nm
बल २ चा क्षण धन आहे कारण बल २ च्या क्षणामुळे दांड्याच्या फिरण्याची दिशा घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने आहे.
परिणामी बल क्षण
Στ = Στ 1 + Στ 2 + Στ 3
Στ = 3,2 – 2 + 2
Στ = ३.२ न्यूटन मीटर
योग्य उत्तर D आहे.
जडत्वाचा क्षण
४. तारेने जोडलेल्या दोन चेंडूंच्या प्रतिमेचा विचार करा. तारेची लांबी = १२ मी, l₁ = ४ मी आणि तारेचे वस्तुमान दुर्लक्षित केले आहे, म्हणून प्रणालीच्या जडत्व परिबलाचे परिमाण…
अ. १२५० किलोग्रॅम मीटर2
बी. ४ किलोग्रॅम प्रति मीटर २
C. 34,6 kg m 2
डी. १२ किलोग्रॅम प्रति मीटर २
ई. १६ किलोग्रॅम प्रति मीटर २
चर्चा
हे ज्ञात आहे की :
चेंडू A चे वस्तुमान (m A ) = २ किलोग्रॅम
चेंडू B चे वस्तुमान (m B ) = ५ किलोग्रॅम
चेंडू A आणि परिभ्रमणाचा अक्ष यांच्यातील अंतर (r A ) = ४ मीटर
चेंडू B आणि परिभ्रमणाचा अक्ष यांमधील अंतर (r B ) = 12 – 4 = 8 मीटर
प्रश्न : प्रणालीचा जडत्वाचा क्षण (I)
उत्तर :
चेंडू A चा जडत्वाचा क्षण
I A = (m A )(r A 2 ) = (0,2)(4) 2 = (0,2)(16) = 3,2 kg m 2
चेंडू B चा जडत्वाचा क्षण
I B = (m B )(r B 2 ) = (0,6)(8) 2 = (0,6)(64) = 38,4 kg m 2
कण प्रणालीचा जडत्वाचा क्षण :
I = I A + I B = 3,2 + 38,4 = 41,6 kg m 2
योग्य उत्तर B आहे.
न्यूटनचा परिवलन गतीचा दुसरा नियम
५. बाजूला दिलेल्या एकसंध भरीव चाकाच्या चित्राकडे पहा. चाकाच्या कडेभोवती एक दोरी गुंडाळली आहे आणि नंतर दोरीचे टोक ६ न्यूटनच्या F बलाने ओढले जाते. जर चाकाचे वस्तुमान ५ किलोग्रॅम आणि त्रिज्या २० सेमी असेल, तर चाकाचे कोनीय त्वरण किती असेल…
अ. ०.१२ रॅड से-2
बी. १.२ रॅड से –२
C. 3,0 rad s –2
डी. ६.० रॅड से –२
ई. १२.० रॅड से –२
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
ताण बल (F) = ६० न्यूटन
चाकाचे वस्तुमान (M) = ५ किलो
चाकाची त्रिज्या (R) = 20 सेमी = 20/100 मीटर = 0,2 मीटर
प्रश्न: चाकाचे कोनीय त्वरण (α)
उत्तर :
बलाच्या परिबलाची गणना करा:
τ = FR = (6 न्यूटन)(0,2 मीटर) = 1,2 न्यूटन मीटर
जडत्व परिबल मोजा:
डिस्क किंवा प्लेटच्या स्वरूपातील भरीव चाकाच्या जडत्वाच्या क्षणाचे सूत्र 1/2 MR 2 = 1/2 (5 kg)(0,2 m) 2 = 1/2 (5 kg)(0,04 m 2 ) = 1/2 (0,2) = 0,1 kg m 2 आहे.
परिभ्रमण गतिकीच्या सूत्राचा वापर करून कोनीय त्वरणाची गणना करा:
τ = मी α
α = τ / I = 1,2 / 0,1 = 12 rad s -2
योग्य उत्तर E आहे.
६. ८ किलो वस्तुमान आणि १० सेमी त्रिज्या असलेली एक भरीव चकती कप्पी, एका टोकाला ४ किलो वजनाचा भार (g = १० ms⁻² ) बांधलेल्या दोरीच्या काठाला गुंडाळलेली आहे . भाराच्या खालील दिशेच्या गतीचे त्वरण...
अ. १ मिलिसेकंद –१
बी. २ एमएस –१
सी. ३ एमएस –१
डी. ५ एमएस –१
ई. १७ एमएस –१
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
भरीव डिस्क पुलीचे वस्तुमान (मी) = ८ किलो
भरीव चकती कप्पीची त्रिज्या (r) = 10 सेमी = 0,1 मीटर
भाराचे वस्तुमान (मी) = २ किलो
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ s²
भाराचे वजन (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ) = 40 kg m/s² = 40 न्यूटन
प्रश्न: भाराच्या खालील गतीचे त्वरण
उत्तर :
एका भरीव तबकडीच्या जडत्व परिबलाची गणना करा:
I = 1/2 MR 2 = 1/2 (8 kg)(0,1 m) 2 = (4 kg)(0,01 m 2 ) = 0,04 kg m 2
बलाच्या परिबलाची गणना करा:
τ = F r = (40 N)(0,1 m) = 4 Nm
परिभ्रमण गतीसाठी न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाच्या सूत्राचा वापर करून कोनीय त्वरणाची गणना करा:
Στ = I α
१० = २ अल्फा
α = 4 / 0,04 = 100
भाराच्या खालील दिशेतील गतीचे त्वरण काढा:
a = r α = (0,1)(100) = 10 m/s 2
योग्य उत्तर C आहे.
७. चित्रात दाखवल्याप्रमाणे वस्तुमान (M) आणि त्रिज्या (R) असलेली एक भरीव कप्पी! एका वस्तुमानरहित दोरीचे एक टोक कप्पीभोवती गुंडाळलेले आहे, दोरीच्या दुसऱ्या टोकाला m किलोग्रॅमचा भार टांगलेला आहे, जर भार सोडला तर कप्पीचे कोनीय त्वरण (α) किती असेल. जर १/२ M वस्तुमानाचा प्लॅस्टिकिनचा तुकडा A कप्पीला जोडला, तर तेच कोनीय त्वरण निर्माण करण्यासाठी भाराचे त्वरण वाढवावे लागेल…. (कप्पी = १/२ MR² )
अ. ३/४ मी किलोग्रॅम
बी. ३/२ मी किलो
सी. २ मी किलोग्रॅम
डी. ३ मी किलो
ई. ४ मी किलो
चर्चा
हे ज्ञात आहे की :
भाराचे वस्तुमान = मीटर
भाराचे वजन = w = mg
भरीव कप्पीचे वस्तुमान = M
भरीव कप्पीची त्रिज्या = R
कप्पीचे कोनीय त्वरण = α
विचारले :
जर कप्पीचे वस्तुमान M + M/2 = 3M/2 पर्यंत वाढले आणि कप्पीचे कोनीय त्वरण = α असेल, तर भाराचे वस्तुमान किती आहे?
उत्तर :
प्लॅस्टिकिनशिवाय कप्पीचा जडत्वाचा क्षण:
I = 1/2 MR 2 = 0,5 MR 2
कप्पी + प्लॅस्टिकिनचा जडत्वाचा क्षण:
I = 1/2 (3M/2) R 2 = (3M/4) R 2 = 0,75M R 2
बलाची क्षणिक शक्ती:
τ = FR
न्यूटनचा परिभ्रमण गतीचा दुसरा नियम:
Στ = I α
w R = I α
mg R = I α
α = mg R / I
तेच कोनीय त्वरण निर्माण करण्यासाठी, भाराचे वस्तुमान ... करावे लागेल. समीकरण १ मधील α ची किंमत समीकरण २ मध्ये ठेवा:
योग्य उत्तर B आहे.
८.. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, एका भरीव वस्तूपासून बनवलेली कप्पी तिच्या बाहेरील बाजूस दोरीने गुंडाळलेली आहे. कप्पीचे दोरीसोबतचे घर्षण आणि तिच्या परिभ्रमण अक्षावरील घर्षण दुर्लक्षित केले आहे. जर भार a ms⁻² या स्थिर त्वरणाने खाली सरकत असेल , तर कप्पीच्या जडत्व परिबलाचे मूल्य…. असेल.
A. I = τ α R
B. I = τ α -1 R
C. I = τ a R
D. I = τ a -1 R -1
E. I = τ a R -1
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
बल = w = mg
बल भुजा = R
कोनीय त्वरण = α
भाराचे त्वरण = a ms -2
प्रश्न: कप्पीचा जडत्वाचा क्षण (I)
उत्तर :
रेषीय त्वरण आणि कोनीय त्वरण यांच्यातील संबंध:
a = R α
α = अ / आर
जडत्व परिबल खालील सूत्राने मोजले जाते:
τ = मी α
I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a -1
याचे कोणतेही अचूक उत्तर नाही.
९. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, एका भरीव वस्तूपासून बनवलेली कप्पी तिच्या बाहेरील बाजूस दोरी गुंडाळलेली आहे. कप्पीचे घर्षण दुर्लक्षित केले आहे. जर कप्पीचा जडत्वाचा क्षण I = β असेल आणि दोरीला F या स्थिर बलाने ओढले जात असेल, तर F चे मूल्य बरोबर आहे….
A. F = α . β . R 
B. F = α . β 2 . R
C. F = α . (β . R) -1
D. F = α . β . (R) -1
E. F = R . (α . β) -1
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
खेचण्याची शक्ती = F
कप्पीचा जडत्वाचा क्षण = β
कप्पीचे कोनीय त्वरण = α
कप्पीची त्रिज्या = R
प्रश्न: F ची किंमत ... च्या समतुल्य आहे.
उत्तर :
परिभ्रमण गतीसाठी न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाचे सूत्र:
Στ = β α ———- समीकरण १
सूत्राचे वर्णन:
Στ = शक्तीचा परिणामी क्षण (टॉर्क)
β = जडत्वाचा क्षण
α = कोनीय त्वरण
कप्पीवर कार्य करणाऱ्या बलाची परिणामी क्षण:
Στ = FR ———-> समीकरण २
सूत्राचे वर्णन:
F = ताण बल
R = बल F च्या क्रियाबिंदूपासून परिभ्रमण अक्षापर्यंतचे अंतर = कप्पीची त्रिज्या
समीकरण 1 मधील Στ ला समीकरण 2 मधील Στ ने बदला:
Στ = β . α
F . R = β . α
F = (β . α) / R
F = β . α . (R -1 )
योग्य उत्तर D आहे.
कोनीय संवेग
१०. ०.२ ग्रॅम वस्तुमानाचा एक कण १० rad s⁻¹ च्या स्थिर कोनीय वेगाने वर्तुळात फिरतो . जर कणाच्या मार्गाची त्रिज्या ३ सेमी असेल, तर कणाचा कोनीय संवेग किती?
अ. ३ × १० –७ किलोग्रॅम मीटर २ सेकंद -१
बी. ९ × १० –७ किलोग्रॅम मीटर २ सेकंद -१
C. 1,6 × 10 –6 kg m 2 s -1
डी. 1,8 × 10 –4 kg m 2 s -1
ई. ४.५ × १० –३ किलोग्रॅम मीटर २ सेकंद -१
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
कणाचे वस्तुमान (m) = ०.२ ग्रॅम = २ x १०⁻⁴ किलोग्रॅम
कोनीय वेग (ω) = 10 rad s -1
कणाच्या मार्गाची त्रिज्या (r) = 3 सेमी = 3 x 10⁻² मीटर
विचारले: कणाचा कोणीय संवेग
उत्तर :
कोणीय संवेगाचे सूत्र:
L = I ω
वर्णन: I = कोनीय संवेग, I = जडत्वाचा क्षण, ω = कोनीय वेग
कणाचा जडत्वाचा क्षण:
I = mr 2 = (2 x 10 -4 )(3 x 10 -2 ) 2 = (2 x 10 -4 )(9 x 10 -4 ) = 18 x 10 -8
कोणीय संवेग म्हणजे:
L = I ω = (18 x 10 -8 )(10 rad s -1 ) = 18 x 10 -7 kg m 2 s -1
याचे कोणतेही अचूक उत्तर नाही.
११. एक नर्तकी आपले हात पसरवून १६० सेमी अंतरापर्यंत गिरकी घेते. त्यानंतर, ती आपले हात कोपरापाशी ८० सेमी लांबीपर्यंत दुमडते. जर नर्तकीचा कोनीय वेग स्थिर राहिला, तर तिचा रेषीय संवेग...
अ. अजूनही
B मूळ आकाराच्या १/२ होतो
C मूळ आकाराच्या ३/४ होतो
डी मूळच्या २ पट होतो
ई मूळच्या ४ पट होते
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
त्रिज्या 1 (r 1 ) = 160 सेमी
त्रिज्या 2 (r 2 ) = 80 सेमी
कोनीय वेग 1 (ω 1 ) = ω
कोनीय वेग 1 (ω 2 ) = ω
विचारले: रेषीय संवेग
उत्तर :
रेषीय वेग २ :
v 1 = r 1 ω 1 = (160 cm) ω
रेषीय वेग २ :
v 2 = r 2 ω 2 = (80 cm) ω
रेषीय संवेग २:
p = mv 1 = m (160 cm) ω
रेषीय संवेग २:
p = mv 2 = m (80 cm) ω
त्यामुळे रेषीय संवेग मूळच्या १/२ पट होतो.
योग्य उत्तर B आहे.
प्रश्नाचा स्रोत:
वरिष्ठ माध्यमिक/व्यावसायिक उच्च माध्यमिक शाळेसाठी राष्ट्रीय परीक्षेतील भौतिकशास्त्राचे प्रश्न
