ഭ്രമണ ചലനങ്ങളുടെ ചലനാത്മകത - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

ഭ്രമണ ചലനങ്ങളുടെ ചലനാത്മകത - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

1. ഇനേർഷ്യ മൊമെന്റ് I = 2/5 MR ² ഉള്ള ഒരു കപ്പിയുടെ പിണ്ഡം 2-kg ആണ്. കപ്പിയിലെ ബലപ്രയോഗത്തിന്റെ മൊമെന്റ് 4 Nm ആണെങ്കിൽ കപ്പിയുടെ രേഖീയ ത്വരണം എന്താണ്? ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം g = 10 ms ^-2 ആണ്.

അറിയാവുന്ന :

കപ്പിയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം (I) = 2/5 MR ²

കപ്പിയുടെ പിണ്ഡം (M) = 2 കി.ഗ്രാം

ബലത്തിന്റെ ആക്കം (τ) = 4 Nm

ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം (g) = 10 ms ^-2

കപ്പിയുടെ ആരം (R) = 20 സെ.മീ = 0.2 മീ.

ആവശ്യമുള്ളത് : ലീനിയർ ആക്സിലറേഷൻ (എ)

പരിഹാരം:

കപ്പിയുടെ (I) ജഡത്വ നിമിഷം:

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 കിലോഗ്രാം മീ ²

കോണീയ ത്വരണം (α) :

τ = I α

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

രേഖീയ ത്വരണം (a) :

a = R α = (0.2)(125) = 25 എംഎസ് ^-2

കപ്പിയുടെ അരികിലെ രേഖീയ ത്വരണം 25 ms ^-2 ആണ്.

2. കപ്പിയുടെ ത്വരണം 2 ms ^-2 ആണ് . ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം g = 10 ms ^-2 ആണ് . കപ്പിയുടെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

കപ്പിയുടെ അരികിലെ രേഖീയ ത്വരണം (a) = 2 ms^-2

ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം (g) = 10 ms ^-2

കപ്പിയുടെ ആരം (R) = 10 സെ.മീ = 0.1 മീ.

വസ്തുവിന്റെ ഭാരം (w) = mg = (4)(10) = 40 N

ആവശ്യമുണ്ട്: പുള്ളിയിലെ ഇനേർഷ്യ മൊമെന്റ്

പരിഹാരം:

ബലത്തിന്റെ നിമിഷം (τ):

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 Nm

കപ്പിയുടെ കോണീയ ത്വരണം (α) :

a = ആർ α

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s ^-2

കപ്പിയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം (I):

τ = I α

I = τ/α = 4/20 = 0.2 കി.ഗ്രാം മീ ²

3. കപ്പി 1 ms ^-2 യിൽ ത്വരണം പ്രാപിച്ചു . കപ്പിയുടെ ആരം 10 സെന്റീമീറ്റർ ആണെങ്കിൽ, കപ്പിയുടെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

കപ്പിയുടെ അരികിലെ രേഖീയ ത്വരണം (a) = 1 ms^-2

ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം (g) = 10 ms ^-2

കപ്പിയുടെ ആരം (R) = 10 സെ.മീ = 0.1 മീ.

ബലം (F) = 4 N

ആവശ്യമുണ്ട് : കപ്പിയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം

പരിഹാരം:

ബലത്തിന്റെ നിമിഷം (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

കപ്പിയുടെ (α) കോണീയ ത്വരണം :

a = ആർ α

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s ^-2

കപ്പിയുടെ (I) ജഡത്വ നിമിഷം:

τ = I α

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 കി.ഗ്രാം m ²

1. രേഖീയ ചലനത്തിൽ പിണ്ഡത്തിന്റെ ഭ്രമണ തുല്യത എന്താണ്?
   • ഉത്തരം: രേഖീയ ചലനത്തിലെ പിണ്ഡത്തിന്റെ ഭ്രമണ തുല്യത ജഡത്വ നിമിഷം ആണ്, ഇത് പലപ്പോഴും ഇങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു $I$.
2. ഭ്രമണ ചലനവുമായി ടോർക്ക് എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, രേഖീയ ചലനത്തിലെ ബലവുമായി അത് എങ്ങനെ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു?
   • ഉത്തരം: ബലത്തിന്റെ ഭ്രമണ തുല്യതയാണ് ടോർക്ക്. വസ്തുക്കളിൽ ബലം രേഖീയ ത്വരണം സൃഷ്ടിക്കുമ്പോൾ, ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന വസ്തുക്കളിൽ ടോർക്ക് കോണീയ ത്വരണം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. പ്രയോഗിക്കുന്ന ബലത്തിന്റെയും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് ബലം പ്രയോഗിക്കുന്ന ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ലംബ ദൂരത്തിന്റെയും ഫലമായാണ് ടോർക്ക് കണക്കാക്കുന്നത്.
3. കോണീയ ത്വരണം, ടോർക്ക്, ജഡത്വ മൊമെന്റ് എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്?
   • ഉത്തരം: ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഭ്രമണ നിയമം ഈ ബന്ധം വിശദീകരിക്കുന്നു: $\tau =I\alpha$എവിടെ $\tau$ ടോർക്ക് ആണ്, $I$ ജഡത്വത്തിന്റെ നിമിഷമാണ്, കൂടാതെ $\alpha$ കോണീയ ത്വരണം ആണ്.
4. ഒരു ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന വസ്തുവിന്റെ ബാഹ്യ ടോർക്ക് സ്ഥിരമായിരിക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കോണീയ ത്വരണം എന്ത് സംഭവിക്കും?
   • ഉത്തരം: ജഡത്വ നിമിഷം വർദ്ധിക്കുകയും ബാഹ്യ ടോർക്ക് സ്ഥിരമായി തുടരുകയും ചെയ്താൽ, കോണീയ ത്വരണം കുറയും.
5. രേഖീയ ചലനത്തിലും ഭ്രമണ ചലനത്തിലും രേഖീയ ആവേഗത്തിന്റെയും കോണീയ ആവേഗത്തിന്റെയും ആശയങ്ങൾ എങ്ങനെ സമാനമാണ്?
   • ഉത്തരം: ലീനിയർ മൊമെന്റം (നൽകിയത് $p=mv$എവിടെ $m$ പിണ്ഡവും $v$ പ്രവേഗം) എന്നത് പിണ്ഡത്തിന്റെയും രേഖീയ പ്രവേഗത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്, അതേസമയം കോണീയ ആക്കം (നൽകുന്നത് $L=I\omega$എവിടെ $I$ ജഡത്വത്തിന്റെ നിമിഷമാണ് $\omega$ (കോണീയ പ്രവേഗം) എന്നത് ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെയും കോണീയ പ്രവേഗത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.
6. കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണം എന്നതുകൊണ്ട് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?
   • ഉത്തരം: ബാഹ്യ ടോർക്കുകളുടെ അഭാവത്തിൽ, ഒരു അടഞ്ഞ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൊത്തം കോണീയ ആവേഗം സ്ഥിരമായി നിലനിൽക്കുമെന്ന് കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു.
7. ഫിഗർ സ്കേറ്റർമാർ കറങ്ങുമ്പോൾ കൈകൾ അകത്തി വയ്ക്കുമ്പോൾ വേഗത്തിൽ കറങ്ങുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
   • ഉത്തരം: ഫിഗർ സ്കേറ്റർമാർ കൈകൾ അകത്തി വയ്ക്കുമ്പോൾ, അവർ അവരുടെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് കുറയ്ക്കുന്നു. കോണീയ മൊമെന്റം സംരക്ഷണം കാരണം, ജഡത്വ മൊമെന്റ് കുറയുമ്പോൾ, കോണീയ മൊമെന്റം സ്ഥിരമായി നിലനിർത്താൻ കോണീയ പ്രവേഗം (അല്ലെങ്കിൽ ഭ്രമണ നിരക്ക്) വർദ്ധിക്കണം.
8. ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഭ്രമണ ഗതികോർജ്ജം അതിന്റെ രേഖീയ ഗതികോർജ്ജവുമായി എങ്ങനെ താരതമ്യം ചെയ്യും?
   • ഉത്തരം: ഭ്രമണ ഗതികോർജ്ജം (1/2 കൊണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്നത്) ​Iω²) രേഖീയ ഗതികോർജ്ജത്തിന് സമാനമാണ് (1/2 കൊണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്നു) ​mv²). ആദ്യത്തേത് ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഭ്രമണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് അതിന്റെ രേഖീയ ചലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
9. ഒരു വസ്തുവിന് ഒരേസമയം ഭ്രമണ ഊർജ്ജവും രേഖീയ ഗതികോർജ്ജവും ഉണ്ടാകുമോ?
   • ഉത്തരം: അതെ, ഒരു വസ്തുവിന് ഭ്രമണ ഗതികോർജ്ജവും രേഖീയ ഗതികോർജ്ജവും ഉണ്ടാകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഉരുളുന്ന ചക്രത്തിന് അതിന്റെ സ്പിൻ കാരണം ഭ്രമണ ഗതികോർജ്ജവും മുന്നോട്ടുള്ള ചലനം കാരണം രേഖീയ ഗതികോർജ്ജവും ഉണ്ട്.
10. ഒരു കറങ്ങുന്ന ചക്രത്തിന്റെ ആരം അതിന്റെ കോണീയ പ്രവേഗം സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തുമ്പോൾ ഇരട്ടിയാകുന്നുവെങ്കിൽ, അതിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം എങ്ങനെ മാറുന്നു?

• ഉത്തരം: ഒരു സോളിഡ് ഡിസ്കിന്റെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് 1/2 കൊണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്നു. ​mr²എവിടെ $m$ പിണ്ഡവും $r$ ആരം ഇരട്ടിയാകുകയും പിണ്ഡം സ്ഥിരമായി തുടരുകയും ചെയ്താൽ, ജഡത്വത്തിന്റെ മൊമെന്റ് നാല് മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കും.