കണങ്ങളുടെ ചലനാത്മകത - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

കണങ്ങളുടെ ചലനാത്മകത - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

1. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, 6-kg പിണ്ഡമുള്ള വസ്തു A യും 4-kg പിണ്ഡമുള്ള വസ്തു B യും ഒരു ചരട് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിച്ച് F = 60 N ബലത്താൽ വലിക്കുന്നു. തറയ്ക്കും രണ്ട് വസ്തുക്കൾക്കും ഇടയിലുള്ള ഗതികോർജ്ജ ഘർഷണത്തിന്റെ ഗുണകം 0.5 ആണ് (tan θ = ¾). ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം 10 m/s ² ആണ് . ടെൻഷൻ ബലത്തിന്റെ വ്യാപ്തി എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡം A (m_A) = 6 കി.ഗ്രാം

വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡം B (m _B ) = 4 കി.ഗ്രാം

ബലം (F) = 60 ന്യൂട്ടൺ

വസ്തുവിനും തറയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള ഗതികോർജ്ജ ഘർഷണത്തിന്റെ ഗുണകം (μk ₎ = 0.5

ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം (g) = 10 മീ/സെ.²

ടാൻ θ = 3/4

ആവശ്യമുണ്ട് : ടെൻഷൻ ഫോഴ്‌സ് (T)

പരിഹാരം:

ബലം F ന്റെ തിരശ്ചീന ഘടകം:

എഫ് _x = എഫ് കോസ് θ

എഫ് _x = (60)(4/5) = (4)(12) = 48 N

ബലം F ന്റെ ലംബ ഘടകം:

എഫ് _വൈ = എഫ് സിൻ θ

എഫ് _വൈ = (60)(3/5) = (3)(12) = 36 എൻ

A വസ്തുവിലുള്ള സാധാരണ ബലം :

എൻ _എ = w _എ = മീ _എ ഗ്രാം = (6)(10) = 60 എൻ

B എന്ന വസ്തുവിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന സാധാരണ ബലം:

N _B + F _y – w _B = 0

എൻ _ബി + എഫ് _വൈ = ഡബ്ല്യു _ബി

എൻ _ബി = ഡബ്ല്യു _ബി – എഫ് _വൈ = എം _ബി ജി – എഫ് _വൈ = (4)(10) – 36 = 40 – 36 = 4 എൻ

വസ്തു A യും തറയും തമ്മിലുള്ള ഗതികോർജ്ജ ഘർഷണബലം:

f _kA = μk _N A ₌ (0.5)(60) = 30 N

വസ്തു B യും തറയും തമ്മിലുള്ള ഗതികോർജ്ജ ഘർഷണബലം:

f _kB = μk _N B ₌ (0.5)(4) = 2 N

രണ്ട് വസ്തുക്കളുടെയും ത്വരണം കണക്കാക്കുക:

ΣF = മാ

F _x – T + T – f _kB – f _kA = (m _A + m _B ) a

F _x – f _kB – f _kA = (m _A + m _B ) a

48 – 2 – 30 = (6 + 4) എ

16 = 10 എ

എ = 16/10

a = 1.6 മീ/സെ ²

ടെൻഷൻ ഫോഴ്‌സ് കണക്കാക്കുക:

ഒബ്ജക്റ്റ് എ:

ΣF = മാ

ടി _എ – എഫ് _കെഎ = എം _എ എ

ടി _എ – 30 = (6)(1.6)

ടി _എ – 30 = 9.6

ടി _എ = 9.6 + 30 = 39.6 എൻ

ഒബ്ജക്റ്റ് ബി:

ΣF = മാ

എഫ് _x – എഫ് _കെബി – ടി _ബി = എം _ബി എ

48 – 2 – ടി _ബി = (4)(1.6)

46 – ടി _ബി = 6.4

46 – 6.4 = ടി _ബി

ടി _ബി = 39.6 ന്യൂ

2. രണ്ട് ബ്ലോക്കുകളും തറയും തമ്മിലുള്ള ഗതികോർജ്ജ ഘർഷണത്തിന്റെ ഗുണകം 0.2 ആണെങ്കിൽ, രണ്ട് വസ്തുക്കളുടെയും ത്വരണം എന്താണ്? (cos 37 ^o = 0,8, sin 37 ^o = 0,6)

അറിയപ്പെടുന്നത്:

വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡം A (m_A) = 4 കി.ഗ്രാം

വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡം B (m _B ) = 2 കി.ഗ്രാം

ബലം (F) = 30 ന്യൂട്ടൺ

വസ്തുവിനും തറയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള ഗതികോർജ്ജ ഘർഷണത്തിന്റെ ഗുണകം (μk ₎ = 0.2

ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം (g) = 10 മീ/സെ.²

കോസ് 37 ^o = 0.8

പാപം 37 ^o = 0.6

ആവശ്യമുണ്ട് : രണ്ട് വസ്തുക്കളുടെയും ത്വരണം

പരിഹാരം:

ബലം F ന്റെ തിരശ്ചീന ഘടകം:

എഫ് _x = എഫ് കോസ് θ

എഫ് _x = (30)(0.8) = 24 N

ബലം F ന്റെ ലംബ ഘടകം:

എഫ് _വൈ = എഫ് സിൻ θ

എഫ് _വൈ = (30)(0.6) = 18 എൻ

A വസ്തുവിലുള്ള സാധാരണ ബലം:

എൻ _എ = w _എ = മീ _എ ഗ്രാം = (4)(10) = 40 എൻ

B എന്ന വസ്തുവിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന സാധാരണ ബലം:

N _B + F _y – w _B = 0

എൻ _ബി + എഫ് _വൈ = ഡബ്ല്യു _ബി

എൻ _ബി = ഡബ്ല്യു _ബി – എഫ് _വൈ = എം _ബി ജി – എഫ് _വൈ = (2)(10) – 18 = 20 – 18 = 2 എൻ

വസ്തു A യും തറയും തമ്മിലുള്ള ഗതികോർജ്ജ ഘർഷണബലം:

f _kA = μk _N A ₌ (0.2)(40) = 8 N

വസ്തു B യും തറയും തമ്മിലുള്ള ഗതികോർജ്ജ ഘർഷണബലം:

f _kB = μk _N B ₌ (0.2)(2) = 0.4 N

രണ്ട് വസ്തുക്കളുടെയും ത്വരണം :

ΣF = മാ

F _x – f _kB – f _kA = (m _A + m _B ) a

24 – 0.4 – 8 = (4 + 2) എ

15.6 = 6 എ

എ = 15.6 / 6

a = 2.6 മീ/സെ ²

3. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു കപ്പിയിൽ ഒരു ചരട് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് വസ്തുക്കൾ. A എന്ന വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡം = m _A , f എന്ന വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡം = m B _, ബ്ലോക്ക് B യുടെ ത്വരണം a ആണ്. ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം g ആണ്. ബ്ലോക്ക് B യിലെ ടെൻഷൻ ബലം എന്താണ്?

പരിഹാരം:

തിരശ്ചീന പ്രതലം മിനുസമാർന്നതിനാൽ ഘർഷണം ഉണ്ടാകില്ല. സിസ്റ്റത്തെ ത്വരിതപ്പെടുത്തുന്ന ഒരേയൊരു ബലം ബ്ലോക്ക് ബി യുടെ ഭാരം മാത്രമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ത്വരണം:

ടെൻഷൻ ബലം (T):

സമവാക്യം 1-ൽ m _A, സമവാക്യം 2-ൽ m _A എന്നിവ പകരം വയ്ക്കുക.

1. കണികകളുടെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ സ്റ്റാറ്റിക്സും ഡൈനാമിക്സും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?
   • ഉത്തരം: സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ കണികകളിൽ ബലം പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചും, എല്ലാ ബലങ്ങളും സന്തുലിതമായിരിക്കുകയും ത്വരണം ഉണ്ടാകാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനെക്കുറിച്ചും സ്റ്റാറ്റിക്സ് പഠിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, ബലങ്ങൾ അസന്തുലിതമാകുമ്പോൾ കണികകൾ ചെലുത്തുന്ന ബലങ്ങളെയും അവയുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചലനത്തെയും ഡൈനാമിക്സ് പഠിക്കുന്നു, ഇത് ത്വരണം ഉണ്ടാക്കുന്നു.
2. ഒരു കണികയുടെ ചലനത്തിന് ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം നിയമം എങ്ങനെ ബാധകമാകും?
   • ഉത്തരം: ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം നിയമം പറയുന്നത്, ഒരു കണികയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലം ആ കണികയുടെ പിണ്ഡത്തിന്റെ ഗുണനഫലമായി അതിന്റെ ത്വരണം ഗുണിക്കപ്പെടുന്നതിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ്: $F=ma$. ഒരു ശക്തി ഒരു കണികയുടെ ചലനത്തെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുമെന്ന് ഈ നിയമം വിവരിക്കുന്നു, അത് അതിന്റെ പിണ്ഡത്തെയും ബലം ഉൽ‌പാദിപ്പിക്കുന്ന ത്വരണത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
3. രേഖീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ തത്വം എന്താണ്, അത് കണികകൾക്ക് എങ്ങനെ ബാധകമാണ്?
   • ഉത്തരം: ഒരു അടഞ്ഞ കണികവ്യവസ്ഥയിൽ ബാഹ്യബലങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ആ വ്യവസ്ഥയുടെ ആകെ രേഖീയ ആക്കം സ്ഥിരമായി നിലനിൽക്കുമെന്ന് രേഖീയ ആക്കം സംരക്ഷണ തത്വം പറയുന്നു. ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിനുള്ളിലെ കണികകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനത്തിന് മുമ്പും ശേഷവുമുള്ള ആകെ ആക്കം തുല്യമായിരിക്കും എന്നാണ്.
4. ഒരു കണികയിൽ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി എന്ന ആശയം, പ്രയോഗിക്കുന്ന ബലവുമായും കണികയുടെ സ്ഥാനചലനവുമായും എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?
   • ഉത്തരം: ഒരു കണികയിൽ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി എന്നത് ആ കണികയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ബലത്തിന്റെയും, കണികയുടെ സ്ഥാനചലനത്തിന്റെയും, ബലത്തിനും സ്ഥാനചലന വെക്റ്ററുകൾക്കുമിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈന്റെയും ഫലമാണ്: $W=Fd\cos \theta$.
5. ഒരു കണികയുടെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ ഗതികോർജ്ജവും പൊട്ടൻഷ്യൽ ഊർജ്ജവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?
   • ഉത്തരം: ഒരു കണികയുടെ ചലനം മൂലമുള്ള ഊർജ്ജമാണ് ഗതികോർജ്ജം, ഇത് 1/2 കൊണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്നു. ​mv²എവിടെ $m$ പിണ്ഡവും $v$ പ്രവേഗമാണ്. ഒരു കണികയിൽ ഒരു ബല മണ്ഡലത്തിലെ (ഗുരുത്വാകർഷണം അല്ലെങ്കിൽ വൈദ്യുത മണ്ഡലം പോലുള്ളവ) സ്ഥാനം കാരണം സംഭരിക്കപ്പെടുന്ന ഊർജ്ജമാണ് പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി. പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജിയുടെ നിർദ്ദിഷ്ട പദപ്രയോഗം കണികയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
6. ഒരു കണികയിലെ ആവേഗം അതിന്റെ ആക്കം മാറ്റവുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?
   • ഉത്തരം: ഒരു കണികയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ബലത്തിന്റെയും ബലം പ്രയോഗിക്കുന്ന സമയ ദൈർഘ്യത്തിന്റെയും ഫലമാണ് ഒരു ആവേഗം. ഇത് കണികയുടെ ആക്കം മാറ്റത്തിന് തുല്യമാണ്: $I=F\Delta t=\Delta p$.
7. "സ്വതന്ത്ര കണിക" എന്നാൽ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അത് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു?
   • ഉത്തരം: ഒരു ബലത്തിനും വിധേയമാകാത്ത ഒന്നാണ് സ്വതന്ത്ര കണിക. ന്യൂട്ടന്റെ ഒന്നാം നിയമം അനുസരിച്ച്, ഒരു സ്വതന്ത്ര കണിക പ്രാരംഭ നിശ്ചലാവസ്ഥയിലാണെങ്കിൽ നിശ്ചലാവസ്ഥയിൽ തന്നെ തുടരും അല്ലെങ്കിൽ പ്രാരംഭ ചലത്തിലാണെങ്കിൽ സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ ചലിക്കും.
8. കണങ്ങളുടെ ചലനാത്മകതയിൽ ഘർഷണം എന്ത് പങ്കാണ് വഹിക്കുന്നത്?
   • ഉത്തരം: സമ്പർക്കത്തിലുള്ള പ്രതലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ആപേക്ഷിക ചലനത്തെ എതിർക്കുന്ന ഒരു ബലമാണ് ഘർഷണം. കണികാ ചലനാത്മകതയുടെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ, ഘർഷണബലത്തിന്റെ ദിശയെയും വ്യാപ്തിയെയും ആശ്രയിച്ച് ഘർഷണത്തിന് ഒരു കണത്തിന്റെ ചലനം മന്ദഗതിയിലാക്കാനോ നിർത്താനോ കഴിയും.
9. ഒരു കേന്ദ്രബലം ഒരു കണികയുടെ സഞ്ചാരപഥത്തെ എങ്ങനെ സ്വാധീനിക്കുന്നു?
   • ഉത്തരം: ഒരു കേന്ദ്രബലം എന്നത് കണികയെ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലേക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രേഖയിലൂടെ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒന്നാണ്, അതിനെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗുരുത്വാകർഷണ, വൈദ്യുത പ്രതിപ്രവർത്തനങ്ങളിൽ അത്തരം ബലങ്ങൾ സാധാരണമാണ്, കൂടാതെ കേന്ദ്രത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പ്രത്യേക കോണീയ ആക്കം നിലനിർത്തുന്ന ഒരു പാതയിൽ കണികയെ ചലിപ്പിക്കുകയും പലപ്പോഴും ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലോ വൃത്താകൃതിയിലോ ഉള്ള ഭ്രമണപഥങ്ങൾക്ക് കാരണമാവുകയും ചെയ്യും.
10. ഒരു കണിക വ്യവസ്ഥയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന മൊത്തം ബാഹ്യബലവും സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൊത്തം രേഖീയ ആവേഗത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്?

• ഉത്തരം: ഒരു കണികവ്യവസ്ഥയ്ക്ക് ബാധകമായ ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം നിയമം അനുസരിച്ച്, ആ സിസ്റ്റത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന മൊത്തം ബാഹ്യബലം, സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൊത്തം രേഖീയ ആവേഗത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കിന് തുല്യമാണ്: Fext​=dP/dt​എവിടെ $\mathbf{P}$ ആകെ രേഖീയ ആക്കം ആണ്.