ജഡത്വ നിമിഷ കണികകളും ദൃഢ വസ്തുക്കളും - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

കണികയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം

1. 30 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ചരടിന്റെ ഒരു അറ്റത്ത് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന 100 ഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു പന്ത്. AB ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള പന്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്താണ്? ചരടിന്റെ പിണ്ഡം അവഗണിക്കുക.

അറിയപ്പെടുന്നത്:

AB-യിലെ ഭ്രമണ അക്ഷം

മാസ് ബോൾ (മീ) = 100 ഗ്രാം = 100/1000 = 0.1 കി.ഗ്രാം

പന്തിനും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r) = 30 സെ.മീ = 0.3 മീ.

ആവശ്യമുണ്ട്: പന്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം (I)

പരിഹാരം:

I = മിസ്റ്റർ ² = (0.1 കി.ഗ്രാം)(0.3 മീ) ²

I = (0.1 കി.ഗ്രാം)(0.09 മീ ² )

I = 0.009 കിലോഗ്രാം മീ ²

[ഐആർപി]

2. 100 ഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു പന്ത്, m ₁ , 200 ഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു പന്ത്, m ₂ എന്നിവ 60 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വടി ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. വടിയുടെ പിണ്ഡം അവഗണിക്കപ്പെടുന്നു. ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് വടിയുടെ മധ്യത്തിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള പന്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

പന്തിന്റെ പിണ്ഡം 1 (m ₁ ) = 100 ഗ്രാം = 100/1000 = 0.1 കി.ഗ്രാം

_{പന്ത് 1 ന്റെയും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിന്റെയും (r 1} ) ദൂരം = 30 സെ.മീ = 30/100 = 0.3 മീ.

പന്തിന്റെ പിണ്ഡം (m ₂ ) = 200 ഗ്രാം = 200/1000 = 0.2 കി.ഗ്രാം

പന്ത് 2 ന്റെയും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിന്റെയും (r ₂ ) ദൂരം = 30 സെ.മീ = 30/100 = 0.3 മീ.

ആവശ്യമുണ്ട്: പന്തുകളുടെ ജഡത്വ നിമിഷം

ഉത്തരം :

ഞാൻ = മീ ₁ पर ₁ ² + മീ ₂ पर ₂ ²

I = (0.1 കി.ഗ്രാം)( 0.3 മീ) ² + (0.2 കി.ഗ്രാം)( 0.3 മീ) ²

I = (0.1 കി.ഗ്രാം)( 0.09 മീ ² ) + (0.2 കി.ഗ്രാം)( 0.09 മീ ² )

I = 0.009 കിലോഗ്രാം മീ ² + 0.018 കിലോഗ്രാം മീ ²

I = 0.027 കിലോഗ്രാം മീ ²

[ഐആർപി]

3. 200 ഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു പന്ത്, m ₁ ഉം 100 ഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു പന്ത്, m _{2 ഉം,} 60 സെ.മീ നീളമുള്ള ഒരു വടി ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. വടിയുടെ പിണ്ഡം അവഗണിക്കുക. ഭ്രമണ അക്ഷം പന്ത് m ₂ ൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു . പന്തുകളുടെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്താണ്. വടിയുടെ പിണ്ഡം അവഗണിക്കുക.

അറിയപ്പെടുന്നത്:

പന്തിന്റെ പിണ്ഡം 1 (m ₁ ) = 2 00 ഗ്രാം = 200/1000 = 0.2 കി.ഗ്രാം

പന്ത് 1 നും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r ₁ ) = 60 സെ.മീ = 60/100 = 0.6 മീ.

പന്ത് 2 ന്റെ പിണ്ഡം (m ₂ ) = 100 ഗ്രാം = 100/1000 = 0.1 കി.ഗ്രാം

പന്ത് 2 നും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r ₂ ) = 0 മീ.

ആവശ്യമുണ്ട് : പന്തുകളുടെ ജഡത്വ നിമിഷം

പരിഹാരം:

ഞാൻ = മീ ₁ पर ₁ ² + മീ ₂ पर ₂ ²

I = (0.2 കി.ഗ്രാം)( 0,6 മീ) ² + (0.2 കി.ഗ്രാം)(0 ) ²

I = (0.2 കി.ഗ്രാം)( 0.36 മീ ² ) + 0

I = 0.072 കിലോഗ്രാം മീ ²

[ഐആർപി]

4. ഓരോ പന്തിന്റെയും പിണ്ഡം 100 ഗ്രാം ആണ്, ചരട് കൊണ്ട് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ചരടിന്റെ നീളം 60 സെന്റീമീറ്ററും ചരടിന്റെ വീതി 30 സെന്റീമീറ്ററുമാണ്. ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള പന്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്താണ്? ചരടിന്റെ പിണ്ഡം അവഗണിക്കുക.

അറിയപ്പെടുന്നത്:

പന്തിന്റെ പിണ്ഡം = m ₁ = m ₂ = m ₃ = m ₄ = 1 00 ഗ്രാം = 100/1000 = 0.1 കി.ഗ്രാം

പന്തിനും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r ₁ ) = 30 സെ.മീ = 30/100 = 0.3 മീ.

പന്ത് 2 നും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r ₂ ) = 30 സെ.മീ = 30/100 = 0.3 മീ.

പന്ത് 3 നും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r ₃ ) = 30 സെ.മീ = 30/100 = 0.3 മീ.

പന്ത് 4 നും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r ₄ ) = 30 സെ.മീ = 30/100 = 0.3 മീ.

അറിയപ്പെടുന്നത്: ജഡത്വ നിമിഷം

പരിഹാരം:

ഞാൻ = മീ₁ r₁² + മീ₂ r₂² + മീ₃ r₃² + മീ₄ r₄²

I = (0.1 കി.ഗ്രാം)( 0.3 മീ) ² + (0.1 കി.ഗ്രാം)( 0.3 മീ) ² + (0.1 കി.ഗ്രാം)(0.3 മീ) ² + (0.1 കി.ഗ്രാം)(0.3 മീ) ²

I = (0.1 കി.ഗ്രാം)( 0.09 മീ ² ) + (0.1 കി.ഗ്രാം)(0.09 മീ ² ) + (0.1 കി.ഗ്രാം)(0.09 മീ ² ) + (0.1 കി.ഗ്രാം)(0.09 മീ ² )

I = 0.036 കിലോഗ്രാം മീ ²

[ഐആർപി]

ഒരു കർക്കശമായ വസ്തുവിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം

5. 2 മീറ്റർ നീളമുള്ള 2 കിലോഗ്രാം നീളമുള്ള ഒരു യൂണിഫോം ദണ്ഡിന്റെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് എന്താണ്? ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് ദണ്ഡിന്റെ മധ്യത്തിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.

അറിയപ്പെടുന്നത്:

വടിയുടെ പിണ്ഡം (M) = 2 കി.ഗ്രാം

വടിയുടെ നീളം (L) = 2 മീ.

ആവശ്യമുണ്ട്: മൊമെന്റ് ഓഫ് ഇനേർഷ്യ

പരിഹാരം:

ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് നീളമുള്ള യൂണിഫോം ദണ്ഡിന്റെ മധ്യത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം:

ഞാൻ = (1/12) എംഎൽ ²

I = (1/12) (2 കി.ഗ്രാം)( 2 മീ) ²

I = (1/12) (2 കി.ഗ്രാം)(4 മീ ² )

I = (1/12)(8 കി.ഗ്രാം മീ ² )

I = 8/12 കിലോഗ്രാം മീ ²

I = 2/3 കിലോഗ്രാം മീ ²

[ഐആർപി]

6. 2 മീറ്റർ നീളമുള്ള 2 കിലോഗ്രാം നീളമുള്ള ഒരു യൂണിഫോം ദണ്ഡിന്റെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് എന്താണ്? ദണ്ഡിന്റെ ഒരു അറ്റത്താണ് ഭ്രമണ അക്ഷം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.

അറിയപ്പെടുന്നത്:

വടിയുടെ പിണ്ഡം (M) = 2 കി.ഗ്രാം

ദൃഢമായ വടിയുടെ നീളം (L) = 2 മീ.

ആവശ്യമുണ്ട്: മൊമെന്റ് ഓഫ് ഇനേർഷ്യ

പരിഹാരം:

ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് വടിയുടെ ഒരു അറ്റത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ ജഡത്വ നിമിഷത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം:

ഞാൻ = (1/3) എംഎൽ ²

I = (1/3) (2 കി.ഗ്രാം)( 2 മീ) ²

I = (1/3) (2 കി.ഗ്രാം)(4 മീ ² )

I = (1/3)(8 കി.ഗ്രാം മീ ² )

I = 8/3 കിലോഗ്രാം മീ ²

[ഐആർപി]

7. 0.1 മീറ്റർ ആരമുള്ള 10 കിലോഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു ഖര സിലിണ്ടർ. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ഖര സിലിണ്ടറിന്റെ മധ്യഭാഗത്താണ് ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. സിലിണ്ടറിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

ഖര സിലിണ്ടറിന്റെ പിണ്ഡം (M) = 10 കി.ഗ്രാം

സിലിണ്ടറിന്റെ ആരം (L) = 0.1 മീ.

ആവശ്യമുണ്ട്: ജഡത്വത്തിന്റെ നിമിഷം

ആവശ്യമുണ്ട്: ജഡത്വത്തിന്റെ നിമിഷം

പരിഹാരം:

ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് സിലിണ്ടറിന്റെ മധ്യത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ ജഡത്വ മൊമെന്റ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം:

ഞാൻ = (1/2) എംആർ ²

I = (1/2) (10 കി.ഗ്രാം)(0.1 മീ) ²

I = (1/2) (10 കി.ഗ്രാം)(0.01 മീ ² )

I = (1/2)(0.1 കി.ഗ്രാം മീ ² )

I = 0.05 കിലോഗ്രാം മീ ²

8. 0.1 മീറ്റർ നീളമുള്ള 20 കിലോഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു ഏകീകൃത ഗോളം. ഗോളത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്തായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

അറിയപ്പെടുന്നത്:

ഗോളത്തിന്റെ പിണ്ഡം (M) = 20 കി.ഗ്രാം

ഗോളത്തിന്റെ ആരം (L) = 0.1 മീ.

ആഗ്രഹിച്ചത്: ഒരു ജഡത്വ നിമിഷം

പരിഹാരം:

ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് ഗോളത്തിന്റെ മധ്യത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം:

ഞാൻ = (2/5) എംആർ ²

I = (2/5)(20 കി.ഗ്രാം)(0.1 മീ) ²

I = (2/5)(20 കി.ഗ്രാം)(0.01 മീ ² )

I = (2/5)(0.2 കി.ഗ്രാം മീ ² )

I = 0.4/5 കിലോഗ്രാം മീ ²

I = 0.08 കിലോഗ്രാം മീ ²

[ഐആർപി]

9. 0.5 മീറ്റർ നീളവും 0.2 മീറ്റർ വീതിയുമുള്ള 2 കിലോഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള നേർത്ത പ്ലേറ്റ്. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്ലേറ്റിന്റെ മധ്യത്തിലാണ് ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ജഡത്വത്തിന്റെ മൊമെന്റ് എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്ലേറ്റിന്റെ പിണ്ഡം (M) = 2 കി.ഗ്രാം

പ്ലേറ്റിന്റെ നീളം (a) = 0.5 മീ.

പ്ലേറ്റിന്റെ വീതി (b) = 0.2 മീ.

ആവശ്യമുണ്ട്: മൊമെന്റ് ഓഫ് ഇനേർഷ്യ

പരിഹാരം:

ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് ഫലകത്തിന്റെ മധ്യത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം:

I = (1/12 ) M (a ² + b ² )

ഞാൻ = (1/12)(2)(0.5 ² + 0.2 ² )

ഞാൻ = (2/12)(0.25 + 0.04)

ഞാൻ = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 കിലോഗ്രാം മീ ²