Техники за пресметување на медијаната за единечни и групирани податоци
Медијаната е мерка за централна тенденција што често се користи во статистиката. За разлика од просекот (средна вредност), кој ги собира сите вредности, а потоа дели со бројот на вредности, медијаната ја нагласува „средната вредност“ на сортиран збир на податоци. Поради нејзиниот фокус на позицијата, медијаната е релативно отпорна на екстремни вредности (отстапувања), како на пример кога една вредност е многу голема или многу мала во споредба со другите. Затоа медијаната е широко користена во анализата на економски податоци, образованието, социјалните истражувања, па дури и во евалуацијата на резултатите од тестовите.
Во оваа статија, ќе разгледаме техники за пресметување на медијаната за два вида податоци: единечни податоци (негрупирани) и групирани податоци (презентирани во табела со распределба на фреквенции). Покрај формулата, дискусијата ќе вклучува и практични чекори за лесна имплементација.
-
1. Основен концепт на медијана
Медијаната е средната вредност откако податоците ќе се сортираат од најмала до најголема. Ако бројот на точки на податоци е непарен, медијаната е точната средна вредност. Ако бројот на точки на податоци е парен, медијаната е просекот од двете средни вредности.
Интуитивно, медијаната ги дели податоците на два дела:
– 50% од податоците се под (или еднакви на) медијаната
– 50% од податоците се над (или еднакви на) медијаната
Бидејќи медијаната е базирана на редослед, првиот чекор што речиси секогаш е потребен е сортирање на податоците.
-
2. Пресметување на медијаната за единечни податоци
Единични податоци се податоци што се презентирани онакви какви што се (на пример, список на оценки од учениците), а не сумирани во интервални часови како кај групните податоци.
A. Општи чекори
1. Сортирајте ги податоците од најмала до најголема вредност.
2. Определете ја количината на податоци, на пример n.
3. Определете ја позицијата на медијаната:
– Ако n е непарен, медијаната е на позицијата \((n+1)/2\).
– Ако n е парен број, медијаната е просекот од податоците на позициите \(n/2\) и \((n/2)+1\).
Б. Медијанска формула за единечни податоци
– Ако n е непарно:
\[
Ме = x_{(n+1)/2}
\]
Ова значи дека медијаната е вредноста на податоците од \((n+1)/2\)-ти ред.
– Ако n е парен:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Пример за единечни податоци (n непарни)
Податоци: 7, 2, 9, 4, 3
1) Сортирај: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (непарен)
3) Средна позиција = \((5+1)/2 = 3\)
Медијана = 3-ти податок = 4
Значи, медијаната на податоците е 4.
D. Пример за единечни податоци (n парни)
Податоци: 10, 4, 6, 8
1) Сортирај: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (парен)
3) Средната позиција се 2-риот и 3-тиот податок
Медијана = \((6 + 8)/2 = 7\)
Значи, медијаната на податоците е 7.
E. Важна забелешка: Податоци што имаат фреквенција
Понекогаш еден сет на податоци може да се даде како вредност и фреквенција (на пр., 60 се појавува двапати, 70 се појавува пет пати). Во овој случај, медијаната сè уште се наоѓа врз основа на „подредувањето“ на податоците, но можеме да ја користиме кумулативната фреквенција за да ја одредиме средната позиција без да ги наведеме точките на податоците поединечно. Принципот е ист: пронајдете ја (n+1)/2-та позиција (непарна) или (n/2) и (n/2)+1-ва позиција (парна), а потоа погледнете ги вредностите што ја покриваат таа позиција врз основа на акумулираната фреквенција.
-
3. Пресметување на медијаната за групирани податоци
Групирани податоци се податоци кои се сумирани во класни интервали и нивните фреквенции. На пример: 3 лица со висина од 150–154 см, 8 лица со висина од 155–159 см и така натаму. За разлика од единечните податоци, медијаната на групираните податоци обично не е прецизно одредена бидејќи не ги знаеме поединечните вредности во рамките на интервалот. Затоа, медијаната се пресметува со апроксимација (проценка) користејќи ја медијанската формула за групирани распределби.
A. Важни термини во медијаната на групни податоци
Пред да ја користиме формулата, треба да разбереме неколку компоненти:
– n = вкупна фреквенција (вкупен број на податоци)
– n/2 = кумулативна средна позиција
– Медијанска класа = првата интервална класа што произведува кумулативна фреквенција ≥ n/2
– L = долен раб на средната класа (не долната граница, туку раб на класата; за континуирани податоци обично се користи прилагодување од 0,5 ако податоците се цели броеви)
– F = кумулативна фреквенција пред средната класа
– f = средна фреквенција на класа
– c = должина на класата (ширина на интервалот)
Б. Чекори за одредување на медијаната на групните податоци
1. Креирајте табела за распределба на фреквенции и додадете кумулативна колона за фреквенции.
2. Пресметајте го n (број на фреквенции) и одредете го n/2.
3. Определете ја средната класа, имено класата што вклучува n/2 позиции врз основа на кумулативната фреквенција.
4. Внесете ги вредностите во средната формула за групните податоци.
C. Медијанска формула за групни податоци
\[
Me = L + \left(\frac{\frac{n}{2} – F}{f}\right)\times c
\]
Оваа формула врши линеарна интерполација во рамките на медијанската класа, претпоставувајќи дека податоците се рамномерно распределени низ интервалот на класата.
D. Пример за медијана на групни податоци
На пример, следниве податоци за резултатите од тестот:
| Интервал на вредности | Фреквенција (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Вкупна фреквенција:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) Пресметај n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Кумулативна фреквенција:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
Позицијата 20 е во класата со прв кумулативен резултат ≥ 20, имено 60–69. Значи, ова е средната класа.
4) Одредете ги компонентите:
– L = долен раб на средната класа. За интервалот 60–69, долниот раб е 59,5 (ако податоците се цел број).
– F = кумулативна фреквенција пред средната класа = 13
– f = средна фреквенција на класата = 12
– c = должина на класа = 10
5) Внесете во формулата:
\[
Јас = 59,5 + \left(\frac{20 – 13}{12}\right)\times 10
\]
\[
Јас = 59,5 + \left(\frac{7}{12}\right)\times 10
\]
\[
Јас = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Значи, медијаната на групните податоци е приближно 65,33.
-
4. Чести грешки
Некои вообичаени грешки при пресметување на медијаната:
1. Податоците не се сортирани за единечни податоци, па затоа средната вредност не е точна.
2. Погрешно одредување на позицијата на медијаната кога n е парен (мора да се земе просекот од двете средни вредности).
3. За групни податоци, погрешно е да се избере медијанската класа бидејќи таа не создава кумулативна фреквенција.
4. Користење на долната граница на класата на долен раб (L) кога податоците се континуирани/интервални цели броеви.
5. Неправилно одредување на должината на часот (c), особено ако интервалите се неконзистентни.
-
5. Заклучок
Медијаната е едноставна, но моќна мерка за централна тенденција, особено кога податоците содржат екстремни вредности. За единечни збирки податоци, медијаната се одредува директно од средната позиција откако податоците ќе се сортираат, со различен третман за непарни и парни броеви на збирки податоци. Во меѓувреме, за групирани збирки податоци, медијаната се пресметува со помош на интерполација врз основа на класата на медијаната, кумулативната фреквенција и должината на класата.
Со разбирање на концептот и чекорите, можете брзо и прецизно да ја пресметате медијаната, и врз основа на едноставни податоци и врз основа на податоци сумирани во табели. Во многу аналитички ситуации, медијаната е порепрезентативен избор од средната вредност, особено кога распределбата на податоците е асиметрична или содржи отстапувања.
Ако сакате, можам да додадам и практични прашања заедно со дискусии за да го зајакнам вашето разбирање на медијаната на единечни и групни податоци.
