Како да се пресметаат квартили, децили и перцентили во статистички податоци
Во статистиката, честопати треба да ја одредиме позицијата на вредност во рамките на збир на податоци. Едноставното пресметување на средната вредност или медијаната не е доволно, бидејќи овие мерки не успеваат да опишат како се дистрибуирани податоците и како едно набљудување се споредува со другите. Тука влегуваат во игра квартилите, децилите и перцентилите. Овие три се позициони мерки што ги делат сортираните податоци на еднакви делови. Оваа статија ги разгледува дефинициите, општите чекори и како да се пресметаат квартили, децили и перцентили и за единечни и за групирани збирки на податоци.
-
1. Основен концепт: Податоците мора да бидат сортирани
Пред да се пресметаат квартили, децили или перцентили, најважниот чекор е да се сортираат податоците од најмали до најголеми. Откако податоците ќе бидат сортирани, можеме да ја одредиме локацијата на квартили, децили или перцентили врз основа на нивните индексни позиции.
Општо земено:
– Квартилите ги делат податоците на 4 дела.
– Децилите ги делат податоците на 10 дела.
– Перцентилите ги делат податоците на 100 делови.
Во пракса, квартили, децили и перцентили најчесто се користат за анализа на резултатите од тестовите, податоци за приходите, антропометриски мерења (висина/тежина) и евалуација на перформансите.
-
2. Како да се пресметаат квартили (Q1, Q2, Q3)
A. Квартили во единечни податоци (не групирани)
Квартилите се состојат од:
– Q1: долен квартил (25% од податоците се под него)
– Q2: медијана (50%)
– Q3: горен квартил (75%)
Чекори за пресметување на квартили на единечни податоци:
1. Сортирајте ги податоците.
2. Пресметајте ја квартилната позиција користејќи ја формулата за позиција:
– Позиција Q1 = \((n+1)/4\)
– Позиција Q2 = \(2(n+1)/4\) или \((n+1)/2\)
– Позиција Q3 = \(3(n+1)/4\)
Ако позицијата е цел број, земете ја вредноста на таа позиција. Ако позицијата е дропка, интерполирајте (земете ја вредноста помеѓу двете најблиски точки на податоци).
Еден брз пример:
Сортирани податоци: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Позицијата Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → е помеѓу 2-риот и 3-тиот податок.
Значи, Q1 е помеѓу 6 и 7. Интерполација:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
Б. Квартили во групирани податоци (распределба на фреквенција)
За групирани податоци (на пр. интервали на класи), квартили се пресметуваат со помош на формулата:
\[
Q_k = L + ((k)n – F) n = ...
\]
Информации:
– \(Q_k\): k-ти квартил (k = 1,2,3)
– \(L\): долен раб на квартилната класа
– \(n\): број на податоци (вкупна фреквенција)
– \(F\): кумулативна фреквенција пред квартилната класа
– \(f\): фреквенција во квартилната класа
– \(c\): должина на класата
Општи чекори:
1. Создадете кумулативна фреквенција.
2. Определете ја локацијата на квартилот: \(k/4 \times n\).
3. Пронајдете ја класата што ја содржи таа позиција.
4. Внесете во формулата.
-
3. Како да се пресметаат децили (D1 до D9)
Децилите ги делат податоците на 10 дела, така што:
– \(D_1\) го означува долниот лимит од 10% од податоците,
– \(D_5\) е еднакво на медијаната,
– \(D_9\) означува ограничување на податоци од 90%.
A. Децили во единечни податоци
Формула за позиција на децил:
\[
\text{Позиција } D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
со \(k = 1,2, \tots,9\).
Откако ќе се добие позицијата, методот за земање на вредноста е ист како и за квартилот: ако е цел, земете го директно, ако е дробен, интерполирајте.
-
Б. Децили во групирани податоци
Децилна формула за групирани податоци:
\[
D_k = L + ((k)n – F) n = c) пати
\]
Описот е ист како и за квартилот, само делителот е 10.
Лангка:
1. Пресметај \(k/10 \помножено n\).
2. Определете ја класата на децили врз основа на кумулативната фреквенција.
3. Заменете во формулата.
Децилите често се користат во економската анализа, на пример, делејќи го приходот на луѓето во 10 групи (децил 1 е најсиромашен, а децил 10 е најбогат).
-
4. Како да се пресметаат перцентили (P1 до P99)
Перцентилите се подетални бидејќи ги делат податоците на 100 делови. Вредноста P25 = Q1, P50 = медијана и P75 = Q3. Ова значи дека квартили се всушност посебен случај на перцентили.
A. Перцентили на единечни податоци
Формула за перцентилна позиција:
\[
\text{Позиција } P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
со \(k = 1,2, \tots,99\).
Постапката е иста: сортирај ги податоците, пресметај ја позицијата, потоа земете ја вредноста или интерполирајте.
-
Б. Перцентили во групирани податоци
Формула за процентил за групирани податоци:
\[
P_k = L + ((k)n – F) n = c) пати
\]
Чекорите се идентични со децилите/квартилите:
1. Определете ја позицијата (k/100 пати n).
2. Пронајдете ја перцентилната класа на кумулативната фреквенција.
3. Користете ја формулата.
Перцентилите често се користат во академските и здравствените проценки. На пример, висината на детето на 80-тиот перцентил значи дека детето е повисоко од 80% од децата на негова возраст.
-
5. Важни совети и вообичаени грешки
1. Податоците мора да бидат сортирани (особено за единечни податоци). Без сортирање, квартили/децили/перцентили се бесмислени.
2. Осигурајте се дека користите рабови на класи на групирани податоци (не граници на класи) ако користите континуирани концепти.
3. Кумулативната фреквенција мора да биде точна, бидејќи класата квартил/децил/перцентил се одредува од акумулираната фреквенција.
4. Обрнете внимание на должината на часот (c). Должината на часот не смее да биде погрешна, бидејќи тоа влијае на резултатите од пресметката.
5. Интерполацијата е важна кога позициите не се заоблени. Многу студенти веднаш ги заокружуваат позициите, иако ова може да ја намали точноста.
-
6. Заклучок
Квартилите, децилите и перцентилите се важни статистички алатки за разбирање на дистрибуцијата на податоците. Квартилите се погодни за едноставни резимеа (на пр., во дијаграм со кутии), децилите се корисни за подетални групирања како што е анализата на приходот, додека перцентилите помагаат да се процени позицијата на многу специфична индивидуа во рамките на популацијата. Со разбирање на основните чекори - подредување на податоците, одредување на позицијата и користење на соодветните формули за единечни или групирани податоци - можете да пресметате квартили, децили и перцентили со поголема точност и доверба.
Ако сакате, можам да додадам комплетен пример за табела со групирани податоци (интервал, фреквенција, кумулативна фреквенција), а потоа детално да ги пресметам Q1, D7 и P85 за полесно да вежбате.
