30 Termodinamikas pirmā likuma pielietojums dažos termodinamiskos procesos (izobarisks, izotermisks, izohorisks)
1. Zemāk redzamajā grafikā parādīts termodinamiskais cikls, kurā atrodas gāze. Darbs, ko gāze veic procesā ABCD, ir …
Zināms:
Spiediens 1 (P1 ) = 2 x 105 Pa
Spiediens 2 (P2 ) = 4 x 105 Pa
Tilpums 1 (V1 ) = 1 m3
Tilpums 2 (V2 ) = 3 m3
Vēlams: gāzes veiktais darbs procesā ABCD (W).
šķīdums:
Gāzes veiktais darbs ir vienāds ar ABCD laukumu.
W = (P² – P¹ ) ( V² – V¹ )
W = (4 × 10⁻⁶ – 2 × 10⁻⁶ ) (3 – 1)
W = (2 x 105 ) (2)
W = 4 x 10⁻² džouls
2. Gāzes veiktais darbs procesā ABC ir…
Zināms:
Spiediens 1 (P1 ) = 3 x 105 Pa
Spiediens 2 (P2 ) = 6 x 105 Pa
Tilpums 1 (V1 ) = 20 cm3 = 20 x 10⁻⁶ m3
Tilpums 2 (V2 ) = 60 cm3 = 60 x 10⁻⁶ m3
Vēlams : gāzes paveiktais darbs procesā ABC
šķīdums:
Gāzes veiktais darbs = ABC laukums.
W = ½ (P² – P¹ ) ( V² – V¹ )
W = 1/2 (6 x 10⁻⁶ – 3 x 10⁻¹ )(60 x 10⁻⁶ – 20 x 10⁻⁶ )
W = 1/2 (3 x 10⁻¹ ) (40 x 10⁻³ )
W = 1/2 (120 x 10⁻¹ džouli )
W = 1/2 (12 džouli)
W = 6 džouli
3. Attēlā redzamā gāzes PV diagramma slēgtā traukā. Gāzes veiktais darbs ir parādīts konkrētajā procesā.
Šķīdums
Procesi AB un process DC ir izobāri procesi ( spiediens tiek uzturēts nemainīgs) . Procesi AD un process BC ir izobāri procesi ( tilpums nemainās).
Darbu veica gāze, kad gāze izplešas (process DC).
Šeit ir 9 problēmas un risinājumi, kas saistīti ar izobāru procesu (nemainīgs spiediens):
1 problēma:
3.0 m³ gāzes pie konstanta spiediena tiek saspiesta līdz 2.0 m³. Ja sākotnējā temperatūra ir 300 K, kāda ir beigu temperatūra?
Risinājums:
Izmantojot izobāra procesa vienādojumu: \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\), mēs varam aprēķināt galīgo temperatūru:
\[
\frac{3.0}{300} = \frac{2.0}{T_2} \norāda, ka T_2 = \frac{2.0 \times 300}{3.0} = 200\, \text{K}
\]
2 problēma:
Aprēķiniet darbu, ko veic 2 moli gāzes, izplešoties izobāri no 1 litra līdz 3 litriem pie 2 atm spiediena.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu izobārā procesā paveiktā darba aprēķināšanai: \(W = P \ΔV \):
\[
W = 2\, \text{atm} \x (3 – 1)\, \text{litri} = 4\, \text{atm}\cdot\text{litri}
\]
3 problēma:
Kāda ir iekšējās enerģijas izmaiņa, ja 4 molus ideālas diatomiskās gāzes karsē nemainīgā spiedienā no 200 K līdz 300 K?
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu diatomiskās gāzes iekšējās enerģijas izmaiņu aprēķināšanai pie konstanta spiediena: \( \ΔU = nC_pdT \), kur \(C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
Delta U = 4 x ∫\frac{7}{2} x 8.314 x (300–200) \aptuveni 6990, \text{J}
\]
4 problēma:
Aprēķiniet siltumu, kas rodas izobāras reakcijas laikā, kad 2 moli monatomiskās gāzes izplešas no 5 litriem līdz 10 litriem 400 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu siltuma pārnesei izobārā procesā: \(Q = nC_pdT \), kur \(C_p = \frac{5}{2}R \), un \( \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_1}{T_1} \):
\[
Q = 2 x ∫\frac{5}{2} x 8.314 x ∫\left(400 x ∫\frac{10}{5} – 400 x ∫\right) = 3316, \text{J}
\]
5 problēma:
Nosakiet 3 molu triatomiskās gāzes entalpijas izmaiņas, kas tiek izplestas no 1 litra līdz 2 litriem 200 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot formulu entalpijas izmaiņu aprēķināšanai izobāriskā procesā: \(ΔH = nC_pdT \), kur \(C_p = \frac{f}{2}R \) un \(f = 6 \):
\[
\Delta H = 3 x \frac{6}{2} x 8.314 x \left(200 x \frac{2}{1} – 200\right) = 4989, \text{J}
\]
6 problēma:
Aprēķiniet 2 molu gāzes galīgo tilpumu 300 K temperatūrā un 5 litru sākotnējo tilpumu, kad tā tiek uzkarsēta līdz 500 K pie konstanta spiediena.
Risinājums:
Izmantojot izobāra procesa vienādojumu:
\[
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \norāda, ka V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1} = \frac{5 \times 500}{300} \aptuveni 8.33\, \text{litri}
\]
7 problēma:
Aprēķiniet darbu, ko veic monatomiskā gāze, kad tā tiek saspiesta no 6 litriem līdz 3 litriem pie 2 atmosfēras spiediena.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu darbam, kas veikts izobārā procesā:
\[
W = P \Delta V = 2 x (3 – 6) = -6, \text{atm}\cdot\text{litri}
\]
8 problēma:
Diatomiskā gāze izobariski izplešas no 3 litriem līdz 6 litriem 300 K temperatūrā. Aprēķiniet entropijas izmaiņas.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu entropijas izmaiņu noteikšanai izobārā procesā diatomiskai gāzei, kur \(C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 2 x ∫\frac{7}{2} x 8.314 x ∫\frac{300 x ∫\frac{6}{3}}{300} + 2 x 8.314 x ∫\frac{6}{3} \aptuveni 34.76, \text{J/K}
\]
9 problēma:
Aprēķiniet siltuma pārnesi izobāras saspiešanas laikā, saspiežot 5 molus triatomiskas gāzes no 10 litriem līdz 5 litriem 500 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu siltuma pārneses aprēķināšanai izobārā procesā, kur \(C_p = \frac{f}{2}R \) un \(f = 6 \):
\[
Q = 5 x ∫\frac{6}{2} x 8.314 x ∫\left(500 x ∫\frac{5}{10} – 500 x ∫\right) = -12473, \text{J}
\]
Šīm problēmām vajadzētu sniegt visaptverošu pārskatu par dažādiem ar izobāru procesu saistītiem jēdzieniem.
Šeit ir 9 problēmas un risinājumi, kas saistīti ar izotermisko procesu (nemainīgā temperatūrā):
1 problēma:
Problēma: Aprēķiniet darbu, ko veic 2 moli ideālas gāzes, izotermiski izplešoties no 1 litra līdz 2 litriem 300 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu ideālas gāzes izotermiskā procesā paveiktā darba aprēķināšanai:
\[W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} \]
\[
W = 2 x 8.314 x 300 x ∫₀ (21%) aptuveni 3454, J
\]
2 problēma:
Problēma: Aprēķiniet siltuma pārnesi, kad 3 moli gāzes tiek izotermiski saspiesti no 4 litriem līdz 2 litriem 400 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu siltuma pārneses aprēķināšanai izotermiskā procesā: \(Q = W \):
\[
Q = 3 x 8.314 x 400 x ∫ₜ² (aptuveni -3462), \text{J}
\]
3 problēma:
Nosakiet entropijas izmaiņas, kad 4 moli gāzes izotermiski izplešas no 1 litra līdz 5 litriem 300 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu entropijas izmaiņām izotermiskā procesā:
\[
\Delta S = nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 4 x 8.314 x ∫ln\frac{5}{1} aptuveni 46.15, \text{J/K}
\]
4 problēma:
Aprēķiniet paveikto darbu, kad 1 mols ideālas gāzes tiek izotermiski saspiests no 6 litriem līdz 3 litriem 200 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu darbam, kas veikts izotermiskā procesā:
\[
W = 1 x 8.314 x 200 x ∫ln\frac{3}{6} \aptuveni -575\, \text{J}
\]
5 problēma:
Nosakiet 3 molu gāzes iekšējās enerģijas izmaiņas izotermiskas izplešanās laikā no 2 litriem līdz 6 litriem pie nemainīgas temperatūras.
Risinājums:
Ideālas gāzes izotermiskā procesā iekšējās enerģijas izmaiņas ir nulle:
\[
Delta U = 0, \text{J}
\]
6 problēma:
Aprēķiniet siltuma pārnesi, kad 5 moli gāzes tiek izotermiski izplesti no 3 litriem līdz 6 litriem 250 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu siltuma pārneses aprēķināšanai izotermiskā procesā:
\[
Q = 5 x 8.314 x 250 x ∫ₜ (aptuveni 2879), \text{J}
\]
7 problēma:
Kādu darbu veic 2 moli gāzes izotermiskas saspiešanas laikā no 4 litriem līdz 2 litriem 150 K temperatūrā?
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu darbam, kas veikts izotermiskā procesā:
\[
W = 2 x 8.314 x 150 x ∫ln\frac{2}{4} \aptuveni -1151\, \text{J}
\]
8 problēma:
Aprēķiniet entropijas izmaiņas, kad 3 moli gāzes tiek izotermiski saspiesti no 5 litriem līdz 1 litram 500 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu entropijas izmaiņām izotermiskā procesā:
\[
\Delta S = 3 x 8.314 x ∫ln\frac{1}{5} \aptuveni -34.77\, \text{J/K}
\]
9 problēma:
Nosakiet darbu, ko veic 4 moli ideālas gāzes, izotermiski izplešoties no 2 litriem līdz 8 litriem 100 K temperatūrā.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu darbam, kas veikts izotermiskā procesā:
\[
W = 4 x 8.314 x 100 x ∫₀ (21%) aptuveni 2304, J
\]
Šīs problēmas aptver dažādus ar izotermisko procesu saistītus jēdzienus, piemēram, paveikto darbu, siltuma pārnesi un entropijas izmaiņas.
Šeit ir 9 problēmas un risinājumi, kas saistīti ar izohorisko procesu (nemainīgs tilpums):
1 problēma:
Aprēķiniet iekšējās enerģijas izmaiņas 3 moliem monatomiskas ideālas gāzes, kad temperatūra tiek paaugstināta no 200 K līdz 400 K pie nemainīga tilpuma.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu iekšējās enerģijas izmaiņu aprēķināšanai pie nemainīga tilpuma: \( \ΔU = nC_v \ΔT \), kur \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
Delta U = 3 x ∫\frac{3}{2} x 8.314 x (400–200) \aptuveni 3741, \text{J}
\]
2 problēma:
Nosakiet siltuma pārnesi 2 moliem diatomiskās gāzes, kad temperatūra pie nemainīga tilpuma samazinās no 300 K līdz 200 K.
Risinājums:
Izmantojot siltuma pārneses vienādojumu pie nemainīga tilpuma: \(Q = \ΔU = nC_v\ΔT \), kur \(C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
Q = 2 x ∫\frac{5}{2} x 8.314 x (200–300) \aptuveni -4157\, \text{J}
\]
3 problēma:
Aprēķiniet entropijas izmaiņas 4 moliem triatomiskās gāzes, kad temperatūra pie nemainīga tilpuma paaugstinās no 100 K līdz 300 K.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu entropijas izmaiņu aprēķināšanai pie nemainīga tilpuma, kur \(C_v = \frac{f}{2}R \) un \(f = 6 \):
\[
\Delta S = nC_v\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 x \frac{6}{2} \x 8.314 x \ln\frac{300}{100} \aptuveni 115.36\, \text{J/K}
\]
4 problēma:
Kādu darbu gāze veic izohoriskā procesā?
Risinājums:
Tā kā izohoriskā procesā tilpums ir nemainīgs, darbs netiek veikts:
\[
W = 0\, \text{J}
\]
5 problēma:
Nosakiet siltuma pārnesi 5 moliem monatomiskas ideālas gāzes, kad to atdzesē no 500 K līdz 300 K pie nemainīga tilpuma.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu siltuma pārnesei pie nemainīga tilpuma, kur \(C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
Q = 5 x ∫\frac{3}{2} x 8.314 x (300–500) \aptuveni -6232\, \text{J}
\]
6 problēma:
Aprēķiniet iekšējās enerģijas izmaiņas 1 molam diatomiskās gāzes, kad temperatūra tiek paaugstināta no 150 K līdz 250 K pie nemainīga tilpuma.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu iekšējās enerģijas izmaiņu aprēķināšanai pie nemainīga tilpuma, kur \(C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
Delta U = 1 x ∫\frac{5}{2} x 8.314 x (250–150) \aptuveni 2079, \text{J}
\]
7 problēma:
Nosakiet entropijas izmaiņas 3 moliem monoatomiskas gāzes, kad temperatūra pie nemainīga tilpuma samazinās no 600 K līdz 300 K.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu entropijas izmaiņu aprēķināšanai pie nemainīga tilpuma, kur \(C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
\Delta S = 3 x \frac{3}{2} \x 8.314 \ln\frac{300}{600} \aptuveni -34.59\, \text{J/K}
\]
8 problēma:
Kāda ir siltuma pārnešana 2 moliem triatomiskās gāzes, ja temperatūra tiek paaugstināta no 200 K līdz 400 K pie nemainīga tilpuma?
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu siltuma pārnesei pie nemainīga tilpuma, kur \(C_v = \frac{6}{2}R \):
\[
Q = 2 x ∫\frac{6}{2} x 8.314 x (400–200) \aptuveni 4986\, \text{J}
\]
9 problēma:
Aprēķiniet 4 molu monatomiskas ideālas gāzes iekšējās enerģijas izmaiņas, kad to uzkarsē no 250 K līdz 350 K pie nemainīga tilpuma.
Risinājums:
Izmantojot vienādojumu iekšējās enerģijas izmaiņu aprēķināšanai pie nemainīga tilpuma, kur \(C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
Delta U = 4 x ∫\frac{3}{2} x 8.314 x (350–250) \aptuveni 4986, \text{J}
\]
Šīs problēmas aptver dažādus izohoriskā procesa aspektus, piemēram, siltuma pārnesi, iekšējās enerģijas izmaiņas un entropiju dažādu veidu gāzēm.
