30 Pirmojo termodinamikos dėsnio taikymas kai kuriuose termodinaminiuose procesuose (izobarinis, izoterminis, izochorinis)
1. Žemiau pateiktame grafike parodytas termodinaminis ciklas, kurį patiria dujos. Dujų atliktas darbas procese ABCD yra …
Žinomas:
1 slėgis ( P1 ) = 2 x 105 Pa
2-asis slėgis (P² ) = 4 x 10⁻¹⁵ Pa
1 tūris (V1 ) = 1 m3
2 tūris (V2 ) = 3 m3
Ieškoma: dujų atliktas darbas procese ABCD (W).
sprendimas:
Dujų atliekamas darbas yra lygus ABCD plotui.
W = (P² – P¹ ) ( V² – V¹ )
W = (4 × 10⁻⁶ – 2 × 10⁻⁶ ) (3 – 1)
W = (2 × 10⁻⁻¹ ) (2)
W = 4 x 10⁻⁷ džaulis
2. Dujų atliktas darbas procese ABC yra…
Žinomas:
1-asis slėgis (P² ) = 3 x 10⁻¹⁵ Pa
2-asis slėgis (P² ) = 6 x 10⁻¹⁵ Pa
1 tūris (V1 ) = 20 cm3 = 20 x 10⁻⁶ m3
2 tūris (V2 ) = 60 cm3 = 60 x 10⁻⁶ m3
Ieškoma : dujų atlikto darbo ABC procese.
sprendimas:
Dujų atliktas darbas = ABC plotas.
W = ½ (P² – P¹ ) ( V² – V¹ )
W = 1/2 (6 x 10⁻⁶ – 3 x 10⁻⁶ ) (60 x 10⁻⁶ – 20 x 10⁻⁶ )
W = 1/2 (3 x 10⁻⁶ ) (40 x 10⁻⁶ )
W = 1/2 (120 x 10⁻¹ džaulių )
W = 1/2 (12 džaulių)
W = 6 džaulių
3. Uždarame inde esančių dujų fotovoltinė diagrama, parodyta paveikslėlyje žemiau. Kuriame procese dujų atliktas darbas parodytas.
Sprendimas
Procesai AB ir procesai DC yra izobariniai procesai (slėgis palaikomas pastovus) . Procesai AD ir procesai BC yra izobariniai procesai ( tūris nekinta).
Darbą atliko dujos, kai dujos plečiasi (procesas DC).
Čia pateikiamos 9 problemos ir sprendimai, susiję su izobariniu procesu (pastovus slėgis):
1 problema:
3.0 m³ dujų, esant pastoviam slėgiui, suspaustos iki 2.0 m³. Jei pradinė temperatūra yra 300 K, kokia yra galutinė temperatūra?
Sprendimas:
Naudodami izobarinio proceso lygtį: \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\), galime nustatyti galutinę temperatūrą:
\[
\frac{3.0}{300} = \frac{2.0}{T_2} , t. y. T_2 = \frac{2.0 \times 300}{3.0} = 200\, \text{K}
\]
2 problema:
Apskaičiuokite darbą, kurį atlieka 2 moliai dujų, izobariškai išsiplėtus nuo 1 litro iki 3 litrų esant 2 atmosferų slėgiui.
Sprendimas:
Naudojant izobarinio proceso metu atlikto darbo lygtį: \(W = P \ΔV \):
\[
W = 2\, \text{atm} \times (3 – 1)\, \text{litrai} = 4\, \text{atm}\cdot\text{litrai}
\]
3 problema:
Koks vidinės energijos pokytis, kai 4 moliai idealių diatominių dujų kaitinami esant pastoviam slėgiui nuo 200 K iki 300 K?
Sprendimas:
Naudojant lygtį dviatominių dujų vidinės energijos pokyčiui esant pastoviam slėgiui apskaičiuoti: \( \ΔU = nC_pdT \), kur \(C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
Delta U = 4 × ∫ₙ² × 8.314 × (300–200) × maždaug 6990, \text{J}
\]
4 problema:
Apskaičiuokite šilumos kiekį, išsiskiriantį izobarinio proceso metu, kai 2 moliai vienatominių dujų išsiplečia nuo 5 litrų iki 10 litrų esant 400 K temperatūrai.
Sprendimas:
Naudojant šilumos perdavimo izobariniame procese lygtį: \(Q = nC_pdT \), kur \(C_p = \frac{5}{2}R \), ir \( \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_1}{T_1} \):
\[
Q = 2 × ∫₀ (2 × 8.314 × kairė (400 × 10 × 5 – 400 × dešinė) = 3316, \text{J}
\]
5 problema:
Nustatykite 3 molių triatominių dujų entalpijos pokytį, kai jų tūris išsiplečia nuo 1 litro iki 2 litrų 200 K temperatūroje.
Sprendimas:
Naudojant izobarinio proceso entalpijos pokyčio formulę: \( \Delta H = nC_pdT \), kur \( C_p = \frac{f}{2}R \) ir \( f = 6 \):
\[
\Delta H = 3 × \frac{6}{2} × 8.314 2 × (200 × 1 – 200) = 4989, \text{J}
\]
6 problema:
Apskaičiuokite galutinį 2 molių dujų tūrį esant 300 K temperatūrai ir 5 litrų pradinį tūrį, kai jos įkaitinamos iki 500 K esant pastoviam slėgiui.
Sprendimas:
Naudojant izobarinio proceso lygtį:
\[
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} , t. y. V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1} = \frac{5 \times 500}{300} \apytiksliai 8.33\, \text{litrų}
\]
7 problema:
Raskite darbą, kurį atlieka vienatominės dujos, kai jos suspaudžiamos nuo 6 litrų iki 3 litrų esant 2 atmosferų slėgiui.
Sprendimas:
Naudojant izobarinio proceso metu atlikto darbo lygtį:
\[
W = P ∫ΔV = 2 × (3 – 6) = -6, \text{atm}\cdot\text{litrai}
\]
8 problema:
Diatominės dujos izobariškai išsiplečia nuo 3 litrų iki 6 litrų esant 300 K temperatūrai. Raskite entropijos pokytį.
Sprendimas:
Naudojant lygtį, skirtą diatominių dujų izobarinio proceso entropijos pokyčiui apskaičiuoti, kur \(C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 2 × ≤ ...
\]
9 problema:
Apskaičiuokite šilumos perdavimą izobarinio suspaudimo metu, kai 5 moliai triatominių dujų yra suspaudžiami nuo 10 litrų iki 5 litrų, esant 500 K temperatūrai.
Sprendimas:
Naudojant šilumos perdavimo izobariniame procese lygtį, kur C_p = \frac{f}{2}R ir f = 6:
\[
Q = 5 × ∫\frac{6}{2} × 8.314 × (500 × ∫\frac{5}{10} – 500 × dešinėje) = -12473, \text{J}
\]
Šie uždaviniai turėtų pateikti išsamią įvairių su izobariniu procesu susijusių sąvokų apžvalgą.
Čia pateikiamos 9 problemos ir sprendimai, susiję su izoterminiu procesu (pastovi temperatūra):
1 problema:
Uždavinys: Apskaičiuokite darbą, kurį atlieka 2 moliai idealiųjų dujų, izotermiškai išsiplėtus nuo 1 litro iki 2 litrų 300 K temperatūroje.
Sprendimas:
Naudojant idealiųjų dujų izoterminio proceso metu atlikto darbo lygtį:
\[W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} \]
\[
W = 2 × 8.314 × 300 × ∫ₜ² (apytiksliai 3454), \text{J}
\]
2 problema:
Uždavinys: Raskite šilumos perdavimą, kai 3 moliai dujų izotermiškai suspaudžiami nuo 4 litrų iki 2 litrų 400 K temperatūroje.
Sprendimas:
Naudojant šilumos perdavimo izoterminiame procese lygtį: \(Q = W \):
\[
Q = 3 × 8.314 × 400 × ∫ₜ² (apytiksliai -3462), \text{J}
\]
3 problema:
Nustatykite entropijos pokytį, kai 4 moliai dujų izotermiškai išsiplečia nuo 1 litro iki 5 litrų 300 K temperatūroje.
Sprendimas:
Naudojant entropijos pokyčio izoterminiame procese lygtį:
\[
\Delta S = nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 4 × 8.314 × ln\frac{5}{1} (apytiksliai 46.15), \text{J/K}
\]
4 problema:
Apskaičiuokite darbą, atliekamą, kai 1 mol idealiųjų dujų izotermiškai suspaudžiamas nuo 6 litrų iki 3 litrų esant 200 K temperatūrai.
Sprendimas:
Naudojant izoterminio proceso metu atlikto darbo lygtį:
\[
W = 1 × 8.314 × 200 × ∫ₜ (3 × 6) ~ -575, \text{J}
\]
5 problema:
Nustatykite 3 molių dujų vidinės energijos pokytį izoterminio plėtimosi metu nuo 2 litrų iki 6 litrų pastovioje temperatūroje.
Sprendimas:
Idealių dujų izoterminio proceso metu vidinės energijos pokytis lygus nuliui:
\[
Delta U = 0, \text{J}
\]
6 problema:
Apskaičiuokite šilumos perdavimą, kai 5 moliai dujų izotermiškai išsiplečia nuo 3 litrų iki 6 litrų esant 250 K temperatūrai.
Sprendimas:
Naudojant šilumos perdavimo izoterminiame procese lygtį:
\[
Q = 5 × 8.314 × 250 × ∫ₜ⁻¹ (apytiksliai 2879), \text{J}
\]
7 problema:
Kokį darbą atlieka 2 moliai dujų izoterminio suspaudimo metu nuo 4 litrų iki 2 litrų esant 150 K temperatūrai?
Sprendimas:
Naudojant izoterminio proceso metu atlikto darbo lygtį:
\[
W = 2 × 8.314 × 150 × ∫ₜ (2 × 4) ~ -1151, \text{J}
\]
8 problema:
Raskite entropijos pokytį, kai 3 moliai dujų izotermiškai suspaudžiami nuo 5 litrų iki 1 litro 500 K temperatūroje.
Sprendimas:
Naudojant entropijos pokyčio izoterminiame procese lygtį:
\[
\Delta S = 3 × 8.314 × ln / frac{1}{5} (apytiksliai -34.77), \text{J/K}
\]
9 problema:
Apskaičiuokite darbą, kurį atlieka 4 moliai idealiųjų dujų, izotermiškai išsiplėtus nuo 2 litrų iki 8 litrų 100 K temperatūroje.
Sprendimas:
Naudojant izoterminio proceso metu atlikto darbo lygtį:
\[
W = 4 × 8.314 × 100 × ∫ₜ² (apytiksliai 2304), \text{J}
\]
Šie uždaviniai apima įvairias su izoterminiu procesu susijusias sąvokas, tokias kaip atliktas darbas, šilumos perdavimas ir entropijos pokytis.
Čia pateikiamos 9 problemos ir sprendimai, susiję su izochoriniu procesu (pastovus tūris):
1 problema:
Apskaičiuokite 3 molių vienatominių idealiųjų dujų vidinės energijos pokytį, kai temperatūra esant pastoviam tūriui padidėja nuo 200 K iki 400 K.
Sprendimas:
Naudojant vidinės energijos pokyčio esant pastoviam tūriui lygtį: \( \ΔU = nC_v \ΔT \), kur \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
Delta U = 3 × ∫ₙ² × 8.314 × (400–200) × maždaug 3741, \text{J}
\]
2 problema:
Apskaičiuokite 2 molių dviatominių dujų šilumos perdavimą, kai temperatūra sumažinama nuo 300 K iki 200 K esant pastoviam tūriui.
Sprendimas:
Naudojant šilumos perdavimo esant pastoviam tūriui lygtį: \(Q = \ΔU = nC_v\ΔT \), kur \(C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
Q = 2 × ∫₀ (5²) × 8.314 × (200–300) × apie -4157, \text{J}
\]
3 problema:
Apskaičiuokite 4 molių triatominių dujų entropijos pokytį, kai temperatūra esant pastoviam tūriui padidėja nuo 100 K iki 300 K.
Sprendimas:
Naudojant entropijos pokyčio esant pastoviam tūriui lygtį, kur C_v = \frac{f}{2}R ir f = 6:
\[
\Delta S = nC_v\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 × ∫\frac{6}{2} × 8.314 × ∫\frac{300}{100} ~ maždaug 115.36, \text{J/K}
\]
4 problema:
Kokį darbą atlieka dujos izochorinio proceso metu?
Sprendimas:
Kadangi izochorinio proceso metu tūris yra pastovus, darbas neatliekamas:
\[
W = 0\, \text{J}
\]
5 problema:
Apskaičiuokite 5 molių vienatominių idealiųjų dujų šilumos perdavimą, kai jos atvėsinamos nuo 500 K iki 300 K esant pastoviam tūriui.
Sprendimas:
Naudojant šilumos perdavimo lygtį esant pastoviam tūriui, kur C_v = √(3²)R):
\[
Q = 5 × ∫₀ (3²) × 8.314 × (300–500) × apie -6232, \text{J}
\]
6 problema:
Apskaičiuokite 1 molio dviatominių dujų vidinės energijos pokytį, kai temperatūra esant pastoviam tūriui padidėja nuo 150 K iki 250 K.
Sprendimas:
Naudojant vidinės energijos pokyčio esant pastoviam tūriui lygtį, kur C_v = √(52R):
\[
Delta U = 1 × ∫ₙ² × 8.314 × (250–150) × maždaug 2079, \text{J}
\]
7 problema:
Apskaičiuokite 3 molių monoatominių dujų entropijos pokytį, kai temperatūra esant pastoviam tūriui sumažėja nuo 600 K iki 300 K.
Sprendimas:
Naudojant entropijos pokyčio esant pastoviam tūriui lygtį, kur \(C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
\Delta S = 3 × ∫\frac{3}{2} × 8.314 × ∫\frac{300}{600} \apytiksliai -34.59\, \text{J/K}
\]
8 problema:
Koks yra 2 molių triatominių dujų šilumos perdavimas, kai temperatūra esant pastoviam tūriui padidinama nuo 200 K iki 400 K?
Sprendimas:
Naudojant šilumos perdavimo lygtį esant pastoviam tūriui, kur C_v = √(6²)R):
\[
Q = 2 × ∫₀ (6²) × 8.314 × (400–200) × maždaug 4986, \text{J}
\]
9 problema:
Apskaičiuokite 4 molių vienatominių idealiųjų dujų vidinės energijos pokytį, kai jos kaitinamos nuo 250 K iki 350 K esant pastoviam tūriui.
Sprendimas:
Naudojant vidinės energijos pokyčio esant pastoviam tūriui lygtį, kur C_v = √(52R):
\[
Delta U = 4 × ∫ₙ² × 8.314 × (350–250) × maždaug 4986, \text{J}
\]
Šios problemos apima įvairius izochorinio proceso aspektus, tokius kaip šilumos perdavimas, vidinės energijos pokyčiai ir entropija, skirtingų tipų dujoms.
