ລະບົບຈຳນວນຕົວຈິງ
ລະບົບຕົວເລກຕົວຈິງແມ່ນໜຶ່ງໃນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານທີ່ສຸດໃນຄະນິດສາດ, ເຊິ່ງໃຊ້ເພື່ອສະແດງປະລິມານເກືອບທັງໝົດທີ່ພວກເຮົາພົບໃນຊີວິດປະຈຳວັນ, ຕັ້ງແຕ່ຄວາມຍາວ ແລະ ມວນສານ ຈົນເຖິງອຸນຫະພູມ ຈົນເຖິງຄວາມໄວ ແລະ ເວລາ. ຕົວເລກຕົວຈິງແມ່ນພື້ນຖານສຳລັບສາຂາຕ່າງໆຂອງຄະນິດສາດເຊັ່ນ: ພຶດຊະຄະນິດ, ເລຂາຄະນິດ, ແຄວຄູລັສ, ແລະ ສະຖິຕິ, ແລະ ຍັງເປັນພາສາຫຼັກຂອງວິທະຍາສາດ ແລະ ວິສະວະກຳ. ການເຂົ້າໃຈລະບົບຕົວເລກຕົວຈິງໝາຍເຖິງການເຂົ້າໃຈວ່າຕົວເລກຖືກຈັດປະເພດແນວໃດ, ພວກມັນກ່ຽວຂ້ອງກັນແນວໃດ, ແລະ ວິທີທີ່ຄຸນສົມບັດຂອງພວກມັນຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດປະຕິບັດການຄິດໄລ່ ແລະ ຮູບແບບຕ່າງໆໄດ້ຢ່າງສອດຄ່ອງ.
ເຂົ້າໃຈຕົວເລກຕົວຈິງ
ຈຳນວນຈິງແມ່ນຊຸດຂອງຈຳນວນທັງໝົດທີ່ສາມາດວາງໄວ້ໃນເສັ້ນຈຳນວນໄດ້. ນີ້ລວມທັງຈຳນວນສົມຜົນ ແລະ ຈຳນວນອະສົມຜົນ. ໂດຍສັນຊາດຕະຍານແລ້ວ, ຈຳນວນຈິງປະກອບມີຈຳນວນທັງໝົດທີ່ສາມາດສະແດງເປັນ "ຄ່າ" ຂອງປະລິມານຕໍ່ເນື່ອງ, ຕົວຢ່າງ, ຄວາມຍາວຂອງຕາຕະລາງສາມາດເປັນ 1 ແມັດ, 1,5 ແມັດ, ຫຼືແມ່ນແຕ່ 1,414213 ແມັດ.
ຊຸດຂອງຈຳນວນຈິງມັກຈະຖືກສະແດງດ້ວຍສັນຍາລັກ ℝ. ແຕ່ລະຈຳນວນຈິງມີຕຳແໜ່ງທີ່ເປັນເອກະລັກໃນເສັ້ນຈຳນວນ, ບໍ່ວ່າຈະເປັນລົບ, ສູນ, ຫຼືບວກ.
ການຈັດປະເພດຂອງຕົວເລກໃນລະບົບຕົວເລກຕົວຈິງ
ລະບົບຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງບໍ່ໄດ້ມີຢູ່ຢ່າງດຽວ. ມັນເປັນການຂະຫຍາຍຂອງລະບົບຕົວເລກທີ່ງ່າຍດາຍກວ່າ. ເພື່ອເຂົ້າໃຈມັນ, ພວກເຮົາຈໍາເປັນຕ້ອງເບິ່ງການຈັດປະເພດຂອງຕົວເລກທີ່ປະກອບເປັນມັນ.
1. ຕົວເລກທຳມະຊາດ
ຈຳນວນທຳມະຊາດມັກຈະຖືກສະແດງດ້ວຍ ℕ. ຈຳນວນເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນໃຊ້ເພື່ອນັບວັດຖຸ ແລະ ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວປະກອບມີ:
1, 2, 3, 4, 5, …
ໃນບາງຄຳນິຍາມ, 0 ກໍ່ຖືກລວມຢູ່ໃນຕົວເລກທຳມະຊາດ, ແຕ່ໃນການປະຕິບັດດ້ານການສຶກສາ, ມັກຈະມີການຈຳແນກລະຫວ່າງຕົວເລກຈຳນວນເຕັມ ແລະ ຕົວເລກທຳມະຊາດ.
2. ຕົວເລກທັງໝົດ
ຕົວເລກທັງໝົດປະກອບມີຕົວເລກທຳມະຊາດບວກກັບສູນ:
0, 1, 2, 3, 4, …
ຕົວເລກຈຳນວນເຕັມແມ່ນມີປະໂຫຍດເມື່ອພວກເຮົາຕ້ອງການສະແດງ "ບໍ່ມີຫຍັງ" (ສູນ) ໃນສະພາບການນັບ.
3. ຈຳນວນເຕັມ
ຈຳນວນເຕັມຖືກສະແດງດ້ວຍ ℤ ແລະ ປະກອບມີຈຳນວນເຕັມ ແລະ ຄ່າລົບຂອງມັນ:
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
ຕົວເລກເຕັມແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນສຳລັບການສະແດງສະຖານະການທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບທິດທາງ ຫຼື ຄ່າ “ຕ່ຳກວ່າສູນ”, ເຊັ່ນ: ອຸນຫະພູມຕ່ຳກວ່າຈຸດແຂງຕົວ, ໜີ້ສິນ, ຫຼື ຄວາມສູງຕ່ຳກວ່າລະດັບນ້ຳທະເລ.
4. ຕົວເລກທີ່ສົມເຫດສົມຜົນ
ຈຳນວນເຊີງສົມຜົນຖືກສະແດງດ້ວຍ ℚ. ຕົວເລກນີ້ແມ່ນຕົວເລກທີ່ສາມາດຂຽນໃນຮູບແບບເສດສ່ວນໄດ້:
\[
\frac{p}{q}
\]
ດ້ວຍຈຳນວນເຕັມ \(p\) ແລະ \(q\), ແລະ \(q \neq 0\).
ຕົວຢ່າງຂອງຕົວເລກສົມເຫດສົມຜົນ:
– \(\frac{1}{2} = 0,5\)
– \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
- 2 ສາມາດຂຽນໄດ້ວ່າ \(\frac{2}{1}\)
ລັກສະນະທີ່ສຳຄັນຂອງຈຳນວນສົມຜົນແມ່ນວ່າຮູບແບບທົດສະນິຍົມຂອງມັນສິ້ນສຸດລົງ ຫຼື ຊ້ຳກັນ. ຕົວຢ່າງ:
- 0,25 ຢຸດ
– 0,333… ຊ້ຳ
5. ຕົວເລກທີ່ບໍ່ມີເຫດຜົນ
ຈຳນວນອະສົມຜົນແມ່ນຈຳນວນຈິງທີ່ບໍ່ສາມາດສະແດງໃນຮູບແບບ \(\frac{p}{q}\) ໂດຍທີ່ \(p\) ແລະ \(q\) ເປັນຈຳນວນເຕັມ. ຮູບແບບທົດສະນິຍົມບໍ່ຢຸດ ແລະ ບໍ່ເຮັດຊ້ຳກັນ.
ຕົວຢ່າງຂອງຕົວເລກທີ່ບໍ່ມີເຫດຜົນ:
- \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
- \(\pi = 3,14159265…\)
– \(e = 2,7182818…\)
ຕົວເລກທີ່ບໍ່ມີເຫດຜົນມັກປາກົດຢູ່ໃນເລຂາຄະນິດ (ເຊັ່ນ: ຮາກຂັ້ນສອງຂອງເສັ້ນຂວາງ) ແລະການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດ.
6. ຕົວເລກຕົວຈິງ
ຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງແມ່ນການລວມກັນຂອງຕົວເລກສົມຜົນ ແລະ ຕົວເລກອະສົມຜົນ:
\[
\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\text{irrational})
\]
ເວົ້າອີກຢ່າງໜຶ່ງ, ຕົວເລກທັງໝົດທີ່ສາມາດສະແດງຢູ່ໃນເສັ້ນຈຳນວນແມ່ນຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງ.
ເສັ້ນຈຳນວນ ແລະ ແນວຄວາມຄິດຂອງຄວາມໜາແໜ້ນ
ໜຶ່ງໃນວິທີທີ່ດີທີ່ສຸດໃນການເຂົ້າໃຈຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງແມ່ນຜ່ານເສັ້ນຈຳນວນ. ໃນເສັ້ນນີ້, ແຕ່ລະຈຸດເປັນຕົວແທນຂອງຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງ. ສິ່ງທີ່ໜ້າສົນໃຈແມ່ນ, ລະຫວ່າງສອງຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງ, ຈະມີຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງອີກຕົວໜຶ່ງຢູ່ສະເໝີ. ຕົວຢ່າງ, ລະຫວ່າງ 1 ແລະ 2 ແມ່ນ 1,5; ລະຫວ່າງ 1,5 ແລະ 2 ແມ່ນ 1,75; ແລະອື່ນໆໄປເລື້ອຍໆ.
ຄຸນສົມບັດນີ້ເອີ້ນວ່າຄວາມໜາແໜ້ນ. ທັງຈຳນວນສົມຜົນ ແລະ ຈຳນວນອະສົມຜົນ ແມ່ນມີຄວາມໜາແໜ້ນເທົ່າທຽມກັນໃນເສັ້ນຈຳນວນ: ລະຫວ່າງສອງຈຳນວນຈິງ, ມີຈຳນວນສົມຜົນຫຼາຍອະນັນ ແລະ ຈຳນວນອະສົມຜົນຫຼາຍອະນັນ.
ການດຳເນີນງານພື້ນຖານກ່ຽວກັບຕົວເລກຕົວຈິງ
ຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງສະໜັບສະໜູນການດຳເນີນງານທາງຄະນິດສາດພື້ນຖານຕໍ່ໄປນີ້:
1. ການບວກ: \(a + b\)
2. ການລົບ: \(a – b\)
3. ການຄູນ: \(a \ຄູນ b\)
4. ການຫານ: \(a \div b\), ໂດຍມີເງື່ອນໄຂ \(b \neq 0\)
ການດຳເນີນງານເຫຼົ່ານີ້ມີຄຸນສົມບັດທີ່ສຳຄັນເຊັ່ນ:
- ສະຫຼັບສັບ: \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
- ສຳນວນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
- ການແຈກຢາຍ: \(a(b + c) = ab + ac\)
- ມີຄວາມຄ້າຍຄືກັນ: 0 ສຳລັບການບວກ, 1 ສຳລັບການຄູນ
- ມີຄ່າກົງກັນຂ້າມ: \(-a\) ສຳລັບການບວກ, \(\frac{1}{a}\) ສຳລັບການຄູນ (ສຳລັບ \(a \neq 0\))
ຄຸນສົມບັດເຫຼົ່ານີ້ເຮັດໃຫ້ຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງມີຄວາມໝັ້ນຄົງຫຼາຍໃນຖານະເປັນລະບົບການຄິດໄລ່.
ລໍາດັບ ແລະ ມູນຄ່າຢ່າງແທ້ຈິງ
ຈຳນວນຕົວຈິງຍັງມີຄວາມສຳພັນແບບລຳດັບ. ພວກເຮົາສາມາດປຽບທຽບສອງຈຳນວນຕົວຈິງດ້ວຍເຄື່ອງໝາຍຕໍ່ໄປນີ້:
– \(<\) ນ້ອຍກວ່າ - \(>\) ໃຫຍ່ກວ່າ
- \(\le\) ນ້ອຍກວ່າ ຫຼື ເທົ່າກັບ
- \(\ge\) ໃຫຍ່ກວ່າ ຫຼື ເທົ່າກັບ
ນອກຈາກນັ້ນ, ຍັງມີແນວຄວາມຄິດຂອງຄ່າຢ່າງແທ້ຈິງເຊິ່ງລະບຸໄລຍະຫ່າງຂອງຕົວເລກຈາກສູນ:
\[
|ກ| =
\begin{cases}
a, & \text{if} a \ge 0 \\
-a, & \text{if } a < 0 \end{cases} \] ຕົວຢ່າງ, \(|-5| = 5\) ແລະ \(|3| = 3\).
