ສົມຜົນວົງລີໃນເລຂາຄະນິດ

ສົມຜົນວົງລີໃນເລຂາຄະນິດ

ຮູບວົງຣີເປັນເສັ້ນໂຄ້ງທີ່ສຳຄັນໃນເລຂາຄະນິດ, ເຊິ່ງປາກົດຢູ່ໃນຫຼາກຫຼາຍສະພາບການ, ຕັ້ງແຕ່ຄະນິດສາດບໍລິສຸດຈົນເຖິງການນຳໃຊ້ໃນຟີຊິກ, ວິສະວະກຳ, ແລະ ດາລາສາດ. ເວົ້າງ່າຍໆ, ຮູບວົງຣີສາມາດເຂົ້າໃຈໄດ້ວ່າເປັນ "ວົງມົນທີ່ຍືດອອກ" ເພື່ອໃຫ້ມັນຍາວຂຶ້ນໃນທິດທາງດຽວ. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ຄຳນິຍາມທາງການຂອງຮູບວົງຣີແມ່ນໜ້າສົນໃຈຫຼາຍກວ່າ: ຮູບວົງຣີແມ່ນຊຸດຂອງຈຸດທັງໝົດໃນລະນາບທີ່ຜົນບວກຂອງໄລຍະຫ່າງຂອງພວກມັນຈາກຈຸດຄົງທີ່ສອງຈຸດ (ເອີ້ນວ່າຈຸດໂຟຊີ) ແມ່ນຄົງທີ່ສະເໝີ. ຈາກຄຳນິຍາມນີ້, ສົມຜົນຂອງຮູບວົງຣີສາມາດໄດ້ມາ ແລະ ສຶກສາ, ທັງໃນຮູບແບບມາດຕະຖານ ແລະ ຮູບແບບທົ່ວໄປ.

1. ເຂົ້າໃຈຮູບວົງรี ແລະ ອົງປະກອບຂອງມັນ

ເພື່ອເຂົ້າໃຈສົມຜົນຂອງຮູບວົງຣີ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຮູ້ອົງປະກອບຫຼັກຂອງຮູບວົງຣີ:

1. ຈຸດໃຈກາງຂອງຮູບວົງຣີ (ຈຸດກາງ): ຈຸດກາງຂອງຮູບວົງຣີ, ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວແມ່ນສັນຍະລັກຂອງ \((h, k)\).
2. ແກນຫຼັກ: ເສັ້ນຜ່າສູນກາງທີ່ຍາວທີ່ສຸດຂອງຮູບວົງຣີ.
3. ແກນນ້ອຍ: ເສັ້ນຜ່າສູນກາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດຂອງຮູບວົງຣີທີ່ຕັ້ງສາກກັບແກນໃຫຍ່.
4. ຈຸດໂຟກັສ (foci): ສອງຈຸດຄົງທີ່ທີ່ເຮັດໜ້າທີ່ເປັນເອກະສານອ້າງອີງສຳລັບຄຳນິຍາມຂອງຮູບວົງຣີ, ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວໝາຍເຖິງ \(F_1\) ແລະ \(F_2\).
5. ລັດສະໝີເຄິ່ງຫຼັກ: ເຄິ່ງໜຶ່ງຂອງຄວາມຍາວຂອງແກນຫຼັກ, ເປັນສັນຍາລັກ \(a\).
6. ລັດສະໝີເຄິ່ງໄມເນີ: ເຄິ່ງໜຶ່ງຂອງຄວາມຍາວຂອງແກນໄມເນີ, ໝາຍເຖິງ \(b\).
7. ໄລຍະຫ່າງຈາກຈຸດໃຈກາງຫາຈຸດໂຟກັສ: ໝາຍເຖິງ \(c\), ໂດຍມີຄວາມສຳພັນແບບຮູບໄຂ່ປົກກະຕິ:
\[
c^2 = a^2 – b^2
\]
ຄວາມຂັດແຍ້ງຂອງແນວຄວາມຄິດມັກຈະເກີດຂຶ້ນຢູ່ທີ່ນີ້: ໃນຮູບວົງຣີ, ∑(a) ∑(b) ∑ຈະຢູ່ໃນແກນຫຼັກສະເໝີ ແລະ ຈຸດໂຟກັສຈະຢູ່ເທິງແກນຫຼັກ.

ນອກຈາກນັ້ນ, ຍັງມີແນວຄວາມຄິດຂອງຄວາມຜິດປົກກະຕິ \(e\) ເຊິ່ງວັດແທກ "ຄວາມອຽງອອກໄປທາງນອກ" ຂອງຮູບວົງຣີ:
\[
e = \frac{c}{a}, \quad 0 \le e < 1 \] ຖ້າ \(e = 0\), ຮູບວົງຣີຈະກາຍເປັນວົງມົນ (ເພາະວ່າ \(c = 0\), ຈຸດໂຟກັສຈະຢູ່ໃຈກາງ).

2. ສົມຜົນມາດຕະຖານຂອງຮູບວົງຣີທີ່ມີຈຸດໃຈກາງຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ ຖ້າຮູບວົງຣີມີຈຸດໃຈກາງຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ \((0,0)\) ແລະແກນຂອງມັນຂະໜານກັບແກນພິກັດ, ສົມຜົນຂອງຮູບວົງຣີມີຮູບແບບມາດຕະຖານທີ່ຮູ້ຈັກກັນດີ. ກ) ແກນຫຼັກນອນ ຖ້າແກນຫຼັກຂະໜານກັບແກນ \(x\), ແລ້ວ: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] ດ້ວຍ \(a > b\). ຈຸດໂຟກັສຢູ່ເທິງແກນ \(x\), ຄືຢູ່ທີ່ຈຸດ:
\[
(\pm c, 0), \quad \text{with} c^2 = a^2 – b^2
\]

ຂ) ແກນຫຼັກແນວຕັ້ງ
ຖ້າແກນຫຼັກຂະໜານກັບແກນ y, ແລ້ວ:
\[
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1
\]
ດ້ວຍ \(a > b\). ຈຸດສຸມແມ່ນຢູ່ໃນແກນ \(y\), ຄື:
\[
(0, ∑c), c^2 = a^2 – b^2
\]

ຮູບແບບມາດຕະຖານນີ້ເຮັດໃຫ້ງ່າຍຕໍ່ການອ່ານລັກສະນະຂອງຮູບວົງຣີ: ຄ່າຂອງ \(a\) ແລະ \(b\) ສະແດງຂະໜາດຂອງຮູບວົງຣີໂດຍກົງ, ໃນຂະນະທີ່ \(c\) ກຳນົດຕຳແໜ່ງຂອງຈຸດໂຟກັສ.

3. ສົມຜົນວົງລີຢູ່ໃຈກາງຂອງ \((h,k)\)

ໃນບັນຫາເລຂາຄະນິດວິເຄາະຫຼາຍຢ່າງ, ຮູບວົງຣີບໍ່ໄດ້ຢູ່ໃຈກາງຢູ່ທີ່ຈຸດປະສານງານສະເໝີໄປ. ຖ້າຮູບວົງຣີຢູ່ໃຈກາງຢູ່ທີ່ \((h,k)\), ຫຼັງຈາກນັ້ນສົມຜົນມາດຕະຖານຈະປ່ຽນເປັນ:

ກ) ແກນຫຼັກນອນ
\[
\frac{(xh)^2}{a^2} + \frac{(yk)^2}{b^2} = 1
\]

ຂ) ແກນຫຼັກແນວຕັ້ງ
\[
\frac{(xh)^2}{b^2} + \frac{(yk)^2}{a^2} = 1
\]

ການປ່ຽນແປງນີ້ໂດຍພື້ນຖານແລ້ວແມ່ນພຽງແຕ່ການປ່ຽນ (ການແປ) ຂອງຮູບວົງຣີ, ເຊິ່ງໃນເບື້ອງຕົ້ນແມ່ນຢູ່ໃຈກາງຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ. ຈຸດສຸມຍັງປ່ຽນໄປຫາຈຸດໃຈກາງໃໝ່:
- ສຳລັບແກນຫຼັກນອນ: \((h \pm c, k)\)
- ສຳລັບແກນຫຼັກແນວຕັ້ງ: \((h, k \pm c)\)

4. ຈາກຄຳນິຍາມຂອງຈຸດໂຟກັສຈົນເຖິງສົມຜົນຂອງຮູບວົງຣີ

ຄຳນິຍາມຂອງຮູບວົງຣີທີ່ເປັນຜົນບວກຂອງໄລຍະຫ່າງໄປຫາຈຸດໂຟກັສຄົງທີ່ສອງອັນສາມາດໃຊ້ເປັນພື້ນຖານສຳລັບການໄດ້ຮັບສົມຜົນ. ຕົວຢ່າງ, ສົມມຸດວ່າຈຸດໂຟກັສຢູ່ທີ່ \((c,0)\) ແລະ \((-c,0)\), ແລະຈຸດໜຶ່ງໃນຮູບວົງຣີແມ່ນ \((x,y)\). ໄລຍະຫ່າງຂອງຈຸດນັ້ນໄປຫາແຕ່ລະຈຸດໂຟກັສແມ່ນ:

\[
d_1 = \sqrt{(xc)^2 + y^2}, \quad d_2 = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}
\]

ເນື່ອງຈາກປະລິມານຄົງທີ່:
\[
d_1 + d_2 = 2a
\]

ໂດຍການຈັດການພຶດຊະຄະນິດ (ການຍົກກຳລັງສອງຄັ້ງເພື່ອກຳຈັດຮາກ), ເຮົາໄດ້ຮັບສົມຜົນ:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
ດ້ວຍ \(b^2 = a^2 – c^2\). ນີ້ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າຮູບແບບມາດຕະຖານຂອງວົງຣີບໍ່ພຽງແຕ່ເປັນສູດທີ່ "ຈື່ຈຳ" ເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຕົວຈິງແລ້ວມາຈາກຄຳນິຍາມທາງເລຂາຄະນິດ.

5. ສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງຮູບວົງຣີ ແລະ ການກໍານົດຂອງມັນ

ໃນທາງປະຕິບັດ, ພວກເຮົາມັກພົບກັບສົມຜົນກຳລັງສອງທີ່ມີຕົວແປສອງຕົວທີ່ບໍ່ໄດ້ຢູ່ໃນຮູບແບບມາດຕະຖານ, ຕົວຢ່າງ:
\[
Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0
\]
ສົມຜົນແບບນີ້ສາມາດເປັນຕົວແທນຂອງຮູບວົງຣີ, ຮູບພາຣາໂບລາ, ຫຼື ຮູບໄຮເປີໂບລາ. ເພື່ອຮັບປະກັນວ່າມັນເປັນຮູບວົງຣີ (ມີແກນຂະໜານກັບພິກັດ), ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວ \(A\) ແລະ \(B\) ຕ້ອງເປັນ:
- ເຄື່ອງໝາຍດຽວກັນ (ທັງບວກ ຫຼື ທັງສອງລົບ),
- ແລະໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວບໍ່ມີຂະໜາດດຽວກັນ (ຖ້າພວກມັນມີຂະໜາດດຽວກັນ ແລະ ບໍ່ມີຄຳວ່າ \(xy\), ມັນມີຄວາມເປັນໄປໄດ້ສູງທີ່ຮູບຮ່າງຈະເປັນວົງມົນ).

ເພື່ອປ່ຽນເປັນຮູບວົງຣີມາດຕະຖານ, ວິທີການທີ່ໃຊ້ທົ່ວໄປທີ່ສຸດແມ່ນການເຕີມເຕັມກຳລັງສອງໃນພົດ \(x\) ແລະ \(y\). ຕົວຢ່າງງ່າຍໆ:

\[
4x^2 + 9y^2 – 8x + 18y – 5 = 0
\]

ກຸ່ມ:
\[
4(x^2 − 2x) + 9(y^2 + 2y) = 5
\]
ຕື່ມແບບຟອມກຳລັງສອງໃຫ້ຄົບຖ້ວນ:
\[
4[(x−1)^2–1] + 9[(y+1)^2–1] = 5
\]
\[
4(x−1)^2 + 9(y+1)^2 = 5 + 4 + 9 = 18
\]
ສຳລັບ 18:
\[
\frac{(x-1)^2}{\frac{18}{4}} + \frac{(y+1)^2}{2} = 1
\]
ເຊິ່ງເປັນຮູບແບບມາດຕະຖານຂອງຮູບວົງຣີທີ່ມີຈຸດໃຈກາງເປັນຮູບ \((1,-1)\).

6. ການນຳໃຊ້ຮູບວົງຣີໃນເລຂາຄະນິດ ແລະ ຊີວິດຈິງ

ຮູບວົງຣີບໍ່ພຽງແຕ່ເປັນວັດຖຸທາງທິດສະດີເທົ່ານັ້ນ. ໃນເລຂາຄະນິດ ແລະ ວິທະຍາສາດປະຍຸກ, ຮູບວົງຣີມີບົດບາດສຳຄັນ:

1. ດາລາສາດ (ກົດເກນຂອງເຄບເລີ): ວົງໂຄຈອນຂອງດາວເຄາະເປັນຮູບໄຂ່ໂດຍມີດວງອາທິດຢູ່ທີ່ຈຸດໂຟກັສດຽວ.
2. ທັດສະນະສາດ ແລະ ສຽງ: ຄຸນສົມບັດຂອງການສະທ້ອນແສງແບບຮູບໄຂ່ລະບຸວ່າຄື້ນຈາກຈຸດໂຟກັສໜຶ່ງຈະຖືກສະທ້ອນຜ່ານຈຸດໂຟກັສອື່ນ. ສິ່ງນີ້ຖືກນໍາໃຊ້ໃນການອອກແບບຫໍຄອນເສີດ ຫຼື ກະຈົກສະທ້ອນແສງບາງຊະນິດ.
3. ວິສະວະກຳກົນຈັກ: ເກຍ ຫຼື ກົນໄກແຄມບາງອັນໃຊ້ເສັ້ນທາງຮູບໄຂ່.
4. ສະຖາປັດຕະຍະກຳ: ຮູບຊົງວົງຣີໃຫ້ການປະສົມປະສານຂອງຄວາມງາມ ແລະ ໜ້າທີ່ສຽງ.

ໂດຍການເຂົ້າໃຈສົມຜົນວົງລີ, ພວກເຮົາສາມາດວິເຄາະຂະໜາດ, ຕຳແໜ່ງ, ແລະຄຸນສົມບັດຂອງວົງໂຄຈອນໃນລະບົບຕ່າງໆ.

7. ເຄ ສີມພູລານ

ສົມຜົນຂອງຮູບວົງຣີໃນເລຂາຄະນິດເຊື່ອມຕໍ່ຊ່ອງຫວ່າງລະຫວ່າງຄຳນິຍາມທາງເລຂາຄະນິດ (ຜົນບວກຂອງໄລຍະຫ່າງກັບຈຸດໂຟກັສຄົງທີ່ສອງຈຸດ) ແລະ ຕົວແທນການວິເຄາະ (ສົມຜົນພຶດຊະຄະນິດໃນພິກັດ). ຮູບແບບມາດຕະຖານຂອງຮູບວົງຣີເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການລະບຸຈຸດໃຈກາງ, ຄວາມຍາວຂອງແກນ, ແລະ ຕຳແໜ່ງຂອງຈຸດໂຟກັສ, ໃນຂະນະທີ່ຮູບແບບທົ່ວໄປສາມາດປ່ຽນເປັນຮູບແບບມາດຕະຖານໄດ້ໂດຍການຕື່ມຂໍ້ມູນໃສ່ກຳລັງສອງ. ການເຂົ້າໃຈຮູບວົງຣີບໍ່ພຽງແຕ່ຊ່ວຍແກ້ໄຂບັນຫາເລຂາຄະນິດການວິເຄາະເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງເປີດຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບວິທີທີ່ຄະນິດສາດອະທິບາຍປະກົດການທຳມະຊາດເຊັ່ນ: ວົງໂຄຈອນຂອງດາວເຄາະ ແລະ ຄຸນສົມບັດຂອງການສະທ້ອນຄື້ນ.

ຖ້າທ່ານຕ້ອງການ, ຂ້ອຍຍັງສາມາດເພີ່ມບັນຫາຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາທີ່ສົມບູນ (ເຊັ່ນ: ການກຳນົດຈຸດສຸມ, ຄວາມຜິດປົກກະຕິ, ຫຼື ການແຕ້ມຮູບຮ່າງຂອງຮູບວົງຣີຈາກສົມຜົນຂອງມັນ).