ການໃຊ້ສູດເລກຊີ້ກຳລັງ
ສູດເລກອັລໂປເນນຊຽລ ແມ່ນແນວຄວາມຄິດທາງຄະນິດສາດທີ່ປາກົດຢູ່ເລື້ອຍໆໃນຊີວິດປະຈຳວັນ, ເຖິງແມ່ນວ່າພວກເຮົາມັກຈະບໍ່ຮູ້ຕົວກໍຕາມ. ເມື່ອພວກເຮົາເວົ້າກ່ຽວກັບການເຕີບໂຕຂອງປະຊາກອນ, ດອກເບ້ຍປະສົມໃນບັນຊີເງິນຝາກປະຢັດ, ການແຜ່ລະບາດຂອງໄວຣັດ, ການເນົ່າເປື່ອຍຂອງສານກຳມັນຕະພາບລັງສີ, ແລະແມ່ນແຕ່ການເຕີບໂຕຂອງຜູ້ໃຊ້ແອັບພລິເຄຊັນດິຈິຕອນ, ທັງໝົດນີ້ສາມາດຖືກຈຳລອງໂດຍໃຊ້ຮູບແບບທີ່ຄ້າຍຄືກັນ: ການປ່ຽນແປງທີ່ "ຄູນ" ຕາມການເວລາ. ຮູບແບບນີ້ແມ່ນລັກສະນະຕົ້ນຕໍຂອງເລກອັລໂປເນນຊຽລ. ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບຄຳນິຍາມຂອງສູດເລກອັລໂປເນນຊຽລ, ຮູບແບບທົ່ວໄປຂອງມັນ, ວິທີການນຳໃຊ້ມັນ, ພ້ອມກັບຕົວຢ່າງການນຳໃຊ້ ແລະ ຄຳແນະນຳສຳລັບການຫຼີກລ່ຽງຄວາມຜິດພາດໃນການຄິດໄລ່.
1. ເອັກໂປເນນຊຽລ ແມ່ນຫຍັງ?
ເວົ້າງ່າຍໆ, ການຍົກກຳລັງແມ່ນຮູບແບບຂອງການຄິດໄລ່ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບກຳລັງ. ຖ້າພວກເຮົາຂຽນວ່າ \(a^n\), ແລ້ວ \(a\) ຈະຖືກເອີ້ນວ່າຖານ ແລະ \(n\) ຈະຖືກເອີ້ນວ່າກຳລັງ ຫຼື ເລກຍົກກຳລັງ. ຕົວຢ່າງງ່າຍໆ: \(2^3 = 8\), ຊຶ່ງໝາຍຄວາມວ່າ 2 ຄູນດ້ວຍຕົວມັນເອງສາມເທື່ອ: \(2 \ຄູນ 2 \ຄູນ 2\).
ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ໃນສະພາບການຂອງການສ້າງແບບຈຳລອງ, "ສູດເລກຊີ້ກຳລັງ" ມັກຈະໝາຍເຖິງຟັງຊັນທີ່ມີຄ່າເພີ່ມຂຶ້ນ ຫຼື ຫຼຸດລົງຕາມຕົວຄູນຄົງທີ່ໃນໄລຍະເວລາທີ່ກຳນົດ. ຕົວຢ່າງ, ຕົວເລກທີ່ເພີ່ມຂຶ້ນຢ່າງຕໍ່ເນື່ອງ 10% ໃນແຕ່ລະປີໝາຍຄວາມວ່າຄ່າຂອງມັນຈະຖືກຄູນດ້ວຍ 1,10 ໃນແຕ່ລະປີ. ນີ້ແມ່ນຮູບແບບເລກຊີ້ກຳລັງ - ບໍ່ໄດ້ເພີ່ມຂຶ້ນຕາມຈຳນວນທີ່ກຳນົດໄວ້, ແຕ່ເພີ່ມຂຶ້ນຕາມອັດຕາສ່ວນທີ່ກຳນົດໄວ້.
2. ຮູບແບບທົ່ວໄປຂອງສູດເລກຊີ້ອັລໂປເນນຊຽລ
ມີສູດຄິດໄລ່ເອັກໂປເນນຊຽລສອງຮູບແບບທີ່ມັກໃຊ້ຫຼາຍທີ່ສຸດຄື:
1) ການເຕີບໂຕ/ການເນົ່າເປື່ອຍແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ (ອີງຕາມໄລຍະເວລາທີ່ແນ່ນອນ)
\[
N(t) = N_0 ຄູນ a^t
\]
ຂໍ້ມູນ:
– \(N(t)\): ຄ່າໃນເວລາ \(t\)
– \(N_0\): ຄ່າເລີ່ມຕົ້ນ
– \(a\): ຕົວຄູນສຳລັບແຕ່ລະໄລຍະ (ຕົວຢ່າງ: 1,10 ສຳລັບການເພີ່ມຂຶ້ນ 10%; 0,90 ສຳລັບການຫຼຸດລົງ 10%)
– \(t\): ຈຳນວນໄລຍະເວລາ (ເຊັ່ນ: ປີ, ເດືອນ, ມື້)
2) ການເຕີບໂຕ/ການເສື່ອມໂຊມຢ່າງຕໍ່ເນື່ອງ (ຮູບແບບອັດຕາຕໍ່ເນື່ອງ)
\[
N(t) = N_0 \ຄູນ e^{rt}
\]
ຂໍ້ມູນ:
– \(e\) ແມ່ນຈຳນວນຂອງ Euler (ປະມານ 2,71828)
- ອັດຕາການເຕີບໂຕຢ່າງຕໍ່ເນື່ອງ (ສາມາດເປັນບວກສຳລັບການເຕີບໂຕ, ເປັນລົບສຳລັບການຫົດຕົວ)
- ເວລາ \(t\)
ໃນຫຼາຍໆກໍລະນີຂອງໂຮງຮຽນ ຫຼື ການນຳໃຊ້ຕົວຈິງງ່າຍໆ, ຮູບແບບທີ່ບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ \(N(t)=N_0 a^t\) ແມ່ນພຽງພໍ. ຮູບແບບຕໍ່ເນື່ອງມັກຖືກນຳໃຊ້ໃນການວິເຄາະທີ່ເລິກເຊິ່ງກວ່າ, ຕົວຢ່າງເຊັ່ນ ໃນແຄລຄູລັສ, ຟີຊິກສາດ, ຫຼື ການສ້າງແບບຈຳລອງການລະບາດ.
3. ຂັ້ນຕອນໃນການໃຊ້ສູດເລກຊີ້ອັລໂປເນນຊຽລ
ເພື່ອຫຼີກເວັ້ນຄວາມສັບສົນ, ໃຫ້ປະຕິບັດຕາມຂັ້ນຕອນເຫຼົ່ານີ້ເມື່ອເຮັດວຽກກ່ຽວກັບບັນຫາເອັກໂປເນຊັນ:
1) ກຳນົດຄ່າເບື້ອງຕົ້ນຂອງ \(N_0\)
ນີ້ແມ່ນປະລິມານໃນຕອນເລີ່ມຕົ້ນຂອງການສັງເກດການ (ປີທີ 1, ມື້ທີ 0, ແລະອື່ນໆ).
2) ລະບຸວ່າມັນແມ່ນການເຕີບໂຕ ຫຼື ການເນົ່າເປື່ອຍ.
- ການເຕີບໂຕ: ມູນຄ່າເພີ່ມຂຶ້ນ (ປັດໄຈ \(a > 1\) ຫຼື \(r>0\))
- ການເສື່ອມສະພາບ: ຄ່າຈະນ້ອຍລົງ (ປັດໄຈ \(0)
5) ຄິດໄລ່ຜົນໄດ້ຮັບ ໃຊ້ເຄື່ອງຄິດເລກຖ້າເລກຊີ້ກຳລັງມີຂະໜາດໃຫຍ່ ຫຼື ມີຕົວເລກທົດສະນິຍົມ. 4. ຕົວຢ່າງຂອງການນຳໃຊ້ການເຕີບໂຕແບບເອັກໂປເນນຊຽລ ຕົວຢ່າງທີ 1: ດອກເບ້ຍປະສົມແບບງ່າຍໆ ບຸກຄົນຜູ້ໜຶ່ງອອມເງິນໄດ້ 5.000.000 ຣູປີ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 8% ຕໍ່ປີ, ດອກເບ້ຍຈະຖືກຈ່າຍ ແລະ ບວກໃສ່ຍອດເງິນໃນຕອນທ້າຍຂອງແຕ່ລະປີ (ດອກເບ້ຍປະສົມ). ຍອດເງິນຫຼັງຈາກ 5 ປີແມ່ນເທົ່າໃດ? ໃຫ້: - \(N_0 = 5.000.000\) - \(a = 1 + 0,08 = 1,08\) - \(t = 5\) ສູດ: \[ N(5) = 5.000.000 \ຄູນ (1,08)^5 \] ຄ່າ \((1,08)^5 \ປະມານ 1,4693\) ດັ່ງນັ້ນ: \[ N(5) \ປະມານ 5.000.000 \ຄູນ 1,4693 = 7.346.500 \] ຍອດເງິນປະມານ Rp7.346.500 (ຂຶ້ນກັບການປັດເສດ). ຕົວຢ່າງທີ 2: ການເຕີບໂຕຂອງຜູ້ໃຊ້ແອັບພລິເຄຊັນ ແອັບພລິເຄຊັນມີຜູ້ໃຊ້ 20.000 ຄົນ. ຈຳນວນຜູ້ໃຊ້ເພີ່ມຂຶ້ນ 25% ຕໍ່ເດືອນ. ຈະມີຜູ້ໃຊ້ຈັກຄົນຫຼັງຈາກ 6 ເດືອນ? - \(N_0 = 20.000\) - \(a = 1,25\) - \(t = 6\) \[ N(6) = 20.000 \ຄູນ 1,25^6 \] ເນື່ອງຈາກ \(1,25^6 \ປະມານ 3,8147\), ຫຼັງຈາກນັ້ນ: \[ N(6) \ປະມານ 20.000 \ຄູນ 3,8147 = 76.294 \] ສະນັ້ນ ຜູ້ໃຊ້ແມ່ນປະມານ 76.294 ຫຼັງຈາກ 6 ເດືອນ. 5. ຕົວຢ່າງຂອງການນຳໃຊ້ການເສື່ອມໂຊມແບບເອັກໂປເນນຊຽລ ຕົວຢ່າງທີ 3: ການເສື່ອມລາຄາຂອງສິນຄ້າ (ການເສື່ອມລາຄາ) ລົດຈັກທີ່ມີມູນຄ່າ 18.000.000 ຣູປີ ປະສົບກັບການເສື່ອມລາຄາ 12% ຕໍ່ປີ. ມູນຄ່າຂອງມັນຫຼັງຈາກ 4 ປີແມ່ນເທົ່າໃດ? - \(N_0 = 18.000.000\) - ຫຼຸດລົງ 12% → \(a = 0,88\) - \(t = 4\) \[ N(4) = 18.000.000 \ຄູນ 0,88^4 \] ເນື່ອງຈາກ \(0,88^4 \ປະມານ 0,5997\), ແລ້ວ: \[ N(4) \ປະມານ 18.000.000 \ຄູນ 0,5997 = 10.794.600 \] ຄ່າແມ່ນປະມານ Rp10.794.600. ຕົວຢ່າງທີ 4: ການເນົ່າເປື່ອຍຂອງສານ ສົມມຸດວ່າສານຫຼຸດລົງ 5% ທຸກໆຊົ່ວໂມງ. ຖ້າໃນເບື້ອງຕົ້ນມັນແມ່ນ 200 ກຣາມ, ຈະເຫຼືອເທົ່າໃດຫຼັງຈາກ 10 ຊົ່ວໂມງ?
- \(N_0=200\) - \(a=0,95\) - \(t=10\) \[ N(10)=200 \ຄູນ 0,95^{10} \] ເນື່ອງຈາກ \(0,95^{10} \approx 0,5987\): \[ N(10)\approx 200 \times 0,5987 = 119,74 \] ສ່ວນທີ່ເຫຼືອປະມານ 119,74 ກຣາມ. 6. ການກຳນົດເວລາ (ການຊອກຫາ \(t\)) ດ້ວຍໂລກາລິດ ບາງຄັ້ງຄຳຖາມບໍ່ແມ່ນຄ່າສຸດທ້າຍ, ແຕ່ເປັນ "ມັນໃຊ້ເວລາດົນນານປານໃດ". ສຳລັບສິ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາຕ້ອງການໂລກາລິດ. ຖ້າ: \[ N(t) = N_0 a^t \] ແລ້ວ: \[ \frac{N(t)}{N_0} = a^t \] ເອົາ log: \[ t = \frac{\log\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}{\log(a)} \] ຕົວຢ່າງໄວໆ: ເງິນຝາກປະຢັດເພີ່ມຂຶ້ນ 10% ຕໍ່ປີ. ມັນຈະເພີ່ມຂຶ້ນສອງເທົ່າເມື່ອໃດ? - \(a=1,10\) - \(\frac{N(t)}{N_0}=2\) \[ t = \frac{\log(2)}{\log(1,10)} \approx \frac{0,3010}{0,0414} \approx 7,27 \] ສະນັ້ນປະມານ 7,27 ປີ. 7. ຄວາມຜິດພາດທົ່ວໄປເມື່ອໃຊ້ສູດ exponential 1) ການປ່ຽນເປີເຊັນເປັນຕົວຄູນ 10% ບໍ່ຖືກຕ້ອງແທນທີ່ຈະເປັນ 0,10 ເປັນຕົວຄູນຫຼັກ, ແຕ່ເປັນ 1,10 ສຳລັບການເຕີບໂຕ. 2) ຫົວໜ່ວຍເວລາທີ່ບໍ່ຖືກຕ້ອງ ຖ້າອັດຕາສ່ວນແມ່ນຕໍ່ເດືອນ, ຢ່າໃຊ້ \(t\) ໃນປີທີ່ບໍ່ມີການປ່ຽນແປງ. 3) ຄວາມຜິດພາດຂອງການເຕີບໂຕແບບ exponential ສຳລັບການເຕີບໂຕເສັ້ນຊື່ ເສັ້ນຊື່ເພີ່ມ "ຈຳນວນຄົງທີ່," ຕົວຢ່າງ, +5 ໃນແຕ່ລະໄລຍະ. Exponential ເພີ່ມ "ອັດຕາສ່ວນຄົງທີ່," ດັ່ງນັ້ນການເພີ່ມຂຶ້ນຈະໃຫຍ່ຂຶ້ນຕາມການເວລາ. 4) ການປັດເສດໄວເກີນໄປ ພະຍາຍາມບັນທຶກຕົວເລກບາງຕົວຢູ່ກາງການຄິດໄລ່, ປັດເສດພວກມັນໃນຕອນທ້າຍ. 8. ສະຫຼຸບ ການໃຊ້ສູດ exponential ຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາເຂົ້າໃຈປະກົດການທີ່ປ່ຽນແປງແບບ exponential ຕາມການເວລາ. ໂດຍການຮູ້ຄ່າເບື້ອງຕົ້ນ \(N_0\), ການກຳນົດປັດໄຈການເຕີບໂຕ/ການເສື່ອມສະພາບ \(a\), ແລະເວລາ \(t\), ພວກເຮົາສາມາດຄາດຄະເນຄ່າໃນອະນາຄົດ ຫຼື ຄິດໄລ່ວ່າມັນຈະໃຊ້ເວລາດົນປານໃດເພື່ອບັນລຸເປົ້າໝາຍ. ສູດນີ້ມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນເສດຖະສາດ, ວິທະຍາສາດ, ເຕັກໂນໂລຊີ, ແລະ ຫຼາຍດ້ານຂອງຊີວິດຈິງ. ສິ່ງສຳຄັນແມ່ນຄວາມສອດຄ່ອງຂອງຫົວໜ່ວຍ ແລະ ຄວາມຖືກຕ້ອງໃນການປ່ຽນອັດຕາສ່ວນເປັນປັດໄຈ. ເມື່ອທ່ານໄດ້ຮຽນຮູ້ພື້ນຖານແລ້ວ, ບັນຫາ exponential ຈະຮູ້ສຶກງ່າຍຂຶ້ນ ແລະ ມີຄວາມໝາຍ. ຖ້າທ່ານຕ້ອງການ, ຂ້ອຍສາມາດເພີ່ມບັນຫາການຝຶກຊ້ອມ ແລະ ຄຳອະທິບາຍ, ຫຼື ດັດແປງບົດຄວາມນີ້ສຳລັບນັກຮຽນປະຖົມ, ມັດທະຍົມຕອນຕົ້ນ ຫຼື ມັດທະຍົມຕອນປາຍ.
