ຮູບແບບຊ້ຳໆໃນພຶດຊະຄະນິດ
ໃນຄະນິດສາດ, ໂດຍສະເພາະພຶດຊະຄະນິດ, ພວກເຮົາມັກຈະພົບກັບຮູບແບບ: ຄວາມສະໝໍ່າສະເໝີທີ່ເກີດຂຶ້ນຈາກລຳດັບຂອງຕົວເລກ, ຮູບຮ່າງ, ຫຼື ຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງສັນຍາລັກຕ່າງໆ. ໜຶ່ງໃນວິທີທີ່ມີປະສິດທິພາບທີ່ສຸດໃນການອະທິບາຍຮູບແບບເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນຜ່ານການຊ້ຳຊ້ອນ. ການຊ້ຳຊ້ອນໝາຍຄວາມວ່າພວກເຮົາກຳນົດວັດຖຸ (ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວແມ່ນລຳດັບ ຫຼື ຟັງຊັນ) ໂດຍການອ້າງອີງເຖິງຄ່າກ່ອນໜ້ານີ້ຂອງມັນ. ແທນທີ່ຈະຂຽນສູດທີ່ຊັດເຈນທີ່ໃຫ້ຄ່າທີ n ທັນທີ, ພວກເຮົາສ້າງກົດລະບຽບ “ເທື່ອລະຂັ້ນຕອນ.” ວິທີການນີ້ເບິ່ງຄືວ່າງ່າຍດາຍ, ແຕ່ຄວາມໝາຍຂອງມັນມີຄວາມເລິກຊຶ້ງ, ຍ້ອນວ່າໂຄງສ້າງພຶດຊະຄະນິດ ແລະ ຂະບວນການຄິດໄລ່ຫຼາຍຢ່າງສາມາດເຂົ້າໃຈໄດ້ຢ່າງຈະແຈ້ງກວ່າຜ່ານຮູບແບບຊ້ຳຊ້ອນ.
Recursion ໃນພຶດຊະຄະນິດແມ່ນຫຍັງ?
ໂດຍທົ່ວໄປ, ຄຳນິຍາມແບບ recursive ປະກອບດ້ວຍສອງອົງປະກອບຄື:
1. ເງື່ອນໄຂເບື້ອງຕົ້ນ (ພື້ນຖານ): ຄ່າເບື້ອງຕົ້ນທີ່ກາຍເປັນຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ.
2. ກົດແບບຊ້ຳຊ້ອນ: ຄວາມສຳພັນທີ່ອະທິບາຍວິທີການສ້າງພະຍາງຕໍ່ໄປຈາກພະຍາງກ່ອນໜ້ານີ້.
ຕົວຢ່າງ, ລຳດັບ \(\{a_n\}\) ສາມາດກຳນົດໄດ້ໂດຍ:
– \(a_1 = 2\)
– \(a_{n+1} = 3a_n + 1\)
ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າເພື່ອຮູ້ \(a_5\), ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຮູ້ \(a_4\), ແລະ ອື່ນໆຈົນກວ່າພວກເຮົາຈະກັບຄືນໄປຫາຖານ \(a_1\). ນີ້ສະທ້ອນໃຫ້ເຫັນເຖິງ “ຮູບແບບຄ່ອຍໆເປັນຄ່ອຍໆໄປ” ທີ່ມັກຈະປາກົດຢູ່ໃນບັນຫາພຶດຊະຄະນິດ, ເຊັ່ນ: ການເຕີບໂຕ, ການຄູນ, ຫຼື ການຫັນປ່ຽນຊ້ຳໆ.
ລຳດັບຄະນິດສາດ ແລະ ເລຂາຄະນິດເປັນການຊ້ຳຄືນ
ສອງລຳດັບຄລາສສິກທີ່ສຸດໃນພຶດຊະຄະນິດ - ເລກຄະນິດ ແລະ ເລຂາຄະນິດ - ແມ່ນເກີດຂຶ້ນຊ້ຳໆຕາມທຳມະຊາດ.
ລຳດັບເລກຄະນິດມີຄວາມແຕກຕ່າງກັນຄົງທີ່ \(d\). ຄຳນິຍາມແບບຊ້ຳຊ້ອນຂອງມັນ:
– \(a_1 = c\)
– \(a_{n+1} = a_n + d\)
ໃນຂະນະທີ່ລຳດັບເລຂາຄະນິດມີອັດຕາສ່ວນຄົງທີ່ \(r\):
– \(a_1 = c\)
- \(a_{n+1} = r ດອດ a_n\)
ໃນຂະນະທີ່ທັງສອງມີຮູບແບບທີ່ຊັດເຈນ, ຄຳນິຍາມແບບຊ້ຳໆມັກຈະ "ບອກເລື່ອງ" ໄດ້ດີກວ່າ. ຕົວຢ່າງ, ການເຕີບໂຕຂອງທຶນທີ່ມີການເພີ່ມຂຶ້ນປະຈຳເດືອນຄົງທີ່ເໝາະສົມກັບຄະນິດສາດ, ໃນຂະນະທີ່ການເຕີບໂຕຂອງເຊື້ອແບັກທີເຣັຍ (ການຄູນ) ແມ່ນໃກ້ຄຽງກັບເລຂາຄະນິດ.
ຕົວຢ່າງທີ່ນິຍົມ: ລຳດັບ Fibonacci
ໜຶ່ງໃນຮູບແບບ recursive ທີ່ມີຊື່ສຽງທີ່ສຸດແມ່ນ Fibonacci:
– \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\)
– \(F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}\) ສຳລັບ \(n \ge 3\)
ຄວາມເປັນເອກະລັກຂອງ Fibonacci ບໍ່ພຽງແຕ່ຢູ່ໃນສູດຂອງມັນເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງຢູ່ໃນວິທີທີ່ມັນສ້າງຄວາມສັບສົນຈາກກົດລະບຽບງ່າຍໆ. ໃນພຶດຊະຄະນິດ, Fibonacci ມັກຈະເປັນຂົວຕໍ່ສູ່ການສົນທະນາກ່ຽວກັບແມັດຕຣິກ, ພະຫຸພົດລັກສະນະ, ແລະແມ່ນແຕ່ທິດສະດີຕົວເລກ. ຮູບແບບການຊ້ຳຊ້ອນນີ້ຍັງສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າລຳດັບສາມາດຂຶ້ນກັບຫຼາຍກວ່າໜຶ່ງຄ່າກ່ອນໜ້ານີ້, ບໍ່ແມ່ນພຽງແຕ່ຄ່າດຽວ.
ການປ່ຽນ Recursion ເປັນສູດ Explicit
ເຖິງແມ່ນວ່າການຊໍ້າຄືນເປັນຂະບວນການໜຶ່ງ, ແຕ່ໃນພຶດຊະຄະນິດພວກເຮົາມັກຈະຕ້ອງການສູດທີ່ຊັດເຈນເພື່ອຄິດໄລ່ພົດທີ n ໄດ້ງ່າຍໂດຍບໍ່ຕ້ອງຄິດໄລ່ພົດທີ່ຜ່ານມາທັງໝົດ. ຂະບວນການສຳລັບການແປງນີ້ແມ່ນຂຶ້ນກັບປະເພດຂອງການຊໍ້າຄືນ.
ການຊໍ້າຊ້ອນເສັ້ນຊື່ລຳດັບທຳອິດ
Misalnya:
– \(a_{n+1} = pa_n + q\)
ອັນນີ້ເອີ້ນວ່າ ການຊໍ້າຊ້ອນເສັ້ນຊື່ລຳດັບທີໜຶ່ງ. ໂດຍການໃຊ້ການທົດແທນຊ້ຳໆ, ພວກເຮົາສາມາດຊອກຫາຮູບແບບທົ່ວໄປ. ໂດຍສະຕິປັນຍາແລ້ວ, ຜົນກະທົບຂອງ \(q\) ຈະສະສົມ, ໃນຂະນະທີ່ \(a_1\) ໄດ້ຮັບການຄູນຊ້ຳໆດ້ວຍ \(p\). ເມື່ອ \(p \neq 1\), ຜົນໄດ້ຮັບທົ່ວໄປແມ່ນ:
\[
a_n = p^{n-1}a_1 + q\frac{p^{n-1}-1}{p-1}
\]
ສູດນີ້ສະແດງໃຫ້ເຫັນໂຄງສ້າງພຶດຊະຄະນິດຂອງມັນ: ພົດທຳອິດຖືກ "ດຶງ" ໂດຍເລກຊີ້ກຳລັງ \(p\), ໃນຂະນະທີ່ຄ່າຄົງທີ່ \(q\) ປະກອບເປັນຊຸດເລຂາຄະນິດຊະນິດໜຶ່ງ.
ການຊໍ້າຊ້ອນເສັ້ນຊື່ລຳດັບທຳອິດ
ສຳລັບ Fibonacci ແລະຍາດພີ່ນ້ອງຂອງມັນ, ເຕັກນິກທີ່ໃຊ້ເລື້ອຍໆແມ່ນສົມຜົນລັກສະນະ. ຕົວຢ່າງ:
– \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\)
ສົມມຸດວ່າຄຳຕອບຢູ່ໃນຮູບແບບ \(a_n = r^n\), ແລ້ວເຮົາຈະໄດ້:
\[
r^n = r^{n-1} + r^{n-2} \ລູກສອນຂວາ r^2 = r + 1
\]
ຈາກບ່ອນນີ້, ຮາກຂອງສົມຜົນກຳລັງສອງໄດ້ປະກົດຂຶ້ນ, ເຊິ່ງຫຼັງຈາກນັ້ນປະກອບເປັນສູດທີ່ຊັດເຈນ. ນີ້ສະແດງໃຫ້ເຫັນເຖິງຄວາມສຳພັນທີ່ໃກ້ຊິດລະຫວ່າງພຶດຊະຄະນິດແບບຊ້ຳຊ້ອນ ແລະ ພຶດຊະຄະນິດພະຫຸພົດ.
ການຊໍ້າຊ້ອນເປັນເຄື່ອງມືສຳລັບການສ້າງແບບຈຳລອງຂະບວນການພຶດຊະຄະນິດ
ຮູບແບບການຊ້ຳຊ້ອນບໍ່ພຽງແຕ່ປາກົດຢູ່ໃນລຳດັບຕົວເລກເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງປາກົດຢູ່ໃນຂະບວນການພຶດຊະຄະນິດເຊັ່ນ: ການຊ້ຳຄືນຂອງຟັງຊັນ, ອັລກໍຣິທຶມການຫານ, ຫຼື ການສ້າງພະຫຸພົດ.
ການເຮັດຊ້ຳຟັງຊັນ
ຖ້າຟັງຊັນ \(f(x)\) ຖືກນຳໃຊ້ຊ້ຳໆ:
– \(x_{n+1} = f(x_n)\)
ນີ້ແມ່ນການຊໍ້າຄືນ. ຕົວຢ່າງ, ວິທີການຂອງນິວຕັນສຳລັບການຊອກຫາຮາກຂອງສົມຜົນໃຊ້ການຊໍ້າຄືນ:
\[
x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
ເຖິງແມ່ນວ່າສິ່ງນີ້ຈະປະກອບມີການວິເຄາະດ້ານຕົວເລກ, ແຕ່ໂຄງສ້າງພື້ນຖານຍັງຄົງເປັນພຶດຊະຄະນິດ: ພວກເຮົາໃຊ້ກົດລະບຽບດຽວກັນຊ້ຳແລ້ວຊ້ຳອີກ ແລະ ນຳໃຊ້ຜົນໄດ້ຮັບທີ່ຜ່ານມາ.
ອັລກໍຣິທຶມຂອງ Euclid
ເພື່ອຊອກຫາ GCF (ຕົວຄູນຮ່ວມທີ່ໃຫຍ່ທີ່ສຸດ), ອັລກໍຣິທຶມຂອງ Euclid ເຮັດວຽກແບບ recursive:
- \(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)
ງ່າຍດາຍແຕ່ມີພະລັງຫຼາຍ, ແລະ ເປັນພື້ນຖານສຳລັບຫົວຂໍ້ພຶດຊະຄະນິດທີ່ສູງກວ່າເຊັ່ນ: ວົງແຫວນ, ອຸດົມການ, ແລະ ແມ້ກະທັ້ງເລກຄະນິດແບບໂມດູນໃນການເຂົ້າລະຫັດ.
ຮູບແບບຊ້ຳຊ້ອນໃນພະຫຸພົດ
ໃນພຶດຊະຄະນິດ, ຄອບຄົວທີ່ສຳຄັນຫຼາຍຄອບຄົວຂອງພະຫຸພົດໄດ້ຖືກກຳນົດແບບຊ້ຳໆ. ຕົວຢ່າງ, ພະຫຸພົດ Chebyshev \(T_n(x)\) ມີຄວາມສຳພັນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:
– \(T_0(x)=1\), \(T_1(x)=x\)
– \(T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)\)
ຄຳນິຍາມນີ້ອະນຸຍາດໃຫ້ສ້າງພະຫຸພົດໄດ້ເປັນຂັ້ນຕອນ, ເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການພິສູດຄຸນສົມບັດຂອງມັນ. ການຊໍ້າຊ້ອນແບບນີ້ມັກຖືກນໍາໃຊ້ໃນວິທີການຄິດໄລ່ເພາະມັນຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດສ້າງພະຫຸພົດລະດັບສູງໂດຍບໍ່ຕ້ອງເລີ່ມຕົ້ນຈາກສູນໃນແຕ່ລະຄັ້ງ.
ຫຼັກຖານການຊໍ້າຊ້ອນ ແລະ ການອິນດັກຊັນ
ພະລັງຂອງການຊໍ້າຄືນຍັງປາກົດຢູ່ໃນວິທີທີ່ພວກເຮົາພິສູດປະໂຫຍກພຶດຊະຄະນິດ. ຖ້າວັດຖຸຖືກສ້າງຂຶ້ນແບບຊໍ້າຄືນ, ຫຼັກຖານທຳມະຊາດທີ່ມາພ້ອມກັບມັນແມ່ນການຊັກນຳທາງຄະນິດສາດ. ການຊັກນຳປະຕິບັດຕາມໂຄງສ້າງດຽວກັນ:
1. ພິສູດຄວາມຈິງສຳລັບກໍລະນີພື້ນຖານ.
2. ສົມມຸດວ່າຄ່າຈິງສຳລັບ \(n=k\).
3. ພິສູດວ່າ \(n=k+1\) ເປັນຈິງໂດຍໃຊ້ສົມມຸດຕິຖານເຫຼົ່ານີ້.
ຕົວຢ່າງ, ຖ້າລຳດັບຖືກກຳນົດແບບຊ້ຳໆ, ພວກເຮົາສາມາດພິສູດສູດທີ່ຊັດເຈນຂອງມັນໄດ້ໂດຍການອຸນນະພູມ: ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າມັນເປັນຄວາມຈິງສຳລັບ \(n=1\), ຈາກນັ້ນໃຊ້ກົດຊ້ຳໆເພື່ອຮັບຮູບແບບ \(n+1\). ດັ່ງນັ້ນ, ການຊ້ຳໆບໍ່ພຽງແຕ່ເປັນເຄື່ອງມືນິຍາມເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງເປັນແຜນທີ່ທີ່ນຳພາວິທີການພິສູດອີກດ້ວຍ.
ເປັນຫຍັງຮູບແບບການຊໍ້າຊ້ອນຈຶ່ງສຳຄັນ?
ມີຫຼາຍເຫດຜົນທີ່ວ່າຮູບແບບການຊ້ຳຊ້ອນຈຶ່ງມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນພຶດຊະຄະນິດ:
- ການເຮັດໃຫ້ຄຳນິຍາມງ່າຍຂຶ້ນ: ວັດຖຸຫຼາຍຢ່າງທີ່ສັບສົນສາມາດອະທິບາຍໄດ້ດ້ວຍກົດລະບຽບນ້ອຍໆທີ່ຊໍ້າກັນ.
- ສະທ້ອນໃຫ້ເຫັນເຖິງຂະບວນການທີ່ແທ້ຈິງ: ການເຕີບໂຕ, ການເຮັດຊ້ຳ, ແລະ ການຫັນປ່ຽນເທື່ອລະກ້າວຕາມການຊໍ້າຊ້ອນ.
- ເປັນພື້ນຖານຂອງອັລກໍຣິທຶມ: ຈາກ GCF ຈົນເຖິງການສ້າງພະຫຸພົດ, ຂັ້ນຕອນການຄິດໄລ່ຫຼາຍຢ່າງແມ່ນແບບຊ້ຳໆ.
- ການເຊື່ອມຕໍ່ຫົວຂໍ້ກ່ຽວກັບພຶດຊະຄະນິດ: ການຊ້ຳຊ້ອນນຳເອົາລຳດັບ, ຟັງຊັນ, ພະຫຸພົດ, ແມັດຕຣິກ ແລະ ທິດສະດີຈຳນວນມາລວມກັນໃນພາສາດຽວ.
Penutup
ຮູບແບບການຊໍ້າຊ້ອນໃນພຶດຊະຄະນິດເນັ້ນໜັກເຖິງວິທີທີ່ສິ່ງຕ່າງໆສ້າງຂຶ້ນຈາກສິ່ງທີ່ມີມາກ່ອນ. ຕັ້ງແຕ່ເລກຄະນິດ, ເລຂາຄະນິດ, ແລະລຳດັບ Fibonacci ຈົນເຖິງພະຫຸພົດພິເສດ ແລະ ອັລກໍຣິທຶມຂອງ Euclid, ການຊໍ້າຊ້ອນສະເໜີໂຄງສ້າງທີ່ງ່າຍດາຍແຕ່ອຸດົມສົມບູນ. ການເຂົ້າໃຈການຊໍ້າຊ້ອນໝາຍເຖິງການເຂົ້າໃຈຮູບແບບ, ແລະ ການເຂົ້າໃຈຮູບແບບປູທາງໃຫ້ແກ່ການສ້າງແບບຈຳລອງ, ການພິສູດ, ແລະ ການຄິດໄລ່ທີ່ມີປະສິດທິພາບຫຼາຍຂຶ້ນ. ໃນທີ່ສຸດ, ການຊໍ້າຊ້ອນສອນພວກເຮົາວ່າໃນພຶດຊະຄະນິດ, ຂັ້ນຕອນນ້ອຍໆທີ່ສອດຄ່ອງກັນສາມາດສ້າງແນວຄວາມຄິດທີ່ມີຄວາມໝາຍໃຫຍ່ກວ່າ.
