ພື້ນຖານຂອງຟັງຊັນປີ້ນກັບກັນ
ໃນຄະນິດສາດ, ຟັງຊັນແມ່ນກົດເກນທີ່ສ້າງແຜນທີ່ແຕ່ລະອົງປະກອບຂອງຊຸດໜຶ່ງ (ໂດເມນ) ກັບອົງປະກອບໜຶ່ງຂອງຊຸດອື່ນ (ໂຄໂດເມນ). ໃນບັນດາແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນຕ່າງໆໃນຟັງຊັນ, ຟັງຊັນອິນເວີດສ໌ຖືຕຳແໜ່ງພື້ນຖານເພາະມັນຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາ "ປີ້ນກັບ" ຂະບວນການສ້າງແຜນທີ່. ຖ້າຟັງຊັນປ່ຽນອິນພຸດໄປເປັນຜົນຜະລິດ, ຟັງຊັນອິນເວີດສ໌ - ຖ້າມັນມີຢູ່ - ມີຈຸດປະສົງເພື່ອສົ່ງຄືນຜົນຜະລິດນັ້ນໄປຫາອິນພຸດເດີມ. ບົດຄວາມນີ້ສົນທະນາກ່ຽວກັບຄຳນິຍາມຂອງມັນ, ເງື່ອນໄຂສຳລັບການມີຢູ່, ວິທີການນິຍາມມັນ, ພ້ອມທັງຕົວຢ່າງ ແລະ ການນຳໃຊ້ຕ່າງໆ.
1. ເຂົ້າໃຈຟັງຊັນປີ້ນກັບກັນ
ສົມມຸດວ່າມີຟັງຊັນ \( f \) ທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ \( x \) ກັບ \( f(x) \). ຟັງຊັນປີ້ນກັບຂອງ \( f \), ຂຽນວ່າ \( f^{-1} \), ເປັນຟັງຊັນທີ່ຕອບສະໜອງ:
\[
f^{-1}(f(x)) = x
\]
ສຳລັບແຕ່ລະ \(x\) ໃນໂດເມນຂອງຟັງຊັນ \(f\), ແລະ ຍັງມີ
\[
f(f^{-1}(y)) = y
\]
ສຳລັບແຕ່ລະ \( y \) ໃນຊ່ວງຂອງຟັງຊັນ \( f \).
ເວົ້າອີກຢ່າງໜຶ່ງ, ຟັງຊັນອິນເວີຊັນຍົກເລີກການເຮັດວຽກຂອງຟັງຊັນເດີມ. ຖ້າ \( f \) ຖືກຖືວ່າເປັນ "ຂະບວນການ," ແລ້ວ \( f^{-1} \) ແມ່ນຂະບວນການອິນເວີຊັນຂອງມັນ. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ມັນເປັນສິ່ງສຳຄັນທີ່ຈະເນັ້ນໜັກ: ສັນຍະລັກ \( f^{-1} \) ບໍ່ໄດ້ໝາຍຄວາມວ່າ \( \frac{1}{f} \). ສິ່ງນີ້ມັກຖືກເຂົ້າໃຈຜິດໂດຍນັກຮຽນ. ສັນຍະລັກໝາຍເຖິງອິນເວີຊັນ, ບໍ່ແມ່ນສ່ວນກັບໃນຄວາມໝາຍເສດສ່ວນ.
2. ໂດເມນ, ໂຄໂດເມນ, ແລະ ຂອບເຂດຂອງຟັງຊັນທີ່ປີ້ນກັບກັນ
ເພື່ອໃຫ້ແນວຄວາມຄິດຂອງອິນເວີສມີຄວາມຊັດເຈນ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງເຂົ້າໃຈຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງຊຸດໃນຟັງຊັນ.
- ໂດເມນ: ຊຸດຂອງອິນພຸດທັງໝົດທີ່ສາມາດປ້ອນຟັງຊັນ \(f\).
- ໂຄໂດເມນ: ຊຸດຂອງຜົນຜະລິດເປົ້າໝາຍຕາມນິຍາມຂອງຟັງຊັນ.
- ຂອບເຂດ (ພື້ນທີ່ຜົນໄດ້ຮັບ): ຊຸດຂອງຜົນຜະລິດທີ່ສ້າງຂຶ້ນຈາກໂດເມນ.
ສຳລັບຟັງຊັນປີ້ນກັບກັນ, ມີການປີ້ນກັບບົດບາດ:
- ໂດເມນຂອງ \( f^{-1} \) ແມ່ນຂອບເຂດຂອງ \( f \).
- ຂອບເຂດຂອງ \( f^{-1} \) ແມ່ນໂດເມນຂອງ \( f \).
ນີ້ແມ່ນເຫດຜົນທີ່ວ່າບໍ່ແມ່ນທຸກຟັງຊັນຈະມີຄ່າປີ້ນກັບກັນ: ຖ້າຜົນຜະລິດຂອງຟັງຊັນບໍ່ "ເປັນເອກະລັກ" ເມື່ອທຽບກັບອິນພຸດ, ມັນຈະບໍ່ສາມາດກຳນົດຄ່າປີ້ນກັບກັນໄດ້ຢ່າງເປັນເອກະລັກ.
3. ເງື່ອນໄຂສຳລັບຟັງຊັນທີ່ຈະມີຄ່າປີ້ນກັບ
ຟັງຊັນ \(f\) ມີຟັງຊັນປີ້ນກັບ (ເຊິ່ງເປັນຟັງຊັນໜຶ່ງ) ຖ້າ \(f\) ເປັນ bijective, ນັ້ນຄື:
1. ການສັກ (ໜຶ່ງຕໍ່ໜຶ່ງ): ແຕ່ລະການປ້ອນຂໍ້ມູນທີ່ແຕກຕ່າງກັນຈະຜະລິດຜົນຜະລິດທີ່ແຕກຕ່າງກັນ.
ຢ່າງເປັນທາງການ, ຖ້າ \( f(a)=f(b) \) ແລ້ວ \( a=b \).
2. ເຊີວິເຈຕິກ (ໃສ່): ທຸກໆອົງປະກອບຂອງໂຄໂດເມນຖືກແຜນທີ່ໂດຍໂດເມນ.
ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າຂອບເຂດແມ່ນຄືກັນກັບໂຄໂດເມນ.
ໃນສະພາບການຂອງໂຮງຮຽນ, ການເນັ້ນໜັກມັກຈະຢູ່ທີ່ຄຸນສົມບັດການສີດເຂົ້າຂອງອິນເວີສເປັນຟັງຊັນ. ຖ້າຟັງຊັນບໍ່ແມ່ນອິນເວີສ, ຜົນຜະລິດດຽວສາມາດມາຈາກອິນພຸດສອງອັນທີ່ແຕກຕ່າງກັນ, ດັ່ງນັ້ນ “ການປີ້ນກັບ” ຈຶ່ງບໍ່ໄດ້ສ້າງຄ່າທີ່ເປັນເອກະລັກ.
ການທົດສອບເສັ້ນນອນ
ສຳລັບຟັງຊັນທີ່ສາມາດແຕ້ມກຣາຟໄດ້, ມີວິທີການປະຕິບັດຕົວຈິງເພື່ອກວດສອບຄວາມສາມາດໃນການສັກ: ການທົດສອບເສັ້ນນອນ.
ຖ້າເສັ້ນນອນແຕ່ລະເສັ້ນຕັດກັບກຣາຟໄດ້ສູງສຸດໜຶ່ງຈຸດ, ຟັງຊັນດັ່ງກ່າວຈະເປັນໜຶ່ງຕໍ່ໜຶ່ງ ແລະ ມີຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະມີຄ່າປີ້ນກັບ.
4. ວິທີການກຳນົດຟັງຊັນປີ້ນກັບ
ໂດຍທົ່ວໄປ, ຂັ້ນຕອນສຳລັບການຊອກຫາຄ່າປີ້ນຂອງຟັງຊັນພຶດຊະຄະນິດແມ່ນ:
1. ຂຽນ \( y = f(x) \).
2. ສະຫຼັບບົດບາດຂອງ \( x \) ແລະ \( y \): ເຮັດໃຫ້ \( x \) ເປັນຟັງຊັນຂອງ \( y \).
3. ແກ້ສົມຜົນເພື່ອໃຫ້ໄດ້ \( y \).
4. ຜົນສຸດທ້າຍແມ່ນ \( y = f^{-1}(x) \).
ລອງມາເບິ່ງຕົວຢ່າງ.
ຕົວຢ່າງທີ 1: ຟັງຊັນເສັ້ນຊື່
ຕົວຢ່າງ \( f(x)=2x+3).
ຂັ້ນຕອນ:
1. \( y = 2x + 3 \)
2. ສະຫຼັບ: \( x = 2y+3 \)
3. ແກ້: \( x-3 = 2y \rightarrow y = \frac{x-3}{2} \)
4. ສະນັ້ນ \( f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2} \)
ພວກເຮົາສາມາດກວດສອບໄດ້:
\[
f(f^{-1}(x)) = 2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3 = x-3+3=x
\]
ນັ້ນໝາຍຄວາມວ່າມັນເປັນຄວາມຈິງ.
ຕົວຢ່າງທີ 2: ຟັງຊັນກຳລັງສອງ (ຕ້ອງການຂໍ້ຈຳກັດໂດເມນ)
ຕົວຢ່າງ, \( f(x)=x^2 \). ມັນມີຄ່າປີ້ນບໍ?
ບັນຫາແມ່ນ \( f(2)=4 \) ແລະ \( f(-2)=4 \). ສະນັ້ນມັນບໍ່ແມ່ນການສັກເຂົ້າໄປໃນຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງທັງໝົດ. ເພື່ອໃຫ້ມີຄ່າປີ້ນກັບ, ໂດເມນຕ້ອງຖືກຈຳກັດ, ຕົວຢ່າງ \( x \ge 0 \).
ຖ້າໂດເມນແມ່ນ \( [0,\infty) \), ຫຼັງຈາກນັ້ນຄ່າປີ້ນກັບແມ່ນ:
\[
f^{-1}(x) = x
\]
ຖ້າໂດເມນແມ່ນ \( (-\infty,0] \), ຫຼັງຈາກນັ້ນການປີ້ນກັບແມ່ນ:
\[
f^{-1}(x) = -x
\]
ນີ້ສະແດງໃຫ້ເຫັນເຖິງຄວາມສຳຄັນຂອງໂດເມນໃນຟັງຊັນປີ້ນກັບ.
ຕົວຢ່າງທີ 3: ຟັງຊັນເຊີງຄະນິດແບບງ່າຍໆ
ຕົວຢ່າງ \( f(x)=\frac{x-1}{x+2} \) ໂດຍມີເງື່ອນໄຂ \( x \ne -2 \).
1. \( y = \frac{x-1}{x+2} \)
2. ສະຫຼັບ: \( x=\frac{y-1}{y+2} \)
3. ແກ້ສົມຜົນສຳລັບ \( y\):
\( x(y+2)=y-1 \ລູກສອນຂວາ xy+2x=y-1 \ລູກສອນຂວາ xy-y = -1-2x \ລູກສອນຂວາ y(x-1)=-(1+2x) \ລູກສອນຂວາ y=\frac{-(1+2x)}{x-1} \)
4. ດັ່ງນັ້ນ:
\[
f^{-1}(x)=\frac{-(1+2x)}{x-1}
\]
ໃຫ້ສັງເກດວ່າ \( x \ne 1 \) (ເພາະວ່ານັ້ນແມ່ນຈຸດທີ່ເຮັດໃຫ້ຕົວຫານເປັນສູນຢູ່ດ້ານກົງກັນຂ້າມ).
5. ຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງກຣາຟຟັງຊັນ ແລະ ຕົວປີ້ນ
ໃນດ້ານເລຂາຄະນິດ, ກຣາຟຂອງ \( y=f(x) \) ແລະ \( y=f^{-1}(x) \) ແມ່ນຮູບກະຈົກຂອງກັນແລະກັນ ເມື່ອທຽບກັບເສັ້ນ \( y=x \). ນີ້ແມ່ນຍ້ອນວ່າໃນດ້ານກົງກັນຂ້າມ, ຄູ່ລຳດັບ \((x,y)\) ຈະກາຍເປັນ \((y,x)\).
ຕົວຢ່າງ, ຖ້າຈຸດ \((1,5)\) ຢູ່ເທິງກຣາຟ \( y=f(x) \), ແລ້ວຈຸດ \((5,1)\) ຢູ່ເທິງກຣາຟ \( y=f^{-1}(x) \).
ຄວາມເຂົ້າໃຈນີ້ເຮັດໃຫ້ພວກເຮົາກວດສອບຜົນໄດ້ຮັບທີ່ກົງກັນຂ້າມໄດ້ງ່າຍຂຶ້ນ, ໂດຍສະເພາະສຳລັບຟັງຊັນງ່າຍໆ.
6. ອົງປະກອບຂອງໜ້າທີ່ ແລະ ເອກະລັກ
ຄ່າປີ້ນກັບກັນແມ່ນກ່ຽວຂ້ອງຢ່າງໃກ້ຊິດກັບອົງປະກອບຂອງຟັງຊັນ. ຖ້າ \( f \) ມີຄ່າປີ້ນກັບກັນ, ແລ້ວ:
\[
(f \circ f^{-1})(x) = x \quad \text{ແລະ} \quad (f^{-1} \circ f)(x) = x
\]
ຊຶ່ງໝາຍຄວາມວ່າອົງປະກອບຂອງທັງສອງຜະລິດຟັງຊັນເອກະລັກ, ຄືຟັງຊັນທີ່ສົ່ງຄືນຂໍ້ມູນປ້ອນເຂົ້າຕາມທີ່ມັນເປັນ.
ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ໃຫ້ສັງເກດວ່າໂດເມນຕ້ອງກົງກັນ. ຕົວຢ່າງ, \( f^{-1}(f(x)) \) ຖືສຳລັບ \( x \) ໃນໂດເມນຂອງ \( f \), ໃນຂະນະທີ່ \( f(f^{-1}(x)) \) ຖືສຳລັບ \( x \) ໃນໂດເມນຂອງ \( f^{-1} \) (ເຊັ່ນ: ຂອບເຂດຂອງ \( f \)).
7. ການນຳໃຊ້ຟັງຊັນປີ້ນກັບກັນ
ຟັງຊັນອິນເວີຊັນບໍ່ພຽງແຕ່ເປັນແນວຄວາມຄິດທີ່ບໍ່ມີຕົວຕົນເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງຖືກນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນຂົງເຂດຕ່າງໆ:
1. ການແກ້ໄຂສົມຜົນ: ຖ້າພວກເຮົາມີ \( y=f(x) \) ແລະ ຕ້ອງການຊອກຫາ \( x \) ຈາກຄ່າຂອງ \( y \), ໃຫ້ໃຊ້ຄ່າກັບ.
2. ການປ່ຽນຫົວໜ່ວຍ ແລະ ຂະໜາດ: ຕົວຢ່າງ, ການປ່ຽນອຸນຫະພູມ Celsius ເປັນ Fahrenheit ແລະ ໃນທາງກັບກັນ ແມ່ນຄູ່ຂອງຟັງຊັນປີ້ນກັບກັນ.
3. ການເຂົ້າລະຫັດແບບງ່າຍໆ: ຂະບວນການເຂົ້າລະຫັດ ແລະ ຖອດລະຫັດມັກຈະເປັນການດຳເນີນງານທີ່ກົງກັນຂ້າມກັນ (ແນວຄວາມຄິດປີ້ນກັບກັນ).
4. ຮູບແບບວິທະຍາສາດ: ສູດຟີຊິກຫຼາຍສູດສາມາດປີ້ນກັບກັນໄດ້, ຕົວຢ່າງຈາກ \( s=vt \) ເຮົາໄດ້ \( v=\frac{s}{t} \) ຫຼື \( t=\frac{s}{v} \) ພາຍໃຕ້ເງື່ອນໄຂສະເພາະ.
8. ຄວາມຜິດພາດທົ່ວໄປທີ່ຄວນຫຼີກລ່ຽງ
ຂໍ້ຜິດພາດທົ່ວໄປບາງຢ່າງແມ່ນ:
- ສົມມຸດວ່າ \( f^{-1}(x) \) ຄືກັນກັບ \( \frac{1}{f(x)} \).
- ລືມຂຽນ ຫຼື ກວດສອບໂດເມນ ແລະ ເງື່ອນໄຂວ່າຕົວສ່ວນບໍ່ແມ່ນສູນ.
- ບໍ່ສົນໃຈວ່າຟັງຊັນຕ້ອງເປັນໜຶ່ງຕໍ່ໜຶ່ງ ເພື່ອໃຫ້ອິນເວີເຊນຂອງມັນກາຍເປັນຟັງຊັນໄດ້.
- ບໍ່ໄດ້ກວດສອບຜົນໄດ້ຮັບກັບອົງປະກອບ \( f(f^{-1}(x)) \) ຫຼື \( f^{-1}(f(x)) \).
Penutup
ຟັງຊັນປີ້ນກັບກັນແມ່ນແນວຄວາມຄິດທີ່ອະທິບາຍວິທີການທີ່ມັນສາມາດປີ້ນກັບກັນໄດ້ ເພື່ອໃຫ້ຜົນຜະລິດກັບຄືນສູ່ອິນພຸດເດີມ. ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ບໍ່ແມ່ນທຸກຟັງຊັນຈະມີອິນເວີດກັນ; ຂໍ້ກຳນົດຫຼັກແມ່ນວ່າຟັງຊັນຕ້ອງເປັນສອງເຈັກຕິບ (ຫຼືຢ່າງໜ້ອຍກໍ່ເປັນອິນເວີດກັນໃນໂດເມນສະເພາະ). ໂດຍການເຂົ້າໃຈວິທີການຊອກຫາອິນເວີດກັນ, ຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງໂດເມນ ແລະ ລະດັບ, ຄຸນສົມບັດການປະກອບ, ແລະ ການຕີຄວາມໝາຍກຣາຟຂອງມັນ, ພວກເຮົາຈະກຽມພ້ອມທີ່ດີກວ່າສຳລັບບັນຫາພຶດຊະຄະນິດຕ່າງໆ ແລະ ການນຳໃຊ້ໃນໂລກຕົວຈິງ. ການເປັນແມ່ບົດພື້ນຖານຂອງຟັງຊັນປີ້ນກັບກັນຍັງໃຫ້ການກະກຽມທີ່ຈຳເປັນສຳລັບຫົວຂໍ້ຄະນິດສາດທີ່ກ້າວໜ້າກວ່າ, ເຊັ່ນ: ໂລກາລິດ (ອິນເວີດກັນຂອງເລກຊີ້ກຳລັງ), ຕີໂກໂນມິຕີປີ້ນກັບກັນ, ແລະ ແຄລຄູລັສ.
