Rotatiounsbewegung – Problemer a Léisungen

Rotatiounsbewegung - Problemer a Léisungen

Torque

1. E Balken mat enger Längt vun 140 cm. Dräi Kräften wierken op de Balken, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N an F3 = 40 N, _mat enger Richtung a Positioun wéi an der Figur hei ënnendrënner gewisen. Wéi en Dréimoment dréit de Balken ëm de Massezentrum vum Balken?

Bekannt: Rotatiounsbewegung – Problemer a Léisungen 1

De Massezentrum läit am Zentrum vum Balken.

Längt vum Balken (l) = 140 cm = 1.4 Meter

Kraaft 1 (F1 ₎ = 20 N, den Hebelaarm 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 Meter

Kraaft 2 (F2 ₎ = 10 N, den Hebelaarm 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 Meter

Kraaft 3 (F3 ₎ = 40 N, den Hebelaarm 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 Meter

Gewënscht: D'Gréisst vum Dréimoment

Léisung:

Den Dréimoment 1 dréit sech am Auerzäresënn, dofir gëtt dem Dréimoment 1 e negativt Zeeche zougewisen.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Den Dréimoment 2 dréit de Balken géint den Auerzäresënn, wouduerch dem Dréimoment 2 e positivt Zeeche kritt.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N}₎ (0.3 m) = 3 N m

Den Dréimoment 3 dréit sech am Auerzäresënn, dofir gëtt dem Dréimoment 3 e positivt Zeeche zougewisen.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 Nm

Den Netto-Dréimoment:

Στ = -14 Nm + 3 Nm - 28 Nm = - 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

D'Gréisst vum Dréimoment ass 39 N m. D'Dréirichtung vum Balken am Auerzäresënn gëtt dofir mat engem negativen Zeeche zougewisen.

2. Wat ass den Nettodréimoment, deen op de Balken wierkt? D'Rotatiounsachs um Punkt D. (sin 53 ^o = 0.8)

Bekannt:

D'Rotatiounsachs um Punkt D Rotatiounsbewegung – Problemer a Léisungen 2

F ₁ = 10 N an l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 Meter

F ₂ = 10√2 N an l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 Meter

F ₃ = 20 N an l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 Meter

Gewënscht: Den Netto-Dréimoment

Léisung:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0.32 m) = 3.2 Nm

(Den Dréimoment 1 dréit sech géint den Auerzäresënn, dofir gi mir dem Dréimoment 1 e positivt Zeechen zou)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Den Dréimoment 2 dréit sech am Auerzäresënn, dofir gi mir dem Dréimoment 2 e Minuszeechen zou)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0.1 m) = 2 Nm

(Den Dréimoment 3 dréit sech géint den Auerzäresënn, dofir gi mir dem Dréimoment 3 e positivt Zeechen zou)

Den Netto-Dréimoment:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Wat ass den Nettodréimoment wann d'Rotatiounsachs um Punkt D ass. (sin 53 ^o = 0.8)

Bekannt:

D'Rotatiounsachs um Punkt D. Rotatiounsbewegung – Problemer a Léisungen 3

Distanz tëscht F1 _an der Rotatiounsachs (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Distanz tëscht F2 _an der Rotatiounsachs (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Distanz tëscht F3 _an der Rotatiounsachs (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newton

F² = _10√2 Newton

F³ = ₂₀ Newton

Sin 53 ^o = 0.8

Gewënscht: Den Netto-Dréimoment

Léisung:

De Moment vun der Kraaft 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Den Dréimoment 1 dréit sech géint den Auerzäresënn, dofir gi mir dem Dréimoment 1 e positivt Zeechen zou)

De Moment vun der Kraaft 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Den Dréimoment 2 dréit sech am Auerzäresënn, dofir gi mir dem Dréimoment 2 e Minuszeechen zou)

De Moment vun der Kraaft 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Den Dréimoment 2 dréit sech géint den Auerzäresënn, dofir gi mir dem Dréimoment 3 e positivt Zeechen zou)

Den Netto-Dréimoment:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newtonmeter

De Moment vun der Inertie

4. Längt vum Drot = 12 m, l1 ₌ 4 m. Ignoréiert d'Mass vum Drot. Wat ass den Trägheetsmoment vum System?

Bekannt: Rotatiounsbewegung – Problemer a Léisungen 4

Mass vun A (m _A ) = 0.2 kg

Mass vu B (mB ₎ = 0.6 kg

Distanz tëscht A an der Rotatiounsachs (r _A ) = 4 Meter

Distanz tëscht B an der Rotatiounsachs (rB ₎ = 12 – 4 = 8 Meter

Gewënscht: Den Trägheetsmoment vum System

Léisung:

Den Trägheetsmoment vun A

I _A = (m _A )(r _A2 ) = (0.2)(4) ²⁼ (0.2)(16) = 3.2 kg ^m2

Den Trägheetsmoment vu B

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Den Trägheetsmoment vum System:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotatiounsdynamik

5. Eng Kraaft vu 6 N gëtt op e Schnouer ugewannt, deen ëm eng Riemscheif mat der Mass M = 5 kg an dem Radius R = 20 cm gewéckelt ass. Wat ass d'Wénkelbeschleunigung vun der Riemscheif? D'Riemscheif ass en gläichméissegen, massiven Zylinder.

Bekannt:

Kraaft (F) = 6 Newton

Mass (M) = 5 kg

Radius (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Gewënscht: Winkelbeschleunigung (α)

Léisung:

De Moment vun der Kraaft:

τ = FR = (6 Newton) (0.2 Meter) = 1.2 Nm

Trägheetsmoment fir e festen Zylinder:

Ech = 1/2 ^MR2

^Ech = 1/2 (5 kg)(0.2 m²

Ech = 1/2 (5 kg) (0.04 ^m² )

Ech = 1/2 (0.2)

Ech = 0.1 kg ^m².

D'Wénkelbeschleunigung:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. E Block mat enger Mass = 4 kg hänkt un engem Schnouer, deen ëm eng Riemscheif mat enger Mass = 8 kg an engem Radius R = 10 cm gewéckelt ass. D'Schwéierkraaftbeschleunigung ass 10 ms ^-2 . Wat ass déi linear Beschleunigung vum Block? D'Riemscheif ass en gläichméissegen, massiven Zylinder.

Bekannt:

Mass vun der Riemscheif (m) = 8 kg

Radius vun der Riemscheif (r) = 10 cm = 0.1 m

Mass vum Block (m) = 4 kg

Schwéierkraaftbeschleunigung (g) = 10 m/ ^s²

Gewiicht (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Gewënscht: D'Beschleunigung vum fräie Fall vum Block

Léisung:

Den Trägheetsmoment vum massiven Zylinder:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

De Moment vun der Kraaft:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

D'Wénkelbeschleunigung:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Déi linear Beschleunigung:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. E Block mat enger Mass vun m hänkt un engem Seel, deen ëm eng Riemscheif gewéckelt ass. Wann d' Fräifallsbeschleunigung vum Block am/s² ass ^, wat ass dann den Trägheetsmoment vun der Riemscheif?

Bekannt:

Gewiicht = w = mg Rotatiounsbewegung – Problemer a Léisungen 6

Hiewelarm = R

D'Wénkelbeschleunigung = α

D'Fräifallsbeschleunigung vum Block = a ms ^-2

Gewënscht: Den Trägheetsmoment vun der Riemscheif (I)

Léisung:

D'Verbindung tëscht der linearer Beschleunigung an der Winkelbeschleunigung:

a = Rα

α = a / R

Den Trägheetsmoment:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Den Dréimoment

8. E Partikel mat engem Gewiicht vun 0.2 Gramm beweegt sech mat enger konstanter Geschwindegkeet vun 10 m/s an engem Krees. De Radius vum Krees ass 3 cm. Wat ass den Dréimoment vum Partikel?

Bekannt:

Mass vum Partikel (m) = 0.2 Gramm = 2 x ^10⁻⁴ kg

Winkelgeschwindegkeet (ω) = 10 rad s ^-1

Radius (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² Meter

Gewënscht: Den Dréimoment vum Partikel

Léisung:

D'Equatioun vum Dréimoment:

L = I ω

I = den Dréimoment, I = den Trägheetsmoment, ω = d'Dréigeschwindegkeet

Den Trägheetsmoment (fir Partikelen):

Ech = mr ² = (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻⁴ ) ² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁴

Den Dréimoment:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁶ )(10 rad ^s⁻¹⁾ = 18 x ^10⁻⁶ kg ^m² s⁻¹

Wat ass Rotatiounsbewegung?
- ÄntwertRotatiounsbewegung bezitt sech op d'Bewegung vun engem Objet ëm eng fest Achs. Et ass déi Zort vu Bewegung, bei där all Punkt vum Objet sech an engem Krees ëm d'Achs beweegt.
Wéi hänkt d'linear Geschwindegkeet mat der Wénkelgeschwindegkeet bei enger Rotatiounsbewegung zesummen?
- ÄntwertLinear Geschwindegkeet ( $v$ ) vun engem Punkt an engem rotéierenden Objet ass direkt proportional zu senger Distanz ( $r$ ) vun der Rotatiounsachs an der Winkelgeschwindegkeet ( $ω$ ) vum Objet. D'Relatioun gëtt duerch $v = r \cdot ω$ .
Wat ass den Trägheetsmoment, a wéi hänkt en mat der Rotatiounsbewegung zesummen?
- ÄntwertDen Trägheetsmoment ass den rotativ Analogon vun der Mass an enger linearer Bewegung. E moosst de Widderstand vun engem Objet géint Ännerungen a sengem Rotatiounszoustand. Den Trägheetsmoment hänkt souwuel vun der Mass vun engem Objet wéi och vun senger Verdeelung relativ zu der Rotatiounsachs of.
Wéi gëllt den éischte Bewegungsgesetz vum Newton fir Rotatiounsbewegung?
- ÄntwertGenee wéi en Objet a linearer Bewegung a Bewegung bleift, ausser et gëtt vun enger externer Kraaft beaflosst, bleift en Objet a Rotatiounsbewegung an deem Zoustand, ausser et gëtt vun engem externen Dréimoment beaflosst.
Wat ass d'Bedeitung vum Gyratiounsradius?
- ÄntwertDe Gyratiounsradius gëtt e Mooss fir d'Verdeelung vun der Mass vun engem Objet ewech vun senger Rotatiounsachs. E beschreift am Fong, wéi wäit vun der Achs déi ganz Mass vum Objet konzentréiert muss sinn, fir dee selwechte Trägheetsmoment wéi déi ursprénglech Verdeelung ze hunn.
Wat ass e Winkelimpuls a wéi gëtt e konservéiert?
- ÄntwertDréimoment ass den rotéierenden Äquivalent vum linearen Impuls. Et ass d'Produkt vum Trägheetsmoment vun engem Objet a senger Winkelgeschwindegkeet. An engem zouene System bleift den gesamten Dréimoment konstant, ausser en externt Dréimoment beaflosst drop, wat d'Erhale vum Dréimoment ënnersträicht.
Wéi beaflosst den Dréimoment d'Rotatiounsbewegung?
- ÄntwertDréimoment ass den rotativ Äquivalent vu Kraaft. Et verursaacht Ännerungen an der Rotatiounsbewegung vun engem Objet. D'Relatioun gëtt vum zweete Gesetz vum Newton fir Rotatioun uginn: $τ = I \cdot α$ , wou $τ$ ass den Dréimoment, $I$ ass den Trägheetsmoment, an $α$ ass d'Wénkelbeschleunigung.
Wéi ënnerscheet sech de Massezentrum vum Rotatiounszentrum?
- ÄntwertObwuel se zesummefale kënnen, ass de Massezentrum de Punkt, wou ugeholl ka ginn, datt déi ganz Mass vun engem Objet fir d'Berechnungen an der linearer Bewegung konzentréiert ass, während de Rotatiounszentrum de Punkt (oder d'Achs) ass, ëm deen en Objet sech rotéiert.
Wat ass d'Roll vun der Zentripetalkraaft an der Rotatiounsbewegung?
- ÄntwertD'Zentripetalkraaft ass d'Nettokraaft, déi op en Objet wierkt, deen sech an engem kreesfërmege Wee beweegt, deen op de Rotatiounszentrum geriicht ass. Si ass verantwortlech dofir, en Objet a sengem gekrëmmte Wee ze halen an ze verhënneren, datt en sech wéinst Trägheet a gerader Linn beweegt.
Wéi hänkt rotativ kinetesch Energie mam Trägheetsmoment an der Wénkelgeschwindegkeet zesummen?
- ÄntwertRotatiounskinetesch Energie ass d'Energie, déi duerch d'Rotatioun vun engem Objet ëm eng Achs entsteet. Si gëtt duerch d'Formel uginn: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ , wou $I$ ass den Trägheetsmoment an $ω$ ass d'Wénkelgeschwindegkeet.