Exempla Quaestionum Dynamicae Rotationis

Undecim Exempla Quaestionum Dynamicae Rotationis

Momentum Styli

1. Virga levissima, 140 cm longa. Tres vires in virgam agunt, F1 ₌ 20 Newton, _F2 = 10 N, et F3 ₌ 40 N, quarum unaquaeque directionem et positionem in figura ostendit. Magnitudo momenti vis quae virgam circa centrum massae suae rotare facit est...

A. 40 Nm

B. 39 Nm

C. 28 Nm

D. 14 Nm

E. 3 Nm

Disputatio

Constat:

Centrum massae virgae in medio virgae est.

Longitudo virgae (l) = 140 cm = 1,4 metra

Vis 1 (F1 ₎ = 20 N, bracchium vis 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0,7 metra.

Vis 2 (F² ₎ = 10 N, bracchium vis 2 (l² ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0,3 metra.

Vis 3 (F3 ₎ = 40 N, bracchium vis 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0,7 metra.

Quaestio: Magnitudo momenti vis quae virgam circa centrum massae suae rotare facit.

Responsum:

Momentum vis 1 virgam horologice rotare facit. Ergo, momentum vis 1 negativum est.

τ³ ₌ F³ _{l³ = (20 N )} (0,7 m) = -14 N m

Momentum vis 2 virgam contra horologium rotare facit. Ergo, momentum vis 2 positivum est.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N )} (0,3 m) = 3 N m

Momentum vis 3 virgam horologice rotare facit. Ergo, momentum vis 3 negativum est.

τ³ ₌ F³ _{l³ = (40 N )} (0,7 m) = -28 N m

Momentum vis resultans:

Στ = -14 Nm + 3 Nm - 28 Nm = - 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Magnitudo momenti vis est 39 Newtonorum metra. Signum negativum significat virgam contra horologium rotari.

Responsum rectum est B.

2. Virga AB, cuius massa neglegitur, horizontaliter ponitur et a tribus viribus, ut in figura demonstratur, afficitur. Momentum resultans vis in virgam agentis cum circa axem ad D rotatur est… (sin 53 ^o = 0,8)

A. 2,4 N·m

B. 2,6 N·m

C. 3,0 N·m

D. 3,2 N·m

E. 3,4 N·m

Disputatio

Constat quod :

Axis rotationis sive pivot in puncto D situs est.

F ₁ = 10 N et l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm) (peccatum 53 ^o ) = (0,4 m)(0,8) = 0,32 metrum.

F ₂ = 10√2 N et l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm) (peccatum 45 ^o ) = (0,2 m) (0,5√2) = 0,1√2 metra

F ₃ = 20 N et l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm) (peccatum 90 ^o ) = (0,1 m)(1) = 0,1 metrum.

Quaesitum : Momentum vis resultans

Responsum :

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0,32 m) = 3,2 Nm

(positivum quia hoc momentum vis efficit ut massa contra horologium rotetur)

τ ₁ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0,1√2 m) = -2 Nm

(negativum quia hoc momentum vis efficit ut massa secundum horologium rotetur)

τ ₁ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0,1 m) = 2 Nm

(positivum quia hoc momentum vis efficit ut massa contra horologium rotetur)

Momentum vis resultans:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3,2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3,2 Nm

Responsum rectum est D.

3. Virga AB, cuius massa neglegitur, horizontaliter ponitur et a tribus viribus, ut in figura demonstratur, afficitur. Momentum resultans vis in virgam agentis cum circa axem ad D rotatur est… (sin 53 ^° = 0,8)

A. 2,4 Nm

B. 2,6 Nm

C. 3,0 Nm

D. 3,2 Nm

E. 3,4 Nm

Disputatio

Constat quod :

Axis rotationis apud D situs est.

Distantia inter F1 _et axem rotationis (rAD ₎ = 40 cm = 0,4 m

Distantia inter F₂ _et axem rotationis (r₆BD ₎ = 20 cm = 0,2 m.

Distantia inter F³ _et axem rotationis (rCD ₎ = 10 cm = 0,1 m

F² = ₁₀ Newtoni

F² = _10√² Newtoni

F² = ₂₀ Newtoni

Sin 53 ^° = 0,8

Quaestio : Momentum vis resultans si virga circa axem apud D rotatur.

Responsum :

Momentum vis ab unaquaque vi productae computa.

Momentum vis 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0,4 m)(0,8) = 3,2 Nm.

Momentum vis 1 positivum est quia directio rotationis virgae a momento vis 1 causata est contra horologium.

Momentum vis 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0,2 m)(0,5√2) = -2 Nm

Momentum vis 2 negativum est quia directio rotationis virgae, a momento vi 2 effecta, in eadem directione est ac rotatio acuum horologii.

Momentum vis 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0,1 m)(1) = 2 Nm.

Momentum vis 3 positivum est quia directio rotationis virgae a momento vis 3 causata est contra horologium.

Momentum virium resultans

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3,2 – 2 + 2

Στ = 3,2 Newton metra

Responsum rectum est D.

Momentum Inertiae

4. Imaginem duarum globulorum filo coniunctorum considera. Longitudo fili = 12 m, l1 ₌ 4 m et massa fili neglecta est, ergo magnitudo momenti inertiae systematis est…

A. 52,6 kg m²

B. 41,6 kg ^m²

C. 34,6 kg ^m²

D. 22,4 kg ^m²

E. 20,4 kg ^m²

Disputatio

Constat quod :

Massa pilae A (m² _A ) = 0,2 kg

Massa pilae B (m² _B ) = 0,6 kg

Distantia inter pilam A et axem rotationis (rA ₎ = 4 metra

Distantia inter pilam B et axem rotationis (rₑB ₎ = 12 – 4 = 8 metra.

Quaestio : Momentum inertiae (I) systematis

Responsum :

Momentum inertiae pilae A

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0,2)(4) ² = (0,2)(16) = 3,2 kg m ²

Momentum inertiae pilae B

IB ₌ (mB ₎ (rB² ₎ = (0,6)(8) ^{² =} (0,6)(64) = 38,4 kg ^m²

Momentum inertiae systematis particularum :

I = I _A + I _B = 3,2 + 38,4 = 41,6 kg m ²

Responsum rectum est B.

Lex Secunda Newtoni de Motu Rotationis

5. Imaginem rotae solidae homogeneae a latere inspice. Filum circa marginem rotae involvitur, deinde extremum filum vi F 6 N trahitur. Si massa rotae 5 kg est et radius eius 20 cm est, acceleratio angularis rotae est…

A. 0,12 rad s^-2

B. 1,2 rad s ^–2

C. 3,0 rad s ^–2

D. 6,0 rad s ^–2

E. 12,0 rad s ^–2

Disputatio

Constat:

Vis tensile (F) = 6 Newtoni

Massa rotae (M) = 5 kg

Radius rotae (R) = 20 cm = 20/100 m = 0,2 m

Quaestio: Acceleratio angularis rotae (α)

Responsum:

Momentum vis computa:

τ = FR = (6 Newtoni)(0,2 metra) = 1,2 Newtoni metra

Momentum inertiae computa:

Formula momenti inertiae rotae solidae in forma disci vel laminae est 1/2 MR² ⁼ 1/2 (5 kg)(0,2 m) ^² = 1/2 (5 kg)(0,04 m² ⁾ = 1/2 (0,2) = 0,1 kg ^m².

Accelerationem angularem formula dynamicae rotationis utens computa:

τ = Iα

α = τ / I = 1,2 / 0,1 = 12 rad s ^-2

Responsum rectum est E.

6. Trochlea discoidea solida, massa 8 kg et radio 10 cm, circa marginem funis involuta est, cuius onere 4 kg uno extremo alligato est (g = 10 ms⁻² ⁾ . Acceleratio motus deorsum oneris est...

A. 2,5 ms ^–2

B. 5,0 ms ^–2

C. 10,0 ms ^–2

D. 20,0 ms ^–2

E. 33,3 ms ^–2

Disputatio

Constat:

Massa trochleae disci solidi (m) = 8 kg

Radius trochleae disci solidi (r) = 10 cm = 0,1 metra

Massa oneris (m) = 4 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Pondus oneris (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newtoni

Quaestio: Acceleratio motus deorsum oneris

Responsum:

Momentum inertiae disci solidi computa:

I = 1/2 MR² ⁼ 1/2 (8 kg)(0,1 m) ^² = (4 kg)(0,01 m² ⁾ = 0,04 kg ^m²

Momentum vis computa:

τ = F r = (40 N)(0,1 m) = 4 Nm

Calcula accelerationem angularem utens formula legis secundae Newtoni pro motu rotationis:

Στ = Iα

4 = 0,04 α

α = 4 / 0,04 = 100

Accelerationem motus oneris deorsum calcula:

a = r α = (0,1)(100) = 10 m/s ²

Responsum rectum est C.

7. Trochlea solida cum massa (M) et radio (R) ut in imagine monstratur! Unum extremum funis sine massa circa trochleam involutum est, alterum extremum funis onere m kg pendet, acceleratio angularis trochleae (α) si onus dimittitur. Si frustum plasticinae A cum massa 1⁄2 M trochleae adnectitur, ad eandem accelerationem angularem producendam, onus fieri debet... (I trochlea = 1/2 MR² ⁾

A. 3/4 m kg

B. 3/2 m kg

C. 2 m kg

D. 3 m kg

E. 4 m kg

Disputatio

Constat quod :

massa oneris = m

Pondus oneris = w = mg

Massa trochleae solidae = M

Radius trochleae solidae = R

Acceleratio angularis trochleae = α

Rogatus :

Si massa trochleae ad M + M/2 = 3M/2 augetur et acceleratio angularis trochleae = α, quae est massa oneris?

Responsum :

Momentum inertiae trochleae sine plasticina:

I = 1/2 MR² ⁼ 0,5 ^MR²

Momentum inertiae trochleae + plastilinae:

I = 1/2 (3M/2) R ² = (3M/4) R ² = 0,75M R ²

Momentum vis:

τ = FR

Lex secunda Newtoni de motu rotationis:

Στ = Iα

w R = I α

mg R = Iα

α = mg R / I

Ad eandem accelerationem angularem producendam, massa oneris facienda est... α in aequatione 2 cum α in aequatione 1 substituatur:

Responsum rectum est B.

8. Trochlea ex materia solida facta, cuius latus externum fune circumdatum est, ut in figura monstratur ostenditur. Frictio trochleae cum fune et frictio ad axem rotationis eius negleguntur. Si onus deorsum movetur cum acceleratione constanti a ms ^-2 , tum valor momenti inertiae trochleae aequalis est ...

A. I = τα R

B. I = τα ^-1 R

C. I = τa R

D. I = τ a ^-1 R ^-1

E. I = τa ^R⁻¹

Disputatio

Constat:

Vis = w = mg

Bracchium potentiae = R

Acceleratio angularis = α

Acceleratio oneris = a ms ^-2

Quaestio: Momentum inertiae trochleae (I)

Responsum:

Relatio inter accelerationem linearem et accelerationem angularem:

a = Rα

α = a / R

Momentum inertiae hac formula computatur:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Nulla recta responsio est.

9. Trochlea ex materia solida facta, fune circa latus externum involuto, ut in figura monstratur ostenditur. Frictio trochleae neglegitur. Si momentum inertiae trochleae I = β est et funis vi constanti F trahitur, valor F aequalis est…

A. F = α·β·R

B. F = α·β² ^· R

C. F = α₀(β₀R) ^⁻¹

D. F = α·β·(R) ^-1

E. F = R. (α. β) ^-1

Disputatio

Constat:

Vis tractionis = F

Momentum inertiae trochleae = β

Acceleratio angularis trochleae = α

Radius trochleae = R

Quaestio: Valor F aequivalet…

Responsum:

Formula legis secundae Newtoni pro motu rotationis:

Στ = β α ------- Equatio 1

Descriptio formulae:

Στ = momentum vi (torque)

β = Momentum inertiae

α = Acceleratio angularis

Momentum resultans vis in trochleam agentis:

Στ = FR -----> Aequatio 2

Descriptio formulae:

F = vis tensile

R = Distantia a puncto actionis vis F ad axem rotationis = radius trochleae

Repone Στ in aequatione 1 cum Στ in aequatione 2;

Στ = β.α

F. R = β. α

F = (β . α) / R

F = β·α·(R ^-1 )

Responsum rectum est D.

Momentum Angulare

10. Particula cum massa 0,2 grammatum in circulo movetur cum velocitate angulari constanti 10 rad s⁻¹ ^. Si radius viae particulae est 3 cm, tum momentum angulare particulae est...

^A. 3 × ^10⁻⁷ kg ^m² s⁻¹

B. 9 ^{× 10⁻⁷} kg ^m² s⁻¹

C. 1,6 ^{× 10⁻⁶} kg ^m² s⁻¹

D. 1,8 ^{× 10⁻⁴} kg ^m² s⁻¹

E. 4,5 ^{× 10⁻³} kg ^m² s⁻¹

Disputatio

Constat:

Massa particularum (m) = 0,2 grammata = 2 × ^10⁻⁴ kg

Velocitas angularis (ω) = 10 rad ^s⁻¹

Radius viae particularum (r) = 3 cm = 3 × ^10⁻² metra

Quaesitum: Momentum angulare particulae

Responsum:

Formula momenti angularis:

L = Iω

Descriptio: I = momentum angulare, I = momentum inertiae, ω = velocitas angularis

Momentum inertiae particulae:

I = mr² ⁼ (2 × ^10⁻⁴ )(3 × ^10⁻² ) ^² = (2 × ^10⁻⁴ )(9 × ^10⁻⁴ ) = 18 × ^10⁻⁴

Momentum angulare est:

L = Iω = (18 × 10⁻⁸ ^{) (} 10⁻¹ ⁾ = 18 × ^10⁻⁷ kg ^m² s⁻¹

Nulla recta responsio est.

11. Saltatrix bracchiis ad longitudinem 160 cm extensis rotat. Deinde, bracchia eius ad longitudinem 80 cm ad cubitos plicantur. Si velocitas angularis saltatricis constans manet, tum momentum lineare eius est...

A. adhuc

B. fit dimidia magnitudine originali

C. fit 3/4 magnitudinis originalis

D. fit bis originalis

E. fit quadruplus originalis

Disputatio

Constat:

Radius² (r² ₎ = 160 cm

Radius² (r² ₎ = 80 cm

Velocitas angularis 1 (ω₁ ₎ = ω

Velocitas angularis 1 (ω₁ ₎ = ω

Quaesitum: Momentum lineare

Responsum:

Velocitas linearis 1:

v² = r² _ω² = (160 cm _{) ω}

Velocitas linearis 2:

v² = r² _ω² = (80 cm _{) ω}

Momentum lineare 1:

p = mv² ₌ m (160 cm) ω

Momentum lineare 2:

p = mv² ₌ m (80 cm) ω

Ita momentum lineare fit dimidium originalis.

Responsum rectum est B.

Fons quaestionis:

Quaestiones Physicae Examinationis Nationalis pro Schola Superiore Superiore/Schola Professionali