Бирдик векторунун компоненттерин колдонуу менен чекиттерди көбөйтүү материалы
Эгерде биз A жана B векторлорунун x, y жана z компоненттерин билсек (белгилүү векторлор), скалярдык көбөйтүндүнү түз эсептей алабыз.
Мындай жол менен чекиттик көбөйтүндү аткаруу үчүн, алгач бирдик векторлордун чекиттик көбөйтүндүсүн аткарабыз, андан кийин А жана В векторлорун алардын компоненттеринде туюнтуп, көбөйтүндүнү ажыратып, бирдик векторлордун көбөйтүндүсүн колдонобуз.
i , j жана k бирдик векторлору бири-бирине перпендикуляр, бул эсептөөлөрдү жеңилдетет. Жогоруда алынган скалярдык көбөйтүү теңдемесин ( AB = AB cos theta ) колдонуп, биз төмөнкүлөрдү алабыз:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Эми биз А жана В векторлорун алардын компоненттери аркылуу туюнтабыз, алардын көбөйтүндүсүн ажыратабыз жана бирдик векторлордун көбөйтүндүсүн колдонобуз.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Анткени i . i = j . j = k . k = 1 жана i . j = i . k = j . k = 0, анда:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A x B x ( 1) + 0 + 0 +
0 + A y By y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Бул эсептөөнүн жыйынтыктарына таянып, эки вектордун скалярдык көбөйтүндүсү же чекиттик көбөйтүндүсү алардын окшош компоненттеринин көбөйтүндүлөрүнүн суммасы деген тыянак чыгарууга болот.
1-мисал суроо:
Чоң вектор A дан B тиешелүүлүгүнө жараша 5 жана 4 болуп саналат, төмөндөгү сүрөттө көрсөтүлгөндөй. Түзүлгөн бурч 90 градуска барабар.oСанап көр чекиттүү көбөйтүндү эки вектор тең.
Талкуу
А жана В векторлорунун чекиттик көбөйтүндүсүн эсептөөдөн мурун, алгач экинчи вектордун компоненттерин билишибиз керек.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
А векторунун х огунда гана вектордук компоненттери, ал эми В векторунун у огунда гана вектордук компоненттери бар. z компоненти нөлгө барабар, анткени А жана В векторлору xy тегиздигинде жайгашкан.
Эми биз компоненттик векторлору бар чекиттик көбөйтүү теңдемесин колдонуп, А жана В векторлорунун ортосундагы чекиттик көбөйтүүнү эсептейбиз :
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Келгиле, аны биринчи ыкма менен салыштырып көрөлү
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Натыйжа ошол эле.
2-мисал суроо:
Чоң вектор A дан B төмөндөгү сүрөттө көрсөтүлгөндөй, тиешелүүлүгүнө жараша 5 жана 4кө барабар. Эсептеңиз. чекиттүү көбөйтүндү эгерде пайда болгон бурч 30 болсо, эки вектор теңo
Талкуу
А жана В векторлорунун чекиттик көбөйтүндүсүн эсептөөдөн мурун, алгач экинчи вектордун компоненттерин билишибиз керек.
z компоненти нөлгө барабар, анткени А жана В векторлору xy тегиздигинде жайгашкан.
Эми биз компоненттик векторлору бар чекиттик көбөйтүү теңдемесин колдонуп, А жана В векторлорунун ортосундагы чекиттик көбөйтүүнү эсептейбиз :
Биринчи ыкма менен салыштырып көрүңүз.
