Алгебралык функциянын туундусу боюнча талкуу суроосунун мисалы
Математикалык туунду – бул функциянын кандайча өзгөрөрүн же функциянын чекиттеги эңкейишин сүрөттөө үчүн колдонулган фундаменталдык түшүнүк. Туундулар физика, экономика жана инженерия сыяктуу ар кандай тармактарда пайдалуу, анткени алар өзгөрүү ылдамдыгы жөнүндө маалымат берет. Бул макалада биз алгебралык функциялардын туундуларынын бир нече мисалдарын жана аларды кантип чыгарууну талкуулайбыз.
1-мисал: Полиномдук функциянын туундусу
Суроо: \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) функциясы берилген. Функциянын туундусун аныктагыла!
Чечим:
Полиномдук функциялар үчүн туундулардын негизги эрежесин, атап айтканда, \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) колдонуп, функциянын ар бир мүчөсүнүн туундусун бир-бирден эсептейбиз.
\[
\begin{align}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) жана= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align}
\]
Демек, \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) туундусу \(f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) болуп саналат.
2-мисал: Бөлчөк көрсөткүчтөрү бар функциянын туундусу
Суроо: \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) функциясынын туундусун аныктагыла.
Чечим:
Ошол эле туунду эрежесин колдонуу менен, башкача айтканда, \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align}
g(x) жана= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align}
\]
Демек, \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) туундусу \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \) болуп саналат.
3-мисал: Экспоненциалдык жана тригонометриялык функциялардын туундулары
Суроо: \(h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) функциясынын туундусун аныктагыла.
Чечим:
Бул туундуну чыгаруу үчүн бизге \((uv)' = u'v + uv'\ деп жазылган Көбөйтүндү эрежеси керек. \(u(x) = e^x \) жана \(v(x) = \sin(x) \) деп коёлу, анда:
\[
\begin{align}
u'(x) &= e^x, & \text{анткени } e^x \text{ туундусу } e^x \\ болуп саналат
v'(x) &= \cos(x), & \text{ анткени } \sin(x) \text{ туундусу } \cos(x) болуп саналат.
\end{align}
\]
Продукциялар үчүн алынган эрежени колдонуу:
\[
\begin{align}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align}
\]
Демек, \(h(x) = e^x \sin(x) \) функциясынын туундусу \(h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
4-мисал: Чынжыр эрежесин колдонуп, функциянын туундусу
Суроо: \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) функциясынын туундусун аныктагыла.
Чечим:
Бул туундуну чечүү үчүн бизге чынжыр эрежеси керек, тактап айтканда, \(\frac{d}{dx}[f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Мисалы, \(u(x) = 3x^2 – x + 4 \) жана \(f(u) = u^5 \) болсун, анда:
\[
\begin{align}
k(x) жана= (3x^2 – x + 4)^5
u(x) жана= 3x^2 – x + 4, жана \text{so} \\
k(x) жана= f(u(x)) = u^5
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align}
\]
Чынжыр эрежесин колдонуу:
\[
\begin{align}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align}
\]
Демек, \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) туундусу \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \) болуп саналат.
5-мисал: Тригонометриялык окшоштуктары бар функциянын туундусу
Суроо: m(x) = sin(x) \cdot \cos(x) \) функциясынын туундусун аныктагыла.
Чечим:
Биз көбөйтүндүлөр үчүн туунду эрежесин колдонобуз. Мисалы, \( u(x) = \sin(x) \) жана \( v(x) = \cos(x) \), анда:
\[
\begin{align}
u'(x) жана= \cos(x), \\
v'(x) жана = -\sin(x).
\end{align}
\]
Продукциялар үчүн алынган эрежени колдонуу:
\[
\begin{align}
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align}
\]
Тригонометриялык окшоштукту колдонуу \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
Демек, m(x) = sin(x) \cdot \cos(x) \) туундусу m'(x) = 'cos(2x) \) болуп саналат.
Корутунду
Алгебралык функциянын туундусу - эсептөөдөгү фундаменталдык түшүнүк, ал ар кандай колдонмолордо абдан маанилүү жана пайдалуу. Негизги туунду эрежеси, көбөйтүү эрежеси, чынжыр эрежеси жана тригонометриялык туундулар үчүн эрежелер сыяктуу ар кандай туунду эрежелери татаалыраак функциялардын туундуларын эсептөөгө жардам берет. Жогорудагы мисалдарды түшүнүү жана маселелерди практика жүзүндө колдонуу менен, биз алгебралык функциялардын туундуларын алуу боюнча түшүнүгүбүздү жана көндүмдөрүбүздү жакшырта алабыз.
