Сызыктуу регрессиянын мисал суроолору жана талкуу
Сызыктуу регрессия - бул эки же андан көп өзгөрмөлөрдүн ортосундагы байланышты аныктоо үчүн колдонулган статистикалык ыкма. Бул ыкма экономика, бизнес, коомдук илимдер жана жаратылыш таануу илимдери сыяктуу ар кандай тармактарда кеңири колдонулат. Бул макалада биз сызыктуу регрессияны, аны кантип эсептөө керектигин талкуулайбыз жана окурмандарга бул түшүнүктү терең түшүнүүгө жардам берүү үчүн бир нече мисал маселелерди түшүндүрмөлөрү менен беребиз.
Сызыктуу регрессияны түшүнүү
Сызыктуу регрессия – бул бир же бир нече көз карандысыз өзгөрмөлөрдүн (болжолдоочулардын) жана көз каранды өзгөрмөнүн (жооптун) ортосундагы байланышты моделдөө үчүн колдонулган аналитикалык ыкма. Жөнөкөй сызыктуу регрессия бир көз карандысыз өзгөрмөнү жана бир көз каранды өзгөрмөнү камтыйт, ал эми көп сызыктуу регрессия бирден ашык көз карандысыз өзгөрмөнү камтыйт.
Жөнөкөй сызыктуу регрессия сызыгынын теңдемеси:
\[ Y = a + bX \]
Кайда:
– \( Y \) көз каранды өзгөрмө.
– \( X \) көз карандысыз өзгөрмө.
– \( a \) – бул кесилиш чекити, ал X = 0 болгондо Yдин мааниси.
– \( b \) – регрессия коэффициенти, башкача айтканда, эгер X бир бирдикке өзгөрсө, Y канчага өзгөрөт.
Сызыктуу регрессия кадамдары
1. Маалыматтарды чогултуу: Алгач, талдануучу маалыматтарды чогултуңуз.
2. Графикалык маалыматтар: Өзгөрмөлөрдүн ортосунда сызыктуу байланыш бар же жок экенин көрүү үчүн чачыранды график түзүңүз.
3. Регрессия коэффициентин эсептегиле: Эң жакшы сызыкты аныктоо үчүн эң кичине квадраттар ыкмасын колдонгула.
4. Моделди текшерүү: Регрессия коэффициенттеринин маанисин t-тест менен текшерип, моделдин маалыматтарга канчалык деңгээлде туура келерин көрүү үчүн R-квадрат маанисин аныктаңыз.
Үлгү суроолор жана талкуу
1-мисал суроо: Жөнөкөй сызыктуу регрессия
Суроо:
Изилдөөчү окуу сааттарынын саны (X) менен студенттердин экзамендеги упайларынын (Y) ортосундагы байланышты билгиси келет. Алынган маалыматтар төмөнкүдөй:
| Окуу сааттары (X) | Экзамендин баасы (Y) |
|——————–|———————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |
Бул маалыматтардан сызыктуу регрессия теңдемесин түзүңүз!
Талкуу:
1. Орточо көрсөткүчтү эсептөө:
\[
\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 5
\]
\[
\бар{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]
2. Регрессия коэффициентин эсептөө \(b \):
\[
b = \frac{\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
\sum (X_i – \bar{X})^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = \frac{80}{26} \болжол менен 3.08
\]
3. Кесилиш ноктасын эсептөө \( a \):
\[
a = \bar{Y} – b\bar{X}
\]
\[
а = 80 – 3.08 \убакыт 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]
4. Регрессия теңдемеси:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]
Демек, маалыматтар үчүн сызыктуу регрессиялык теңдеме \(Y = 64.6 + 3.08X \) болуп саналат. Бул окуунун ар бир кошумча сааты тесттин упайын 3.08 упайга жогорулатат деп күтүлүүдө дегенди билдирет.
2-мисал суроо: Моделди текшерүү жана чечмелөө
Суроо:
Ошол эле маалыматтар менен улантып, моделдин маалыматтарга канчалык деңгээлде туура келерин өлчөө үчүн R-квадрат (R²) маанисин эсептеңиз. Ошондой эле, регрессия коэффициентинин маанисин текшериңиз \(b \).
Талкуу:
1. Квадраттар жалпы суммасын (SST), Квадраттар регрессия суммасын (SSR) жана Квадраттар ката суммасын (SSE) эсептегиле:
\[
SST = \sum (Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]
\[
SSR = \sum (\hat{Y}_i – \bar{Y})^2
\]
мында \( \hat{Y}_i \) - регрессия теңдемесинин болжолдонгон мааниси:
\[
\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\шляпа{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
\бар{Y} = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]
2. SSE эсептөө:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]
3. R-квадрат эсептөө:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \болжол менен 0.6
\]
0.6га барабар R-квадрат мааниси бул модел маалыматтардын өзгөрүүсүнүн болжол менен 60% түшүндүрөрүн көрсөтөт. Бул регрессия сызыгы маалыматтарга жакшы дал келерин көрсөтүп турат.
4. t-коэффициенттин маанисин аныктоочу тест \(b\):
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} / \sqrt{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{33.4} / \sqrt{26} \pprox 1.13
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \болжол менен 2.73
\]
\(t-статистика \апрокс 2.73 \) менен, эгерде биз маанинин жалпы босогосун колдонсок (α = 0.05), аны t-таблица менен салыштырабыз. Мисалы, \(df = 3 \) үчүн, критикалык \(t \) болжол менен 2.353кө барабар. Анда \(t-байкалган > t-критикалык \), бул коэффициенттин маанилүү экенин көрсөтөт.
Корутунду
Бул макалада биз сызыктуу регрессиянын негиздерин, регрессия коэффициентин жана кесилиш чекитин кантип эсептөөнү жана мисал маселелерди колдонуу менен натыйжаларды кантип чечмелөөнү карап чыктык. Бул ыкманы колдонууда чеберчиликке ээ болуу үчүн ар кандай маалымат топтомдору менен тез-тез машыгуу абдан маанилүү. Сызыктуу регрессия маалыматтарды талдоодо баалуу курал болуп саналат жана өзгөрмөлөрдүн ортосундагы байланыштарды терең түшүнүүгө мүмкүндүк берет.
