Мисал суроолор жана интегралдык колдонмолорду талкуулоо
Интеграция - бул физика, экономика, биология жана инженерия сыяктуу илимдин ар кандай тармактарында көптөгөн колдонулуучу эсептөөдөгү фундаменталдык түшүнүк. Интегралдар ийри сызыктын астындагы аянтты, катуу нерсенин көлөмүн, жумушту, басымды жана башкаларды эсептөө үчүн колдонулат. Бул макалада биз интегралдык колдонмолордун бир нече мисалдарын талкуулайбыз, андан кийин аларды кантип чечүү керектиги жөнүндө кеңири түшүндүрмөлөр берилет.
1. Ийри сызыктын астындагы аянтты аныктоо
Интегралдардын эң кеңири колдонулган колдонмолорунун бири - берилген аралыкта функциянын ийри сызыгынын астындагы аянтты эсептөө. Мисалы, биз (y = x^2) ийри сызыгы жана (x = 0)ден (x = 2)ге чейинки (x) огу менен чектелген аймактын аянтын тапкыбыз келет дейли.
Көйгөйлөрдүн мисалы:
'(x = 0'дон '(x = 2')'га чейинки '(y = x^2') ийри сызыгынын астындагы аянтты аныктагыла.
Талкуу:
'(x = 0'дон '(x = 2'ге) чейинки '(y = x^2') ийри сызыгынын астындагы аянтты табуу үчүн, функциянын аныкталган интегралын эсептешибиз керек:
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
1-кадам: \(x^2\) интегралын аныктаңыз.
Белгилей кетчү нерсе, \(x^2\) интегралы төмөнкүдөй:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
2-кадам: Интегралдык чегинин (0) маанисин (2) маанисине колдонуңуз.
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
3-кадам: Чектик маанини эсептеңиз.
\[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Демек, \(x = 0\)дон \(x = 2\)га чейинки \(y = x^2\) ийри сызыгынын астындагы аянт \( \frac{8}{3} \) аянт бирдигине барабар.
2. Айлануучу объектилердин көлөмүн эсептөө
Интегралдар айлануу менен катуу нерселердин көлөмүн эсептөө үчүн да колдонулат. Эгерде аймак \(x\) огу боюнча айландырылса, анда объекттин көлөмүн диск ыкмасы же шакекче ыкмасы менен табууга болот.
Көйгөйлөрдүн мисалы:
y = y ийри сызыгы жана y = 4 сызыгы менен чектелген аймак y огу боюнча айландырылганда пайда болгон нерсенин көлөмүн эсептегиле.
Талкуу:
Айлануучу катуу нерсенин көлөмүн табуу үчүн диск ыкмасын колдонсок болот. Пайда болгон катуу нерсенин көлөмүн (V) төмөнкүдөй туюнтса болот:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
Мында \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\), жана \(b = 4\).
1-кадам: Көлөмдүк интеграл түзүңүз.
\[ V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx \]
2-кадам: Интегралдагы функцияны жөнөкөйлөштүрүү.
\[ V = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \]
3-кадам: \(x\) интегралын аныктаңыз.
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
4-кадам: \(0\)ден \(4\)ге чейинки чектөөлөрдү колдонуңуз.
\[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]
5-кадам: Чектик маанини эсептеңиз.
\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
Демек, алынган объекттин көлөмү \(8\pi\) көлөм бирдигин түзөт.
3. Өзгөрмө күчтүн аткарган жумушун эсептөө
Интегралдык колдонмолор физикада да кездешет, алардын бири - объект бир чекиттен экинчи чекитке жылганда өзгөрмө күчтүн аткарган ишин эсептөө.
Көйгөйлөрдүн мисалы:
Ньютондун күчү (x = 1) метрден (x = 3) метрге чейин жылып бараткан бөлүкчөгө таасир этет. Күчтүн аткарган жумушун эсептегиле.
Талкуу:
(F(x)) күчүнүн аткарган жумушун (W) (F(x)) интегралын (а)дан (b)га жылдыруу боюнча эсептөө менен тапса болот:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Мында \(a = 1\), \(b = 3\) жана \(F(x) = 3x^2\).
1-кадам: Иштин интегралдык бөлүгүн түзүңүз.
\[ W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
2-кадам: \(3x^2\) интегралын аныктаңыз.
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]
3-кадам: \(1\)ден \(3\)ге чейинки чектөөлөрдү колдонуңуз.
\[ W = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \]
4-кадам: Чектик маанини эсептеңиз.
\[ W = \left. x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Демек, күчтүн аткарган жумушу \(26\) Джоульга барабар.
4. Гидростатикалык басымды аныктоо
Физикада интегралдар суюктукка чөмүлгөн бетке гидростатикалык басымды эсептөө үчүн да колдонулат.
Көйгөйлөрдүн мисалы:
Бийиктиги 6 метр жана туурасы 4 метр болгон вертикалдуу плита үстү жагы суунун бетинен жогору болуп сууга чөмүлдүрүлгөн. Пластинага суунун басымынын жалпы күчүн эсептегиле.
Талкуу:
Сууда √√ тереңдигиндеги басым √ ...
Жалпы басым күчү үчүн, биз плитанын вертикалдык аянтына басымды интеграциялашыбыз керек.
1-кадам: Басым функциясын аныктаңыз.
\[ P(y) = \rho gy \]
2-кадам: Жалпы күч \(F\) - бул басымдын элементардык аянттын \(dA\) \(y = 0\)ден \(y = 6\)ге чейин көбөйтүлгөн интегралы.
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
3-кадам: Туруктууларды жөнөкөйлөштүрүңүз.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
4-кадам: \(y\) интегралын аныктаңыз.
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
5-кадам: \(0\)ден \(6\)ге чейинки чектөөлөрдү колдонуңуз.
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{6} \]
6-кадам: Чектик маанини эсептеңиз.
\[F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot \frac{6^2}{2} = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot 18 = 705600 \]
Демек, пластинага суунун басымынын жалпы күчү \(705600\) Ньютонго барабар.
Корутунду
Интегралдарды ар кандай колдонмолордо колдонуу татаал физикалык чоңдуктарды эсептөө үчүн эбегейсиз аналитикалык күч берет. Бул макалада биз интегралдардын ийри сызыктын астындагы аянтты, айлануу көлөмүн, өзгөрмө күчтүн аткарган ишин жана гидростатикалык басымды эсептөө үчүн кандайча колдонуларын талкууладык. Интегралдоо ыкмаларын жакшы түшүнүү менен, биз илимде жана инженерияда пайда болгон ар кандай практикалык маселелерди чече алабыз.
